15.3 分式方程练习2024-2025学年人教版八年级数学上册

15.3 分式方程 一、选择题： 1.分式方程的解是(    ) A. B. C. D. 2.方程的解是(    ) A. B. C. D. 3.甲乙两人各自加工个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工分钟后，甲开始加工甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件，可列方程为(    ) A. B. C. D. 4.解分式方程时，去分母变形正确的是(    ) A. B. C. D. 5.，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子已知甲做个盒子比乙做个盒子少用分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的倍设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程(    ) A. B. C. D. 7.年山西省新的中考政策，初中二年级生物学科也成为中考的必考科目之一，其中包含生物实验操作为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共台，已知购买单目显微镜用了元，购买双目显微镜用了元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜台，则下列选项中所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 8.小王和小李两位同学准备用元班费给班里买一定数量的篮球，已知甲、乙两个商店某种品牌的篮球标价相同，如图是两位同学了解到的具体情况： 下面是两位同学分别列出来的两个方程： 小王：； 小李． 其中的表示的意义为(    ) A. 均为篮球的数量 B. 均为篮球的单价 C. 小王方程中的表示篮球的数量，小李方程中的表示篮球的单价 D. 小王方程中的表示篮球的单价，小李方程中的表示篮球的数量 9.九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间设规定时间为天，则下列分式方程正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 10.方程的解为          ． 11.某工程队承接了万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前天完成了这一任务设实际工作时，每天绿化的面积为万平方米，则可列方程______． 12.定义一种新运算：对于任意的非零实数，满足若，则的值为______． 13.若分式方程的解为正整数，则整数的值为______． 14.若关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为______． 15.若关于的方程无解，则的值为          ． 16.某工厂为了提高生产效率，更新了工厂设备，现在每台机器平均每天比原来多生产件产品，若该工厂的机器台数不变，现在每天总的生产能力由件提高到了件，求原来每台机器平均每天生产多少件产品？设原来每台机器每天生产件产品，根据题意可列方程为______． 17.若关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有且只有四个整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 三、解答题： 18.为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段简称峰时：：：，用电低谷时段简称谷时：：次日：，峰时电价比谷时电价高元度市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为元，谷时电费为元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价． 19.为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共条生产线的设备进行更新换代． 为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策根据相关政策，更新条甲类生产线的设备可获得万元的补贴，更新条乙类生产线的设备可获得万元的补贴这样更新完这条生产线的设备，该企业可获得万元的补贴该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ 经测算，购买更新条甲类生产线的设备比购买更新条乙类生产线的设备需多投入万元，用万元购买更新甲类生产线的设备数量和用万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 20.某专卖店欲查询，两款羽绒服的进价，发现进货单下表已被墨水污染． 单价元 数量件 总金额元 款羽绒服 款羽绒服 采购员李小兵和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李小兵：我记得款羽绒服的单价比款羽绒服的单价贵了． 王师傅：款羽绒服的数量比款羽绒服多件． 求，两款羽绒服的单价． 初冬时，该专卖店将这批羽绒服均按每件元进行零售，销售一段时间后，因气温回暖，羽绒服滞销，剩下的羽绒服全部六折让利销售若总获利不低于万元，求该专卖店让利销售的羽绒服最多是多少件、 21.小丁和小迪分别解方程过程如下： 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“”；若错误，请在框内打“”，并写出你的解答过程． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：原方程去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故选：． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故选：． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件， 根据题意得． 故选：． 根据题意可以得到相等关系：乙用的时间甲用的时间，据此列出方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找到等量关系． 4.【答案】  【解析】解：原方程两边同乘， 得， 即， 故选：． 原方程两边同乘去分母即可． 本题考查解分式方程去分母，找到正确的最简公分母是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：设型机器人每小时搬运千克化工原料，则型机器人每小时搬运千克化工原料， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 型机器人每小时搬运千克化工原料，型机器人每小时搬运千克化工原料． 故选：． 设型机器人每小时搬运千克化工原料，则型机器人每小时搬运千克化工原料，利用工作时间工作总量工作效率，结合型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值即型机器人每小时搬运化工原料的质量，再将其代入中，即可求出型机器人每小时搬运化工原料的质量． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：由题意可得， ， 故选：． 根据甲做个盒子比乙做个盒子少用分钟，可以列出相应的分式方程，本题得以解决． 本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 7.【答案】  【解析】解：设购进单目显微镜台，则购进双目显微镜台，由题意，得： ； 故选：． 根据学校购进了单目显微镜和双目显微镜共台，以及双目显微镜的单价是单目显微镜单价的倍，列出方程即可． 本题考查分式方程的实际应用，找到等量关系是关键． 