第五章一元函数的导数及其应用章末检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章　一元函数的导数及其应用 章末检测 (时间：120分钟，满分150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列求导不正确的是(　　) A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2　　 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2 C．′＝　　 D．(2x＋cos x)′＝2x ln 2－sin x 2．曲线y＝xex＋2x－2在x＝0处的切线方程是(　　) A．3x＋y＋2＝0　　 B．2x＋y＋2＝0 C．2x－y－2＝0　　 D．3x－y－2＝0 3．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为(　　) A．－ B．0 C． D．5 4．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题： ①x＝－2是函数y＝f(x)的极值点；②x＝1是函数y＝f(x)的极值点；③y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零；④函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增．其中正确命题的序号是(　　) A．①②　　 B．②④　 C．②③　　 D．①④ 5．函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D．∪ 6．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且f(x)－f′(x)＞0，f(0)＝1，则关于x的不等式f(x)＞ex的解集为(　　) A．{x|x＞0}　　 B．{x|x＜0}　　 C．{x|x＜1}　　 D．{x|x＞1} 7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，＞0，且f(－1)＝0，则不等式＞0的解集是(　　) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(0，1) D．(－1，0)∪(1，＋∞) 8．已知函数f(x)＝(x－1)ex－ae2x＋ax只有一个极值点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0]∪ B．(－∞，0]∪ C．(－∞，0]∪ D．∪[0，＋∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若直线l与曲线C满足下列两个条件：①直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；②曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的有(　　) A．直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3 B．直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2 C．直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sin x D．直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tan x 10．已知f′(x)是函数f(x)的导函数，函数f(x)对任意的x∈R，都满足f′(x)＞f(x)，则下列不等式成立的有(　　) A．ef(0)＜f(1) B．ef(0)＞f(1) C．f(2)＜e4f(－2) D．f(2)＞e4f(－2) 11．关于函数f(x)＝＋ln x，下列判断正确的有(　　) A．x＝2是f(x)的极小值点 B．存在正实数k，使得f(x)＞kx恒成立 C．函数y＝f(x)－2有两个零点 D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＜4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知f(x)为奇函数，当x＜0时，f(x)＝x ln (－x)，则曲线在点(e，f(e))处的切线方程为________． 13．已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________． 14．已知函数f(x)＝则函数f(x)的值域为________．若函数g(x)＝f(x)－k有3个零点，则k的范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x＝1处有极小值－1． (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间． 16．(15分)已知函数f(x)＝a ln x－bx2，a，b∈R，且曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切． (1)求a，b的值； (2)求f(x)在上的最大值． 17．(15分)请你设计一个包装盒．如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)． (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 18．(17分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－3a2x． (1)当a＝1时，求函数f(x)在[0，2]上的最大值和最小值； (2)若函数f(x)在(1，2)内存在极小值，求实数a的取值范围． 19．(17分)已知函数f(x)＝(2x2－4ax)ln x＋x2． (1)若函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值为1，求实数a的取值范围； (2)若a＞，讨论函数f(x)在[1，＋∞)上的零点个数． 答案解析 1、【答案】C 【解析】[(3x＋5)3]′＝(3x＋5)′·3(3x＋5)2＝9(3x＋5)2，故A正确；(x3ln x)′＝(x3)′·ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；′＝＝，故C错误；(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确．故选C． 2、【答案】D 【解析】y＝xex＋2x－2，则y′＝(x＋1)ex＋2，当x＝0时，y＝－2，y′＝3，所以切线方程为y－(－2)＝3x，即3x－y－2＝0．故选D． 3、【答案】B 【解析】由切线斜率的几何意义和周期函数的意义，知f′(5)＝f′(0)＝0． 4、【答案】D 【解析】根据导函数图象可知，f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，故x＝－2是极值点，①正确，②错误，④正确；对于③，x＝0处的导函数值即为此点的切线斜率，显然为正值，③错误．故选D． 5、【答案】D 【解析】f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)＜0，即＜0，解得a＜－或a＞． 6、【答案】B 【解析】由f(x)＞ex⇒＞1，设g(x)＝⇒g′(x)＝＜0⇒g(x)在R上单调递减，且g(0)＝1，所以由＞1⇒g(x)＞g(0)⇒x＜0．故选B． 7、【答案】D 【解析】由题意知，当x＞0时，＝′＞0，则函数在(0，＋∞)上单调递增，而f(x)是定义在R上的偶函数，容易判断是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，所以在(－∞，0)上单调递增，而f(－1)＝0，则＝0，＝0．所以当x∈(－1，0)∪(1，＋∞)时，＞0．故选D． 8、【答案】A 【解析】∵f(x)＝(x－1)ex－ae2x＋ax，∴f′(x)＝xex－ae2x＋a．∵f(x)只有一个极值点，∴f′(x)只有一个变号零点． (1)当a＝0时，f′(x)＝xex，易知x＝0是f(x)的唯一极值点； (2)当a≠0时，方程f′(x)＝xex－ae2x＋a＝0可化为x＝ex－e－x，令g(x)＝x，h(x)＝ex－e－x，可得两函数均为奇函数，∴只需判断当x＞0时，两函数的图象无交点即可． ①当a＜0时，g(x)＝x＜0，h(x)＝ex－e－x＞0，∴g(x)与h(x)的图象有唯一交点x＝0，且当x＞0时，g(x)＜h(x)，当x＜0时，g(x)＞h(x)，∴x＝0是f(x)的唯一极值点；②当a＞0时，h′(x)＝ex＋e－x＞0，即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝0，h(x)＝＋∞．设h(x)过原点的切线为y＝kx，切点为(m，km)(m＞0)，则解得m＝0，k＝2，如图所示，当y＝x的图象在直线y＝2x下方(第一象限)或与直线y＝2x重合时，x＝0是唯一交点，能满足f′(x)＝0的变号零点，即函数f(x)的极值点，∴a≥． 综上所述，实数a的取值范围为(－∞，0]∪． 9、【答案】ACD 【解析】y′＝3x2，y′|x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0，0)处的切线，显然曲线C：y＝x3在点P(0，0)附近位于直线l，即x轴的两侧，A正确；因为y′＝2(x＋1)，y′|x＝－1＝0，而直线l：x＝－1的斜率不存在，所以l：x＝－1不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1，0)处的切线，B错误；y′＝cos x，y′|x＝0＝1，在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，令g(x)＝sin x－x，g′(x)＝cos x－1≤0，所以g(x)是上单调递减，且g(0)＝0，所以曲线C：y＝sin x在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，C正确；y′＝，y′|x＝0＝＝1，在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，所以曲线C：y＝tanx在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，D正确． 10、【答案】AD 【解析】令g(x)＝(x∈R)，g′(x)＝，因为f′(x)＞f(x)，ex＞0，所以g′(x)＞0，所以g(x)在R上单调递增，所以g(0)＜g(1)，即＜，即ef(0)＜f(1)，所以A正确，B错误；g(－2)＜g(2)，即＜，即f(2)＞e4f(－2)，所以C错误，D正确．故选AD． 11、【答案】AC 【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝．∵当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，∴x＝2是f(x)的极小值点，A正确；若f(x)＞kx，可得k＜＋，令g(x)＝＋，则g′(x)＝，令h(x)＝－4＋x－x ln x，则h′(x)＝－ln x，∴当x∈(0，1)时，h(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，h(x)单调递减，∴h(x)≤h(1)＜0，∴g′(x)＜0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f(x)＞kx恒成立，B不正确；令t(x)＝f(x)－2＝＋ln x－2，t′(x)＝－＋＝，∴当x∈(0，2)时，t′(x)＜0，t(x)单调递减，x∈(2，＋∞)时，t′(x)＞0，t(x)单调递增，∴t(x)极小值＝t(2)＝－1＋ln 2＜0，而t(1)＝0，t(e2)＝＞0，故y＝f(x)－2有两个零点，C正确；令t∈(0，2)，则2－t∈(0，2)，2＋t＞2，令g(t)＝f(2＋t)－f(2－t)＝＋ln (2＋t)－－ln (2－t)＝＋ln ，则g′(t)＝＋·＝＋＝＜0，∴g(t)在(0，2)上单调递减，则g(t)＜g(0)＝0，令x1＝2－t，由f(x1)＝f(x2)，得x2＞2＋t，则x1＋x2＞2－t＋2＋t＝4，当x2≥4时，x1＋x2＞4显然成立，∴对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＞4，D错误． 12、【答案】y＝2x－e 【解析】由题意，当x＜0时，f(x)＝x ln (－x)，是奇函数，∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝x ln x，f(e)＝e，f′(x)＝ln x＋1，f′(e)＝2，由点斜式直线方程，得y－e＝2(x－e)，整理得y＝2x－e． 