14.2 乘法公式练习2024-2025学年人教版数学 八年级上册

14.2 乘法公式 一、选择题： 1.下列运算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 2.下列运算结果正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.我国南宋时期数学家杨辉于年写下的详解九章算法，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为时，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 6.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 7.我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式给出以下组图形及相应的代数恒等式： 其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题： 8.已知，且，则           ． 9.化简：          ． 10.若，，则的值为______． 11.若实数满足，则 ______． 12.已知是完全平方式，则的值是______． 三、解答题： 13.计算：． 14.计算：． ． 15.数学课上，老师给出一个整式其中、为常数，且表示为系数，然后让同学给、赋予不同的数值进行探究． 甲同学给出一组数据，最后计算结果为，请分别求出甲同学给出的、的值； 乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值说明该整式的结果为非负数． 16.已知，求下列各式的值： ； ． 17.已知多项式． 化简多项式； 若，求的值． 18.观察下面的等式：，，， 根据题目中规律的格式，写出的结果为 ； 按上面的规律归纳出一个一般的结论用含的等式表示，为正整数； 请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 19.阅读材料：北师大版七年级下册教材页为大家介绍了杨辉三角． 杨辉三角 如果将为非负整数的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项，系数分别为，，，； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是，并且下一行的数比上一行多个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和按照这个规律可以将这个表继续往下写． 该表在我国宋朝数学家杨辉年的著作详解九章算法中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著的开方作法本源中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形帕斯卡是年发现这一规律的，比杨辉要迟年，比贾宪迟年． 应用规律： 直接写出的展开式， ______； 的展开式中共有______项，所有项的系数和为______； 代数推理： 已知为整数，求证：能被整除． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、与不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意． 故选：． 根据合并同类项法则，同底数幂的计算法则，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方计算法则进行解答． 本题主要考查了合并同类项，同底数幂的计算法则，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方，属于基础题． 2.【答案】  【解析】解：， 则不符合题意； B.， 则不符合题意； C.， 则不符合题意； D. ， 则符合题意； 故选：． 利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，积的乘方法则以及平方差公式将各项计算后进行判断即可． 本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 3.【答案】  【解析】解：由题意，对于选项，， 选项错误，不符合题意． 对于选项，， 选项错误，不符合题意． 对于选项，， 选项正确，符合题意． 对于选项，与不是同类项不能合并， 选项错误，不符合题意． 故选：． 依据题意，由完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法及合并同类项逐项判断可以得解． 本题主要考查了完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法及合并同类项，解题时要能熟练掌握并理解． 4.【答案】  【解析】解：与不是同类项，不能合并，所以不正确， 因为，所以不正确， 因为，所以不正确， 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减可得D正确． 故选：． 分别对四个选项进行计算即可． 本题主要考查了合并同类项的知识、幂的乘方的知识、完全平方公式的知识、同底数幂的除法的知识，难度不大． 5.【答案】  【解析】解：根据题意得：， ， ， 开四次方得：或， 解得：或． 故选：． 观察题中的图表，表示出，根据已知代数式的值为，确定出的值即可． 此题考查了完全平方公式，以及数学常识，弄清杨辉三角中的展开式规律是解本题的关键． 6.【答案】  【解析】解：，所以A错误； ，所以B错误； ，所以C正确； ，所以D错误． 故选：． 分别对四个选项进行分析． 本题主要考查了整式乘法的知识、积的乘方的知识、幂的乘方的知识、平方差公式、完全平方公式，难度不大． 7.【答案】  【解析】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有， 即图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有个． 故选：． 观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案． 本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积． 8.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 故答案为：． 利用平方差公式：计算即可． 本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 9.【答案】  【解析】【分析】   原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果．   本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键． 【解答】   解：，    故答案为． 10.【答案】  【解析】解：，， ． 故答案为：． 根据平方差公式得，再将已知代入即可． 本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式的变形是解题关键．根据即可得答案． 【解答】 解：， ， ， ， ， 故答案为． 12.【答案】  【解析】解：是完全平方式，，， 或， ． 故答案为：． 利用完全平方公式的意义解答即可． 本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方式是解题的关键． 13.【答案】解：原式 ．  【解析】利用平方差公式及单项式乘多项式法则进行计算即可． 本题考查整式的混合运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 14.【答案】解： ．  【解析】根据零指数幂运算、去绝对值运算和算术平方根运算分别求解，再利用有理数加减运算求解即可得到答案 根据平方差公式、单项式乘以多项式将原式展开，合并同类项即可得到答案． 本题考查实数混合运算及整式混合运算，熟记相关运算法则是解决问题的关键． 15.【答案】解：由题意得：， ， ， ， ，， ，； 当，时， ， 当，时，的结果为非负数．  【解析】根据题意可得：，然后进行计算可得：，从而可得，，最后进行计算即可解答； 把，的值代入式子中进行计算，然后利用完全平方公式进行分解计算，即可解答． 本题考查了整式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16.【答案】解： ； ， ， ， ．  【解析】利用完全平方公式的特征得到：，用上述关系式解答即可； 将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可． 本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式的特征将所求的式子进行适当变形是解题的关键． 17.【答案】解：； ， ， 则．  【解析】根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再合并即可得； 由得，代入可得． 本题主要考查完全平方公式及多项式乘多项式，解题的关键是掌握完全平方公式与项式乘多项式法则． 18.【答案】【小题】 解：， 故答案为：． 【小题】 解：根据上述等式，可得一般规律：第个等式为； 【小题】 解：推理如下： 等式左边 等式右边， 故等式成立．   【解析】  本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 根据前个等式，写出结果即可；   根据上述等式，可得一般规律：第个等式为；   证明等式左边等式右边即可． 19.【答案】，，； 证明：， ， 能被整除．  【解析】【分析】 直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案； 直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案． 本题考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键． 【解答】 解：根据规律得： ； ， 的展开式中共有项，所有项的系数和为； 故答案为：，，； 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$