2.5 简单复合函数的求导法则 练习-2024-2025学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.5 简单复合函数的求导法则 练习 一、单选题 1．已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为奇函数，且，则（   ） A．2025 B．0 C．-4 D．4 2．已知函数的定义域为，若，都是奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数（不是常函数）及其导函数的定义域均为，记，若和均为偶函数，则下列说法中可能错误的是（   ） A．存在实数，使 B． C． D． 4．设函数，则（    ） A． B． C． D． 5．若直线是曲线的切线，则（    ） A． B． C．1 D．e 6．已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（　 ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 8．Taylor定理是微分学的重要定理，是英国著名数学家布鲁克・泰勒于1712年在一封信中首次提出，其核心思想是用函数在某个点的导数值作为系数构建一个多项式来近似表达函数，设函数的导函数为的导函数为，则函数可用Taylor定理近似表达为，若函数可用Taylor定理近似表达为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，为偶函数，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数的导函数为，若，为的导函数，则 . 13．已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则 . 14．已知，则 . 四、解答题 15．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（，且）； 16．求下列函数的导数： (1)； (2)（为常数）； (3)． 17．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D B D A D BCD ACD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】由已知条件确定的对称中心及对称轴，进而确定函数周期，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 即，所以 所以关于对称，同时， 又为奇函数，则，所以关于对称， 即，所以常数， 令可得：， 所以， 则关于对称，结合，所以， 所以，又， 所以， 所以 ，也即， 所以 所以是周期为4的函数， ，， ，，，， 故选：C. 2．A 【分析】利用奇函数的性质得到，然后通过求导得到，再结合为奇函数得到的周期，根据为奇函数和得到，最后利用周期性计算即可. 【详解】由为奇函数可得， 两边分别求导可得， 即，故，所以， 又为奇函数，所以，可得， 故，从而， 故是的一个周期， 在中，分别令和可得：，， 所以． 由为奇函数可得， 故，所以． 故选：A. 【点睛】方法点睛：周期性的相关结论： ①，则周期； ②，则周期； ③，则周期. 3．D 【分析】法一、利用抽象函数的对称性、周期性一一判定选项即可；法二、通过构造函数一一验证选项即可. 【详解】法一、由题意可知，即， 所以关于轴对称，则，故B正确； 且， 所以关于中心对称， 又，所以关于轴对称， 则， 即的一个周期为8，所以， 而不能确定其函数值， 故C正确，D错误； 设， 则， 即（c为常数），即， 故A正确； 法二、令，则， 显然是偶函数， 且也是偶函数， 即所构造的函数符合条件， 对于A，， 即实数，符合题意，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：D 4．D 【分析】运用复合函数的求导规则计算即可. 【详解】． 故选：D. 5．B 【分析】利用导数，根据切点及切线的斜率求得正确答案. 【详解】，， 依题意，直线是曲线的切线， 设切点为，则，， 通过对比系数可得，则. 故选：B 6．D 【分析】由已知结合函数的奇偶性及周期性求值，根据复合函数导数法则求导，然后根据导函数的对称行和周期性即可求解. 【详解】为偶函数， ， ， 为奇函数， ， ，即， ， ，即函数的周期为4， ， ， ， ， ，即， 由得， ， . 故选：. 7．A 【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性，结合导数运算法则逐项判断即可. 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以，， 所以为偶函数，故C错误； 又对两边求导，得， 即，所以是偶函数，故B错误； 由，可得， 由，可得， 所以，即，即得， 所以是周期为4的函数，则，所以是奇函数，故A正确； 由，可得，即， 又由，可得， 所以，即为偶函数，所以为偶函数，故D错误. 故选：A. 8．D 【分析】运用复合函数求导规则计算，后代值计算即可. 【详解】易得，由题知，故， 所以，故． 故选：D. 9．BCD 【分析】根据与是偶函数，得到关于直线对称，关于对称，可判断C；再对两边同时求导得到关于点对称，进而得到4是的一个周期，可判断B和D；无法确定的值可判断A. 【详解】是偶函数，，即， 函数关于直线对称， ，的值无法确定，故A错误，C正确； 对两边同时求导得， 即，所以， 关于点对称，且， 是偶函数，①， 关于直线对称，， ，②， 由①②得，， ， ，4是函数的一个周期，，故B正确； ，故D正确. 故选：BCD. 10．ACD 【分析】求出函数的最小正周期，即可判断A；根据即可判断B；由的范围求出的范围，即可求出函数的值域，从而判断C，求出函数的导函数，即可判断D. 【详解】对A，的最小正周期为，故A正确； 对B，因为 ，不是奇函数，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，当时，则，则D正确， 故选：ACD． 11．ABD 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断. 【详解】对A：令，则；令，则.所以，故A正确； 对B：因为， 两边求导，得即； 因数为偶函数，所以， 所以，故成立，故B正确； 对C：因为， 所以，未必为0，故C错误； 对D：因为，令，则，故D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：若，的定义域均为，且，则： （1）若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数，反之未必成立. （2）若为周期函数，则也是周期函数，且周期相同，反之未必成立. 12．/ 【分析】求出复合函数的导函数，代入求值. 【详解】， 所以. 故答案为： 13．2 【分析】为偶函数，则，两边求导得到，即，结合，得到，故是以4为周期的周期函数，由，可得，，，故，所以. 【详解】因为为偶函数，则，即， 又因为为偶函数，则. 由，求导得，即， 所以，则， 所以是以4为周期的周期函数. 由，可得，即，则， ，所以， 所以. 故答案为：2 【点睛】知识点点睛：设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； 14．/ 【分析】写出当时的解析式，再直接求导代入即可. 【详解】当时，，则，则. 故答案为：. 15．(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】直接根据导数的运算法则计算即可． 【详解】（1），. （2），. （3），. （4），. （5），. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数加法法则和复合函数求导即可； （2）根据导数除法和导数减法法则即可； （3）根据导数乘法法则即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）先对函数化简后，再利用求导法则求导； （2）（3）直接利用导数的求导法则计算化简即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2） （3） ． 学科网（北京）股份有限公司 $$