精品解析：广东省汕头市金山中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024级高一第一学期阶段考试数学科试卷 命题人：张梦涛 钟婉仪 一、单选题：本大题共9小题，共45分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用补集和并集的定义可求得集合. 【详解】已知集合，，则，因此，. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用特称命题的否定形式判定即可. 【详解】根据特称命题的否定形式可知命题“，”的否定是“，”. 故选：C 3. 若，则的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由充分必要条件关系，，反之不成立，即可判断. 【详解】由，反之不成立，所以P：的一个充分不必要条件为：，其它选项均不符合. 故选：D. 4. 若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数的概念，结合图像逐一分析，即可得到结果. 【详解】选项A，定义域为，与条件不符，故A错误； 选项B，定义域、值域均与条件相符，故B正确； 选项C，不符合函数的定义，在内的任一的值，在内并非只有唯一的值与之对应，故C错误； 选项D，值域与条件不符，故D错误． 故选：B． 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由函数的定义域求出的定义域，再由可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，所以满足，即， 又函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 6. 设0<x<1，则＋的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用“1”的变形，得，展开后利用基本不等式求最小值. 【详解】，， 当且仅当， 即时，等号成立． 的最小值为9． 故选：B 7. 已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求得，换元令，结合二次函数求值域. 【详解】设， 则， 可得，解得，即， 令，则， 可得， 因为的图象开口向上，对称轴为， 可得在上单调递增，且当时，， 可得，即函数的值域为. 故选：B. 8. 集合，，，则对任意的，有下列四种说法：①；②；③；④，其中一定正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合M，N，O中元素的性质，分别判断mn，，，on，即可得出结论． 【详解】解：因为，，，， 所以，且， 所以； 又又不一定是2的倍数， 所以不一定属于集合O； 因为，且，所以； 因为， 所以又不一定是2的倍数，所以不一定属于集合O． 所以只有③一定正确， 则一定正确的个数为1． 故选：A． 9. 的定义域为，若对于任意的，，当时，都有，则称在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件得到，，当时，都有，，故，求出. 【详解】函数在上为非减函数，①；由③得， ，令，得， ， 又③，令，有， 令，有， ，，， ，， 又， ，， ，，， 当时，都有，， ， . 故选：C. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 二、多选题：本大题共4小题，共24分. 10. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A、D，代入特殊值进行判断；选项B，当时，可作出判断；选项C，利用基本不等式可以证明； 【详解】对于选项A，当，时，，，所以，则选项A错误：对于选项B，当时，，则选项B错误；对于选项C，因为，，所以（当且仅当时，等号成立），所以，即，则选项C正确；对于选项D，当，，时，，，所以，则选项D错误． 故选：ABD 11. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则的最小值为2 B. 和表示同一个函数 C. 已知集合满足，那么这样的集合有8个 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：利用基本不等式运算求解；对于B：根据函数解析式分析判断；对于C：根据子集关系分析求解即可；对于D：构建方程组求函数解析式即可. 【详解】对于选项A：若，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为5，故A错误； 对于选项B：因为，， 即对应关系不相同，所以两个函数不相等，故B错误； 对于选项C：因为， 可知集合必含有元素1，2，可能含有元素3，4，5， 所以集合的个数即为集合的子集个数，有个，故C正确； 对于选项D：因为，用替换可得， 联立方程，消去可得，故D正确； 故选：CD. 12. 设正实数，满足，则下列说法中正确的有（ ） A. 有最大值 B. 有最小值9 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AC：直接利用基本不等式分析判断即可；对于B：利用乘“1”法，结合基本不等式分析判断；对于D：根据代换，结合二次函数分析判断. 【详解】因为正实数，满足， 对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立， 所以有最大值，故A正确； 对于选项B：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值9，故B正确； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，所以有最大值，故C正确； 对于选项D：因为， 则，当且仅当时，等号成立， 所以有最小值，故D错误； 故选：ABC. 13. 设表示不超过的最大整数，如.函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的值域是 D. 的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意分，和三种情况，化简函数解析式，进而逐项分析判断即可. 【详解】当时，，； 当时，，； 当时，，； 对于选项A：，故A正确； 对于选项B： 因为，，即， 可知在上不单调，故B错误； 对于选项C：当时，； 当时，； 当时，； 综上所述：的值域是，故C正确； 对于选项D：令， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述：的定义域为，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本大题共4小题，共20分. 14. 一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，结合根的判别式，韦达定理进行求解. 【详解】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，则，解得：或 设的两根为，，不妨令，则， 由题意得：，解得：，结合或，所以实数k的取值范围为 故答案为： 15. 设函数，若，则实数______. 【答案】4或 【解析】 【分析】根据题设有或，由解析式再分别讨论不同区间下对应参数a的值，即得答案. 【详解】若，此时， 令，满足；令，不满足， 所以，； 若，此时， 令，不满足；令，满足， 所以，； 综上，实数或. 故答案为：4或 16. 已知，，，，则__________. 【答案】4044 【解析】 【分析】令，求出，再令，求出，将所求化简即可； 【详解】令，则， 令，则， 所以 故答案为：4044. 17. 设正数，满足，则的最大值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用基本不等式可得，进而可得结果. 【详解】设，， 则，可得，当且仅当时，等号成立， 又因为，即， 所以的最大值是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共4小题，共61分. 18. 某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2025年利用新技术生产五折叠屏手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产部手机，需另投入成本万元，且.据知情人士透露，每部手机售价7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2025年的利润关于的函数关系式； （2）2025年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）100，最大利润是8000万元. 【解析】 【分析】（1）结合给定函数模型，利用售价减去成本可得利润表达式； （2）结合二次函数和基本不等式的性质求出最值即可； 【小问1详解】 当时，； 当时，； ； 【小问2详解】 若，， 当时，万元； 若，， 当且仅当即时，万元. 答：2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元. 19. 已知函数. （1）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）求在上的值域； （3）求解关于的不等式. 【答案】（1） 在区间上单调递增，理由如下： 对于，，且， 则， 因为，，且，所以，， 于是，即，故在区间上单调递增； （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （2）由函数单调性求出最值，得到值域； （3）根据，及函数单调性，得到不等式，求出解集. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知在上单调递增， ，， 所以在上的值域为. 【小问3详解】 因为，，由（1）得在区间上单调递增， 故，即， 解得（舍去）或， 所以或. 所以不等式的解集为或. 20. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）分析可知，分析和两种情况，结合二次不等式的恒成立问题分析求解； （2）构建函数，结合一次函数性质分析求解； （3）整理可得，分类讨论最高项系数以及两根大小解不等式即可. 【小问1详解】 .故， 当时，，不满足题意； 当时，则， 综上所述，，故实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为对恒成立， 即对恒成立， 因为，所以在单调递增， 所以只需，即，解得. 【小问3详解】 ，整理可得， ①当时，，解集为； ②当时，方程的两个根为，， 不等式的解集为. ③当时， （i）当时，解集为； （ii）当时，解集为； （iii）当时，解集为. 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 当时，解集为； 当时，解集为. 21. 已知函数， （1）当时， ①求函数单调递增区间； ②求函数在区间的最大值； （2）当时，记函数的最大值为，求的表达式. 【答案】（1）①；②0 （2） 【解析】 【分析】（1）①分和讨论，结合二次函数的性质可得； ②由二次函数的单调性可得； （2）先求出分段函数的表达式，再结合函数参数的二次函数的对称轴和单调性讨论最值即可； 【小问1详解】 ①当时，； 当时，，在上单调递增； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：的单调递增区间为. ②由①知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ；，，， 在上的最大值是0. 【小问2详解】 由题意得：， ①当，即时，时，，对称轴为； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， ； ②当，即时，若，；若，； 当时，，对称轴， 在上单调递增，； ③当，即时，， 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ； 当，即时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ， 若，即时，； 若，即时，； 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一第一学期阶段考试数学科试卷 命题人：张梦涛 钟婉仪 一、单选题：本大题共9小题，共45分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 设0<x<1，则＋的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7. 已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 8. 集合，，，则对任意的，有下列四种说法：①；②；③；④，其中一定正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 的定义域为，若对于任意的，，当时，都有，则称在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4小题，共24分. 10. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则的最小值为2 B. 和表示同一个函数 C. 已知集合满足，那么这样的集合有8个 D. 定义在上的函数满足，则 12. 设正实数，满足，则下列说法中正确的有（ ） A. 有最大值 B. 有最小值9 C. 有最大值 D. 有最小值 13. 设表示不超过的最大整数，如.函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的值域是 D. 的定义域为 三、填空题：本大题共4小题，共20分. 14. 一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为___________． 15. 设函数，若，则实数______. 16. 已知，，，，则__________. 17. 设正数，满足，则的最大值是_____. 四、解答题：本大题共4小题，共61分. 18. 某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2025年利用新技术生产五折叠屏手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产部手机，需另投入成本万元，且.据知情人士透露，每部手机售价7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2025年的利润关于的函数关系式； （2）2025年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 已知函数. （1）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）求在上的值域； （3）求解关于的不等式. 20. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式. 21. 已知函数， （1）当时， ①求函数单调递增区间； ②求函数在区间的最大值； （2）当时，记函数的最大值为，求的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $