检测06第三次月考（能力卷） -2024-2025学年高一年级上学期数学月考检测（新高考人教A版专用）

检测06第三次月考（能力卷）（2019人教A版） 测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数的概念与性质+指数函数与对数函数 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知集合，若，则的取值构成集合（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）已知关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东·期中）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 5．（24-25高一上·湖北·期中）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·重庆渝北·期中）实数，，，，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25高一上·重庆·期中）若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·安徽·期中）设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·浙江·一模）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高一上·山西太原·期中）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B．是增函数 C．是偶函数 D．不等式的解集为 11．（24-25高一上·吉林长春·期中）下列选项错误的是（      ） A．若，则 B．已知，，则 C．已知x，y为正实数，则 D．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·重庆·期中）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 13．（24-25高一上·河南·期中）已知函数．若，则的取值范围为 ． 14．（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数的图象恒过点，则 ，函数的单调递增区间为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·吉林·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 16. (15分) （24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）解答下列各题 (1)若，求的最小值． (2)若正数a，b满足，求的最小值． 17. (15分) （24-25高一上·四川成都·期中）定义在上的函数满足，且当时，． (1)求，的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断并用定义证明函数在上的单调性. 18. (17分) （24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设定义在上的奇函数且， (1)求的值 (2)已知，函数，，求的值域； (3)若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为D，若存在常数k（），使得对D内的任意，且，都有成立，则称为D上的“k-严格利普希茨”函数. (1)判断函数，是否为“2-严格利普希茨”函数，并说明理由； (2)若函数（）为“k-严格利普希茨”函数，求常数k的取值范围； (3)若是上的“1-严格利普希茨”函数，且满足，判断是否存在，，使得成立，如果存在，请写出一个满足条件的函数和，的值；如果不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测06第三次月考（能力卷）（2019人教A版） 测试范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数的概念与性质+指数函数与对数函数 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知集合，若，则的取值构成集合（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）已知关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东·期中）若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数，若正数m，n满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 5．（24-25高一上·湖北·期中）对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·重庆渝北·期中）实数，，，，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25高一上·重庆·期中）若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·安徽·期中）设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·浙江·一模）已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高一上·山西太原·期中）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B．是增函数 C．是偶函数 D．不等式的解集为 11．（24-25高一上·吉林长春·期中）下列选项错误的是（      ） A．若，则 B．已知，，则 C．已知x，y为正实数，则 D．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（24-25高一上·重庆·期中）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 13．（24-25高一上·河南·期中）已知函数．若，则的取值范围为 ． 14．（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数的图象恒过点，则 ，函数的单调递增区间为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高一上·吉林·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围. 16. (15分) （24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）解答下列各题 (1)若，求的最小值． (2)若正数a，b满足，求的最小值． 17. (15分) （24-25高一上·四川成都·期中）定义在上的函数满足，且当时，． (1)求，的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断并用定义证明函数在上的单调性. 18. (17分) （24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设定义在上的奇函数且， (1)求的值 (2)已知，函数，，求的值域； (3)若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. (17分) （24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为D，若存在常数k（），使得对D内的任意，且，都有成立，则称为D上的“k-严格利普希茨”函数. (1)判断函数，是否为“2-严格利普希茨”函数，并说明理由； (2)若函数（）为“k-严格利普希茨”函数，求常数k的取值范围； (3)若是上的“1-严格利普希茨”函数，且满足，判断是否存在，，使得成立，如果存在，请写出一个满足条件的函数和，的值；如果不存在，请说明理由. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D A D D B ACD BD 题号 11 答案 AC 1．B 【分析】根据子集的定义可得或，讨论求解，注意集合元素的互异性. 【详解】由，可得或， 若，即，此时，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，不符合集合的互异性，舍去. 综上，的取值构成的集合为. 故选：B. 2．C 【分析】由不等式的解集，利用韦达定理得与的关系，对所求不等式进行变形求解即可. 【详解】关于x的不等式的解集是，则, 则，， 不等式等价于，即， 解得或. 故选：C. 3．D 【分析】根据图意，写出定义域和值域，再与条件对照得解. 【详解】对于A，定义域为，值域为，与条件矛盾，错误； 对于B，定义域为，值域为，与条件矛盾，错误； 对于C，一个自变量对应两个函数值，不是函数，与条件矛盾，错误； 对于D，定义域为，值域为，与条件吻合，正确； 故选：D. 4．D 【分析】根据函数解析式可得，据此得出，再由“1”的技巧及基本不等式得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以由可得，即， 由， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 5．A 【分析】则原问题转化为方程：在上有解问题，结合对称轴和根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】设为奇函数，且当时，， 则时，， 则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题. 由在有解得： . 故选：A 6．D 【分析】对于A，取即可判断；对于B，取即可判断； 对于C，取即可判断；对于D，作差并求得差值即可判断D得解. 【详解】对于A，取时，满足，， 但，不满足，故A错误； 对于B，取时，满足， 但，不满足，故B错误； 对于C，取，满足， 但，不满足，故C错误； 对于D，， 因为，所以，所以， 所以，即.故D正确. 故选：D. 7．D 【分析】构造函数，由题意可以推出函数的单调性，结合函数定义域利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有， 所以函数是上的减函数， 由的定义域为，则在中满足，解得， 当时， ， 则，所以，解得， 故不等式的解集为． 故选：D. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数，并结合已知求出不等式中的范围再解不等式即可. 8．B 【分析】画出的图象，令，分析出函数有两个不相等零点，且和均有三个根，且根各不相同，所以，由韦达定理分析得到，，由对勾函数单调性得到的取值范围，验证后得到答案. 【详解】画出的图象如下：    令，则函数至多两个零点， 而至多三个根，同理至多三个根， 要想有六个不同的零点， 需有两个不相等零点，不妨设， 且和均有三个根，且根各不相同， 所以，由韦达定理得，， 显然，故， 故，， 由对勾函数性质得在上单调递减， 所以， 此时满足，故。 故选：B 【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 9．ACD 【分析】由基本不等式判断AB选项，由不等式的基本性质判断CD选项. 【详解】当且仅当时取等号，A选项正确； 当且仅当时取等号，B选项错误； ∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C选项正确； ∵，∴，∴，D选项正确. 故选：ACD. 10．BD 【分析】首先根据幂函数的定义设出幂函数的表达式，再将已知点代入求出幂函数的具体形式.然后根据幂函数的性质依次分析每个选项. 【详解】设幂函数，因为图象经过点，所以将点代入中，可得，那么，即. 分析选项A,，定义域为，所以不在定义域内，无意义，A选项错误. 分析选项B,幂函数，因为，根据幂函数性质，当时，幂函数在定义域上单调递增，B选项正确. 分析选项C,，无意义，不满足，不是偶函数，C选项错误. 分析选项D,由，即，解不等式， ， 又因为定义域为，所以不等式的解集为，D选项正确. 故选：BD. 11．AC 【分析】由不等式的性质判断A（举特例），由指数与根式的运算性质判断B，由对数的运算性质判断C，由题设命题的否定为真命题，再转化为求函数最小值（使用勾形函数定义域求最小值）判断D． 【详解】A选项，当时，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，一般，如， 而，C错误； D选项，若命题“”是假命题， 则命题“”是真命题， 所以，设，则，， 由勾形函数性质知在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，所以，D正确. 故选：AC． 12． 【分析】换元令，可得，分类讨论结合基本不等式求得，结合恒成立问题可得，运算求解即可. 【详解】因为， 令，则， 可得， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立； 若，则； 若，则； 综上所述：，当且仅当时，等号成立， 因为不等式对任意恒成立， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13． 【分析】记，将不等式转化为，根据的奇偶性和单调性求解可得. 【详解】记，定义域为， 因为， 所以为奇函数， 因为都是增函数，所以在单调递增， ， 即， 所以，即， 解得或，所以的取值范围为. 故答案为： 14． 8 【分析】先求得的图象所过定点的坐标，再由对数型复合函数的单调性确定单调区间． 【详解】当时，得， 所以过定点，即，所以； 函数， 令，解得或，函数在上递减，在上递增， 又在单调递增， 所以在为增函数，在为减函数， 所以函数的单调递增区间为． 故答案为：；． 15．(1) (2). 【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案. （2）根据列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由题意可得. 当时，， 则. （2）由（1）可知，则， 因为，所以， 解得，即a的取值范围是. 16．(1)8； (2)18. 【分析】（1）根据给定条件，利用配凑及基本不等式求出最小值. （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1）由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值8. （2）正数a，b满足，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值取得最小值18. 17．(1)，，偶函数 (2)函数在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）由得，由得，根据定义可判断函数为偶函数. （2）由定义法可证明函数在上单调递增． 【详解】（1）∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，定义域为， ∵，∴函数为偶函数. （2）函数在上单调递增．证明如下： . ，且， 则， ∵，∴，即， ∴在上单调递增． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质求解参数即可. （2）对给定函数合理变形，将其利用换元法变为二次函数，利用二次函数的性质求解值域即可. （3）利用题意结合函数的奇偶性与单调性将问题转化为绝对值不等式恒成立问题，再利用同时平方法化为一元二次不等式恒成立问题，求解参数范围即可. 【详解】（1）是定义域为上的奇函数， ，得到，解得， 经检验，满足题意，即的值为. （2），，即， 或舍去， ， 令，由指数函数性质得在上为增函数， ，， 由二次函数性质得当时，， 而，，的值域是， 故的值域是. （3）由于，， 因为是奇函数，所以， 故，且定义域关于原点对称，可得是偶函数， 由指数函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 又，， 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 左右同时平方得对恒成立. ， 解得，综上可得的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是利用函数的奇偶性和单调性对给定不等式化简，然后将其化为一元二次不等式恒成立问题，再得到所要求的参数范围即可. 19．(1)是“2-严格利普希茨”函数，不是“2-严格利普希茨”函数，理由见解析； (2) (3)不存在，，使得成立，理由见解析 【分析】（1）对于，有，满足要求，对于，举出反例； （2）任取，分子有理化，得到，求出，得到； （3）不妨设，分和两种情况，得到，从而得到结论. 【详解】（1）是“2-严格利普希茨”函数， 不是“2-严格利普希茨”函数，理由如下： 定义域为R，任取， ， 故是“2-严格利普希茨”函数； 的定义域为R，任取， ， 当，此时， 故不是“2-严格利普希茨”函数； （2）任取， ， 由于，故， 故，， 要想恒成立，则， 故常数k的取值范围是； （3）不存在，，使得成立，理由如下： 是上的“1-严格利普希茨”函数， 故对任意的，，且，有， 不妨设，当时，， 当时，由于，，故， 故 ， 综上，恒成立， 不存在，，使得成立. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 学科网（北京）股份有限公司 $$