精品解析：四川省内江市2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试题

2024-2025学年四川省内江市高二（上）第一次联考数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程. 【详解】由题意可得方程为. 故选：C. 2. 直线x-y+2＝0与x+y-2＝0的交点坐标是（　　） A. （0，2） B. （2，0） C. （1，1） D. （-1，1） 【答案】A 【解析】 【分析】联立方程组进行求解即可求出直线的交点坐标． 【详解】由，得，即交点坐标为(0，2). 故选：A． 3. 已知圆，则下列点在圆C内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将每一个点的坐标代入圆方程求解验证即可. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 4. 已知空间中点和点，且，则实数x的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间两点间的距离公式求解. 【详解】点和点，且， ， 化简得，解得或， 实数的值是或． 故选：A． 【点睛】对于空间中两点，，则. 5. 过点 ，且与直线垂直的直线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为的斜率为，所以过点，且与直线垂直的直线的斜率为，因此过点，且与直线垂直的直线的方程为既是,故选A. 考点：1、直线垂直的性质；2、点斜式求直线方程. 6. 已知向量，分别为平面和平面的法向量，则平面与平面的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据坐标可求出，根据夹角的范围以及平面的夹角与平面法向量之间的关系即可求出答案. 【详解】解：由已知可得，，， 所以. 设为平面与平面的夹角，则， 又， 所以. 故选：C. 7. 一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用反射定律，可得反射光线所在直线经过点，点，再用两点式求得反射光线QP′所在的直线方程． 【详解】由题意可得反射光线所在直线经过点， 设点关于x轴的对称点为， 则根据反射定律，点在反射光线所在直线上， 故反射光线所在直线的方程为 ，即， 故选：A． 8. 已知为直线上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点坐标，易得，当A，，三点共线时，取到最小值，且最小值为． 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即．设关于直线对称的点为，则得，即． 易得，当A，，三点共线时，取到最小值，且最小值为． 故选：A． 9. 已知直线，当原点O到l的距离最大时，l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出直线过定点，然后当时，原点O到l的距离最大，即可求出答案. 【详解】由可得， 由可得，所以直线过定点， 当时，原点O到l的距离最大， 因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故选：A 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示计算得出的值判断A，B；根据向量垂直的坐标表示计算得出的关系判断C，D. 【详解】若，则，得，故A正确，B错误； 若，则，即，故C正确，D错误； 故选：AC. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B. 任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C. 过点斜率为的点斜式方程为 D. 直线的斜率越大，倾斜角越大 【答案】AC 【解析】 【分析】 中，由直线过第一、二、四象限得出、的取值范围，判断点所在象限； 中，倾斜角为时斜率不存在； 中，由点斜式方程写出对应的直线方程； 中，在，时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大. 【详解】解：对于，若直线经过第一、二、四象限，则，，所以点在第二象限，选项正确； 对于，任何一条直线都有倾斜角，但是不一定都存在斜率，如倾斜角为时斜率不存在，所以选项错误； 对于，由点斜式方程知，过点斜率为的点斜式方程为，所以选项正确； 对于，在，内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在，时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大；所以选项错误. 故选：. 12. 正方体的棱长为2，、、分别是棱、、的中点，下列结论正确的有（ ） A. 面 B. 面 C. 过三点所得正方体的截面的面积为 D. 面与面所成角的正切值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】作出完整的正方体的截面，由正方体性质得截面的性质，由线面平行、线面垂直的判定定理判断AB，计算出截面面积判断C，利用两平面法向量的夹角的正切得二面角的正切值判断D． 【详解】由正方体的性质，如图六边形是过三点的正方体的截面，其中分别是的中点， 因此有，而平面，平面，所以面，A正确； 由得，又平面，平面，所以，而，平面，所以平面，又平面，所以，同理，，平面，所以平面，B正确； 正方体棱长为2，则，截面面积为，C正确； 由上证明知是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，而和的夹角是，，因此面与面所成角的正切值为．D错． 故选：ABC． 13. 已知正方体的棱长为1，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成的角为 B. 点与平面的距离为 C. 直线与平面所成的角为 D. 平面与平面所成的角为 【答案】ABC 【解析】 【详解】建立空间直角坐标系，利用空间向量相关公式求解线线角，点到平面的距离，面面角和线面角的大小. 【分析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， A选项，则， 故， 故， 故直线与所成的角为； B选项，设平面的法向量为， ， 令得，，故， 故点到平面的距离为，正确； C选项，因为平面平面， 所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为平面， 所以平面， 故平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角大小为， 显然， 故直线与平面所成的角为，正确. D选项，设平面的法向量为， ， 令，则，故， 平面的法向量为， 故 故平面与平面所成的角不为， 故选: ABC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 14. 若与的夹角为120°，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示，向量模长的坐标表示及向量夹角的坐标表示即得． 【详解】由已知，， ， 解得或. 故答案为：或. 15. 若直线始终平分圆的周长，则a的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出给定圆的圆心坐标，利用点在直线上求出a的值. 【详解】圆的圆心坐标为， 由直线始终平分圆的周长，得此直线必过圆心， 因此，解得， 所以a的值为. 故答案为： 16. 如图，为矩形所在平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的加法与减法运算可得出关于、、的表达式，可得出、、的值，由此可得出的值. 【详解】因为，，则，， ， 所以，，，，故. 故答案为：. 17. 如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据几何图形，应用向量加法、数乘的几何意义用，，表示出即可. 【详解】. 故答案为： 四、解答题 18. 已知直线：，直线：. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. 【小问2详解】 因为，所以 解得或. 19. 在中，边上的高所在的直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为. （1）求点的坐标. （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过联立方程组求得点坐标. （2）利用点斜式求得直线的方程. 【小问1详解】 由解得，则. 【小问2详解】 直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. 20. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立方程，求出交点，再由垂直关系得出斜率，进而写出直线方程； （2）由对称性得出点关于直线对称的点为，进而结合图像得出最值. 【小问1详解】 解：联立，解得， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为； 故所求直线方程为，即 【小问2详解】 设点关于直线对称的点为， ，解得 则， 故的最小值为. 21. 已知圆，圆心坐标为． （1）求圆的一般方程； （2）若点为圆上的动点，定点，求满足条件的点的轨迹方程并判断它的形状． 【答案】（1） （2），形状为圆 【解析】 【分析】（1）根据圆心求出参数可得圆的方程； （2）设点的坐标，根据条件可得的坐标关系，利用点在圆上即可得出的轨迹方程，判断轨迹形状. 【小问1详解】 因为圆的圆心为， 所以，即， 则圆的一般方程为． 【小问2详解】 设的坐标为，， 易得． 由得， 解得， 因为点为圆上的动点， 所以满足， 所以， 化简得点的轨迹方程为． 因为， 所以点的轨迹为圆． 22. 如图，平面，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离. 【答案】（1）证明：连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形. 由点和分别为和的中点，可得且， 因为为的中点，所以且， 可得且，即四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面.； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证得，利用用线面判定定理，即可得到平面. （2）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.求得平面和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． （3）设，则，从而，由（2）知平面的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系. 依题意可得，. ， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得， 设为平面的法向量， 则，即，不妨设，可得，. ，于是. 所以，二面角的正弦值为. 【小问3详解】 设，即，则. 从而. 由（2）知平面的法向量为， 由题意，，即， 整理得，解得或， 因为所以，所以. 则N到平面的距离为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省内江市高二（上）第一次联考数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 直线x-y+2＝0与x+y-2＝0的交点坐标是（　　） A. （0，2） B. （2，0） C. （1，1） D. （-1，1） 3. 已知圆，则下列点在圆C内的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间中点和点，且，则实数x的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 过点 ，且与直线垂直的直线方程为 A. B. C. D. 6. 已知向量，分别为平面和平面的法向量，则平面与平面的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A. B. C. D. 8. 已知为直线上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 9. 已知直线，当原点O到l的距离最大时，l的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B. 任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率 C. 过点斜率为的点斜式方程为 D. 直线的斜率越大，倾斜角越大 12. 正方体的棱长为2，、、分别是棱、、的中点，下列结论正确的有（ ） A. 面 B. 面 C. 过三点所得正方体的截面的面积为 D. 面与面所成角的正切值为 13. 已知正方体的棱长为1，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成的角为 B. 点与平面的距离为 C. 直线与平面所成的角为 D. 平面与平面所成的角为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分. 14. 若与的夹角为120°，则的值为______． 15. 若直线始终平分圆的周长，则a的值为______. 16. 如图，为矩形所在平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，，则__________. 17. 如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示___________. 四、解答题 18. 已知直线：，直线：. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 19. 在中，边上的高所在的直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为. （1）求点的坐标. （2）求直线的方程. 20. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 21. 已知圆，圆心坐标为． （1）求圆的一般方程； （2）若点为圆上的动点，定点，求满足条件的点的轨迹方程并判断它的形状． 22. 如图，平面，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $