福建省厦门大学附属科技中学2024-2025学年八年级上学期数学期中模拟试卷

福建省厦门大学附属科技中学2024-2025学年八年级上学期数学期中模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）下列各图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列生活中的一些事实运用了“三角形稳定性”的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1、2、3 B．3、4、5 C．1、4、6 D．2、3、7 4．（4分）如图，CM是△ABC的中线，AM＝4cm，则BM的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．（﹣5，2） B．（﹣2，5） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2） 6．（4分）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．（2a2）3＝6a6 C．（﹣a3）2+（a2）3＝2a6 D．a4×a4＝a16 7．（4分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（4分）已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（　　） A．35 B．19 C．12 D．10 9．（4分）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（　　） A．a（b﹣x）＝ab﹣ax B．b（a﹣x）＝ab﹣bx C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx D．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2 10．（4分）如图，将一个等腰Rt△ABC按如图方式折叠，若DE＝a、DC＝b，下列四个结论：①DC′平分∠BDE；②BC长为2a+b；③△BDC′是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长．其中正确的是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．（4分）若a2•am＝a6，则m＝　 　． 12．（4分）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ABC的角平分线．若AB＝AC，∠BAD＝28°，则∠ACE＝　 　． 13．（4分）在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为　 　． 14．（4分）已知△ABC≌△DEF，若△ABC的一边AB长为7cm，∠C＝∠B＝60°，则△DEF的周长是　 　cm． 15．（4分）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为 　 　． 16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC是锐角，以BC为斜边在△ABC内部作一个等腰直角三角形△BCD，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，若F为AC的中点，AB＝5，DF＝1，则BE＝　 　． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17．（12分）计算： （1）（2x+1）（x+3） （2）（﹣2x2）（3x+1） （3）a3•a4•a+（2a4）2 18．（8分）先化简，再求值：x2（x﹣1）﹣x（x2﹣x+3），其中x＝﹣1． 19．（8分）如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，求证∠A＝∠C． 20．（8分）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣6，0）． （1）写出图中B点的坐标：　 　； （2）若点B关于y轴对称的点是C，写出点C的坐标：　 　； （3）△ABC的面积是 　 　； （4）已知AB＝5，在x轴上找一点D，使△ABD为以AB为腰的等腰三角形，则点D的坐标为 　 　． 21．（8分）如图，某中学校园内有一块长为（x+2y）米，宽为（2x+y）米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． （1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）若x＝2，y＝3，预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用． 22．（8分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 23．（10分）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合） （1）∠ABO的度数为 　 　，△AOB 　 　（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数． 24．（12分）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，CD＝BD，点E在CD上，DE＝DA，连接BE． （1）求证：BE＝CA； （2）延长BE交AC于点F，连接DF，求∠CFD的度数； （3）过点C作CM⊥CA，CM＝CA，连接BM交CD于点N，若BD＝12，AD＝4，直接写出△NBC的面积． 25．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A，B分别在坐标轴上． （1）如图①，若点C的横坐标为﹣2，点B的坐标为　 　； （2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD垂直x轴于D点，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由； （3）如图③，OB＝BF，∠OBF＝90°，连接CF交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，线段AO与PB的数量关系是否发生改变？如不变，试猜想线段AO与PB的数量关系，并说明理由． 福建省厦门大学附属科技中学2024-2025学年八年级上学期数学期中模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）下列各图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、图形折叠后，不能互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； B、图形折叠后，能互相重合，是轴对称图形，符合题意； C、图形折叠后，不能互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； D、图形折叠后，不能互相重合，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 2．（4分）下列生活中的一些事实运用了“三角形稳定性”的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：儿童座架利用三角形的稳定性，座架形成三角形不变形，结实，故C符合题意； A、B、D不是三角形，故选项不符合题意． 故选：C． 3．（4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1、2、3 B．3、4、5 C．1、4、6 D．2、3、7 【解答】解：A、1+2＝3，不能构成三角形，故此选项错误； B、3+4＞5，能构成三角形，故此选项正确； C、1+4＜6，不能构成三角形，故此选项错误； D、3+2＜7，不能构成三角形，故此选项错误． 故选：B． 4．（4分）如图，CM是△ABC的中线，AM＝4cm，则BM的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【解答】解：∵CM是△ABC的中线，AM＝4cm， ∴BM＝AM＝4cm， 故选：B． 5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．（﹣5，2） B．（﹣2，5） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2） 【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（﹣5，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（5，﹣2）． 故选：D． 6．（4分）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．（2a2）3＝6a6 C．（﹣a3）2+（a2）3＝2a6 D．a4×a4＝a16 【解答】解：A、a2和a3不是同类项，不能直接相加，故该项不正确，不符合题意； B、（2a2）3＝8a6，故该项不正确，不符合题意； C、（﹣a3）2+（a2）3＝a6+a6＝2a6，故该项正确，符合题意； D、a4×a4＝a8，故该项不正确，不符合题意； 故选：C． 7．（4分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴BE＝AE＝4， ∵EC＝2， ∴BC＝BE+EC＝4+2＝6， 故选：D． 8．（4分）已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（　　） A．35 B．19 C．12 D．10 【解答】解：∵2a＝5，4b＝7， ∴2a+2b＝2a•22b ＝2a•（22）b ＝2a•4b ＝5×7 ＝35， 故选：A． 9．（4分）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（　　） A．a（b﹣x）＝ab﹣ax B．b（a﹣x）＝ab﹣bx C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx D．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2 【解答】解：图1中，阴影部分＝长（a﹣x）宽（a﹣2b）长方形面积， ∴阴影部分的面积＝（a﹣x）（b﹣x）， 图2中，阴影部分＝大长方形面积﹣长a宽x长方形面积﹣长b宽x长方形面积+边长x的正方形面积， ∴阴影部分的面积＝ab﹣ax﹣bx+x2， ∴（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2． 故选：D． 10．（4分）如图，将一个等腰Rt△ABC按如图方式折叠，若DE＝a、DC＝b，下列四个结论：①DC′平分∠BDE；②BC长为2a+b；③△BDC′是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长．其中正确的是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠C＝45°，， ∵Rt△ABD折叠得到Rt△EBD， ∴DE＝AD＝a，∠DEB＝90°，， ∴△DCE为等腰直角三角形， ∴CE＝DE＝a，∠CDE＝45°， ∵Rt△DC′E由Rt△DCE折叠得到， ∴∠C′DE＝∠CDE＝45°，∠DC′E＝45°， ∴∠BDC′＝∠DC′E﹣∠DBE＝22.5°， ∴DC′不平分∠BDE， 所以①错误； ∵CE＝DE＝a，BE＝AB＝AC＝AD+CD＝DE+CD＝a+b， ∴BC＝BE+CE＝a+b+a＝2a+b， 所以②正确； ∵∠DBC＝∠BDC′＝22.5°， ∴△BDC′是等腰三角形， 所以③正确； ∵△CED的周长＝DE+EC+DC＝a+a+b＝2a+b， ∴△CED的周长等于BC的长， 所以④正确． 故答案为：②③④， 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．（4分）若a2•am＝a6，则m＝　4　． 【解答】解：原式等价于 a2+m＝a6， 即2+m＝6， 解得m＝4， 故答案为：4． 12．（4分）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ABC的角平分线．若AB＝AC，∠BAD＝28°，则∠ACE＝　31°　． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠BAD＝28°， ∴∠CAB＝2∠CAD＝56°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）÷2＝62°． ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE＝31°． 故答案为：31°． 13．（4分）在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为　45°或72°　． 【解答】解：设∠B＝x°，则∠A＝2x°， 当∠A是顶角时，∠A+2∠B＝180°， 即：4x＝180， 解得：x＝45， 此时∠C＝∠B＝45°； 当∠A是底角时，2∠A+∠B＝180°， 即5x＝180， 解得：x＝36°， 此时∠C＝2∠B＝72°， 故答案为：45°或72°． 14．（4分）已知△ABC≌△DEF，若△ABC的一边AB长为7cm，∠C＝∠B＝60°，则△DEF的周长是　21　cm． 【解答】解：∵△ABC中，∠C＝∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵△ABC≌△DEF， ∴△DEF是等边三角形， ∴△DEF的周长是：3AB＝21cm． 故答案为：21． 15．（4分）如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为 　4.5cm2　． 【解答】解：如图，延长AP，交BC于D， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠DBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠DPB＝90°， 在△APB和△DPB中， ， ∴△APB≌△DPB（ASA）， ∴AP＝PD， ∴S△DPB＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD， ∴S△PBC＝S△ABC＝×9＝4.5cm2， 故答案为：4.5cm2． 16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC是锐角，以BC为斜边在△ABC内部作一个等腰直角三角形△BCD，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，若F为AC的中点，AB＝5，DF＝1，则BE＝　　． 【解答】解：作CG∥AB交EF的延长线于点G， ∵DE⊥AB于点E， ∴∠G＝∠BED＝∠AEF＝90°， ∵∠BDC＝90°， ∴∠GDC＝∠EBD＝90°﹣∠BDE， 在△GDC和△EBD中， ， ∴△GDC≌△EBD（AAS）， ∴DG＝BE，CG＝DE， 在△CFG和△AFE中， ， ∴△CFG≌△AFE（AAS）， ∴CG＝AE， ∵AB＝5，DF＝1， ∴AE＝DE＝5﹣BE， ∵GF＝EF，且FG＝DG﹣DF＝BE﹣1，EF＝DE+DF＝5﹣BE+1， ∴BE﹣1＝5﹣BE+1， 解得BE＝， 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17．（12分）计算： （1）（2x+1）（x+3） （2）（﹣2x2）（3x+1） （3）a3•a4•a+（2a4）2 【解答】解：（1）（2x+1）（x+3） ＝2x2+6x+x+3 ＝2x2+7x+3； （2）（﹣2x2）（3x+1） ＝﹣6x3﹣2x2； （3）a3•a4•a+（2a4）2 ＝a8+4a8 ＝5a8． 18．（8分）先化简，再求值：x2（x﹣1）﹣x（x2﹣x+3），其中x＝﹣1． 【解答】解：x2（x﹣1）﹣x（x2﹣x+3） ＝x3﹣x2﹣x3+x2﹣3x ＝﹣3x 当x＝﹣1时，原式＝﹣3×（﹣1）＝3 19．（8分）如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，求证∠A＝∠C． 【解答】证明：在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴∠A＝∠C． 20．（8分）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣6，0）． （1）写出图中B点的坐标：　（﹣3，4）　； （2）若点B关于y轴对称的点是C，写出点C的坐标：　（3，4）　； （3）△ABC的面积是 　12　； （4）已知AB＝5，在x轴上找一点D，使△ABD为以AB为腰的等腰三角形，则点D的坐标为 　（﹣1，0）或（0，0）　． 【解答】解：（1）由图可得，B点的坐标为（﹣3，4）． 故答案为：（﹣3，4）． （2）∵B关于y轴对称的点是C， ∴点C的坐标为（3，4）． 故答案为：（3，4）． （3）△ABC的面积是＝12． 故答案为：12． （4）如图，点D'，D''均满足题意． ∴点D的坐标为（﹣1，0）或（0，0）． 故答案为：（﹣1，0）或（0，0）． 21．（8分）如图，某中学校园内有一块长为（x+2y）米，宽为（2x+y）米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． （1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）若x＝2，y＝3，预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用． 【解答】解：（1）由题意可得： （2x+y）（x+2y）﹣2y2 ＝2x2+4xy+xy+2y2﹣2y2 ＝2x2+5xy； （2）当x＝2，y＝3时，原式＝2×22+5×2×3＝38（平方米）， 费用为：38×50＝1900（元）， 答：修建文化广场所需要的费用为1900元． 22．（8分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴∠ACB＝60°，， ∵CE＝CD， ∴， ∴∠CBD＝∠E＝30°． ∴DB＝DE； （2）解：∵DF⊥BE， ∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°， ∵CF＝4， ∴DC＝2CF＝8． ∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48． 23．（10分）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合） （1）∠ABO的度数为 　30°　，△AOB 　不是　（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”． 【应用拓展】 如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数． 【解答】解：（1）∵AB⊥OM， ∴∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°， ∴∠OAB＝3∠ABO， ∴△AOB不是“和谐三角形”； 故答案为：30°，不是； （2）∵∠ACB是△AOC的一个外角， ∴∠ACB＝∠O+∠OAC， 又∠O＝60°，∠ACB＝84° ∴∠OAC＝24°， ∠ACO＝180°﹣84°＝96°， ∴∠ACO＝4∠OAC， ∴△AOC是“和谐三角形”； （3）∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°， ∴∠EFC＝∠ADC， ∴AD//EF， ∴∠DEF＝∠ADE， 而∠DEF＝∠B， ∴∠B＝∠ADE， ∵DE//BC， ∴∠CDE＝∠BCD， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠B＝∠BCD， ∵△BCD是“和谐三角形”， ∴∠BDC＝4∠B或者∠B＝4∠BDC ∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180° ∴∠B＝30°或者∠B＝80°． 24．（12分）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，CD＝BD，点E在CD上，DE＝DA，连接BE． （1）求证：BE＝CA； （2）延长BE交AC于点F，连接DF，求∠CFD的度数； （3）过点C作CM⊥CA，CM＝CA，连接BM交CD于点N，若BD＝12，AD＝4，直接写出△NBC的面积． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，CD＝BD，DE＝DA， ∴∠ADC＝∠EDB， 在△DBE和△DCA中， ， ∴△DBE≌△DCA（SAS）， ∴BE＝AC． （2）如图，过点D作DP⊥DF交BE于点P， 根据（1）得△DBE≌△DCA，∠DBE＝∠DCA， ∵∠DBE+∠DEB＝90°，∠DEB＝∠FEC， ∴∠FEC+∠ECF＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∵DP⊥DF，CD⊥AB， ∴∠BDP＝∠CDF， 在△BDP和△CDF中， ， ∴△BDP≌△CDF（ASA）， ∴DF＝DP， ∴∠DFB＝45°， ∴∠CFD＝∠BFC+∠DFB＝45°+90°＝135°． （3）如图，在CD上截取DE＝DA，连接BE，延长BE交AC于点F， 根据（1）（2）得证△DBE≌△DAC，∠BFC＝90°，BE＝AC； ∵CM⊥CA，CM＝CA， ∴CM∥BF，BE＝MC， ∴∠BEN＝∠MCN， 在△BEN和△MCN中， ， ∴△BEN≌△MCN（AAS）， ∴， ∴△NBC的面积为：． 25．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A，B分别在坐标轴上． （1）如图①，若点C的横坐标为﹣2，点B的坐标为　（0，2）　； （2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD垂直x轴于D点，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由； （3）如图③，OB＝BF，∠OBF＝90°，连接CF交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，线段AO与PB的数量关系是否发生改变？如不变，试猜想线段AO与PB的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A，B分别在坐标轴上，如图①，过点C作CH⊥y轴于H， ∴∠BHC＝90°＝∠ABC， ∴∠BCH+∠CBH＝∠ABH+∠CBH＝90°， ∴∠BCH＝∠ABH， ∵点C的横坐标为﹣2， ∴CH＝2， 在△ABO和△BCH中， ， ∴△ABO≌△BCH（AAS）， ∴CH＝BO＝2， ∴点B（0，2）； 故答案为：（0，2）； （2）AM＝2CD，理由如下： x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过点C作CD垂直x轴于D点，如图②，延长AB，CD交于点N， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△ADN和△ADC中， ， ∴△ADN≌△ADC（ASA）， ∴CD＝DN， ∴CN＝2CD， ∵∠N+∠BAD＝90°，∠N+∠BCN＝90°， ∴∠BAD＝∠BCN， 在△ABM和△CBN中， ， ∴△ABM≌△CBN（ASA）， ∴AM＝CN， ∴AM＝2CD； （3）线段AO与PB的数量关系不发生改变；；理由如下： 如图③，作EG⊥y轴于G， ∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA+∠CBG＝90°， ∴∠BAO＝∠CBG， 在△BAO和△CBG中， ， ∴△BAO≌△CBG（AAS）， ∴BG＝AO，CG＝OB， ∵OB＝BF， ∴BF＝GC， 在△CGP和△FBP中， ， ∴△CGP≌△FBP（AAS）， ∴PB＝PG， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$