8.【答案】  【解析】解：甲商店购买篮球消费满元送两个篮球，在甲商店购买，正好用元买够数量；乙商店有促销活动，篮球单价打折，在乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩元钱， 在甲商店购买需花费元，在甲商店购买篮球的数量比需要的数量少个个是赠送的，在乙商店购买需花费元，篮球的单价是原价的折， 又小王所列方程为；小李所列方程为， 小王方程中的表示篮球的数量，小李方程中的表示篮球的单价． 故选：． 由小王所列方程，结合单价总价数量，可找出小王方程中的表示篮球的数量，由小李所列方程，结合数量总价单价，可找出小李方程中的表示篮球的单价． 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据所列方程，找出的含义是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：由题意可得， ， 故选：． 根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 10.【答案】  【解析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，再验根． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 11.【答案】  【解析】解：由于实际工作时每天绿化的面积为万平方米，则原来每天绿化的面积为万平方米， 依题意，得，即． 设实际工作时每天绿化的面积为万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划提前天完成了这一任务，即可得出关于的分式方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 12.【答案】  【解析】解：由题意得：， 整理得：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 根据题意列得方程，解方程即可． 本题考查解分式方程，根据题意列得正确的方程是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：， 化简得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数，即或， 解得：或舍去，会使得分式无意义． 故答案为：． 表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可． 此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 14.【答案】  【解析】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 该不等式组的解集为， 该不等式组至少有个整数解， ， 解得； 解分式方程得， ， 由题意得，当时，； 当时，； 当时，不合题意，舍去； 当时，， 所有满足条件的整数的值为、和， ， 所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数的值，再进行计算求解． 此题考查了含有字母参数的一元一次不等式组和分式方程问题的解决能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算求解． 15.【答案】或  【解析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的两种情况是解题的关键． 先去分母，把分式方程化为整式方程，再分整式方程无解和整式方程有解但是分式方程的增根两种情况进行讨论，即可得出答案． 解：去分母得：， 整理得：， 当，即时，方程无解 当时，，由分式方程无解， 得到，即， 把代入整式方程得：， 综上，的值为或． 故答案为：或． 16.【答案】  【解析】解：设原来每台机器每天生产件产品，则现在每台机器平均每天生产件产品， 根据题意，得． 故答案为：． 设原来每台机器每天生产件产品，则现在每台机器平均每天生产件产品，根据“该工厂的机器台数不变，现在每天总的生产能力由件提高到了件”列出方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． 17.【答案】  【解析】解：不等式的解集为， 不等式的解集为， 关于的不等式组有且只有四个整数， ， 解得， 将关于的分式方程两边都乘以得， ， 解得，， 分式方程的增根为， 当时，即， 解得， 因此， 由于这个分式方程的解为整数，而的整数， 或或， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 根据一元一次不等式组的解集以及分式方程的整数解的定义进行计算即可． 本题考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解，掌握一元一次不等式组、分式方程的解法是正确解答的关键． 18.【答案】解：设该市谷时电价为元度，则该市峰时电价为元度， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该市谷时电价为元度．  【解析】设该市谷时电价为元度，则该市峰时电价为元度，利用用电量总价单价，结合峰时用电量与谷时用电量相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 19.【答案】解：设该企业有条甲类生产线，条乙类生产线， 根据题意得；， 解得：． 答：该企业有条甲类生产线，条乙类生产线； 设购买更新条乙类生产线的设备需投入万元，则购买更新条甲类生产线的设备需投入万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：还需投入万元资金更新生产线的设备．  【解析】设该企业有条甲类生产线，条乙类生产线，根据“更新完这条生产线的设备，该企业可获得万元的补贴”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设购买更新条乙类生产线的设备需投入万元，则购买更新条甲类生产线的设备需投入万元，利用数量总价单价，结合用万元购买更新甲类生产线的设备数量和用万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出分式方程． 20.【答案】解：设款羽绒服的单价为元，则款羽绒服的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：款羽绒服的单价为元，款羽绒服的单价为元； 购进款羽绒服的数量为件， 购进款羽绒服的数量为件． 设该专卖店让利销售的羽绒服是件，则按每件元销售的羽绒服是件， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值是． 答：该专卖店让利销售的羽绒服最多是件．  【解析】设款羽绒服的单价为元，则款羽绒服的单价为元，利用数量总价单价，结合购进款羽绒服的数量比款羽绒服多件，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值即款羽绒服的单价，再将其代入中，即可求出款羽绒服的单价； 利用数量总价单价，可分别求出购进，两款羽绒服的数量，设该专卖店让利销售的羽绒服是件，则按每件元销售的羽绒服是件，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合总利润不低于万元，可列出关于的一元一次不等式，解之可求出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21.【答案】解：小丁和小迪的解法都不正确，正确步骤如下： ， 两边同乘，去分母得：， 移项，合并同类项得：， 检验：将代入中可得：， 则是分式方程的解， 故原分式方程的解是．  【解析】根据解分式方程的步骤进行计算并判断即可． 本题考查解分式方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$