13、【答案】 【解析】因为f(－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2≥0，所以函数f(x)在R上单调递增．又因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，即f(2a2)≤f(1－a)，所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，故实数a的取值范围为． 14、【答案】[－1，＋∞)　 【解析】因为f(x)＝当x＜1时，f(x)＝(x＋1)ex，则f′(x)＝(x＋2)ex，当x＜－2时f′(x)＜0，当－2＜x＜1时，f′(x)＞0，即f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，1)上单调递增，则当x＝－2时取得极小值，且f(－2)＝－，当x≥1时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，函数图象如下所示， 由函数图象可知函数的值域为[－1，＋∞)，函数g(x)＝f(x)－k有3个零点，即y＝f(x)与y＝k的图象有3个交点，所以－＜k＜0，即k∈． 15、解：(1)由已知，可得f(1)＝1－3a＋2b＝－1①． 又∵f′(x)＝3x2－6ax＋2b，∴f′(1)＝3－6a＋2b＝0②． 由①②解得a＝，b＝－． (2)由(1)得函数的解析式为f(x)＝x3－x2－x． 由此得f′(x)＝3x2－2x－1． 当f′(x)＝0时，x＝－或x＝1，根据二次函数的性质， 当x＜－或x＞1时，f′(x)＞0； 当－＜x＜1时，f′(x)＜0． 所以函数f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)； 单调递减区间为． 16、解：(1)由f(x)＝a ln x－bx2，得f′(x)＝－2bx． 由曲线y＝f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，得解得 (2)由(1)得f(x)＝ln x－x2，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－x＝(x＞0)． 令f′(x)＞0，解得0＜x＜1；令f′(x)＜0，解得x＞1． ∴f(x)在上单调递增，在(1，e)上单调递减， ∴f(x)在上的最大值为f(1)＝－． 17、解：设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm． 由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30． (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，所以当x＝15时，S取得最大值． (2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)． 由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20． 当x∈(0，20)时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0． 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值， 此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为． 18、解：(1)当a＝1时，则函数f(x)＝x3＋x2－3x，f′(x)＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)． 令f′(x)＝0，解得x＝－3或x＝1， 当0≤x＜1时，f′(x)＜0，当1＜x≤2时，f′(x)＞0， 则函数f(x)在[0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增， ∴f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－，且f(0)＝0＜f(2)＝， 故f(x)在[0，2]上的最大值为，最小值为－． (2)∵f(x)＝x3＋ax2－3a2x，则f′(x)＝x2＋2ax－3a2＝(x＋3a)(x－a)． ①当a＝0时，f′(x)＝x2≥0，函数f(x)单调递增，无极值，不合题意，舍去； ②当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＜－3a或x＞a，令f′(x)＜0，得－3a＜x＜a， ∴f(x)在(－∞，－3a)，(a，＋∞)上单调递增，在(－3a，a)上单调递减，故函数f(x)在x＝－3a处取得极大值，在x＝a处取得极小值，∴1＜a＜2； ③当a＜0时，令f′(x)＞0，得x＜a或x＞－3a，令f′(x)＜0，得a＜x＜－3a， ∴f(x)在(－∞，a)和(－3a，＋∞)上单调递增，在(a，－3a)上单调递减，故函数f(x)在x＝a处取得极大值，在x＝－3a处取得极小值，∴1＜－3a＜2，解得－＜a＜－． 综上所述，实数a的取值范围是∪(1，2)． 19、解：(1)f′(x)＝(4x－4a)ln x＋2x－4a＋2x＝4(x－a)·(ln x＋1)，x∈[1，＋∞)． 当a≤1时，f′(x)≥0， ∴f(x)为单调递增函数，f(x)min＝f(1)＝1，符合题意； 当a＞1时，在[1，a)上，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 在(a，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增， ∴f(x)min＝f(a)． ∵f(1)＝1，故f(a)＜f(1)＝1，与f(x)的最小值为1矛盾． 故实数a的取值范围为(－∞，1]． (2)由(1)可知，当＜a≤1时，在[1，＋∞)上，f(x)为单调递增函数，f(x)min＝1，此时函数f(x)的零点个数为0． 当a＞1时，f(x)min＝f(a)＝－2a2ln a＋a2，令g(x)＝－2x2ln x＋x2，x∈(1，＋∞)， 则g′(x)＝－4x ln x－2x＋2x＝－4x ln x＜0，函数g(x)单调递减， 令g(x)＝－2x2ln x＋x2＝0，解得x＝e， ∴当x∈(1，e)时，g(x)＞0，当x＝e时，g(x)＝0，当x∈(e，＋∞)时，g(x)＜0， ∴当a∈时，f(x)min＞0，此时函数f(x)在[1，＋∞)上的零点个数为0； 当a＝e时，f(x)min＝0，此时函数f(x)在[1，＋∞)上的零点个数为1； 当a∈时，f(x)min＜0，又因为f(1)＝1＞0，故f(x)在(1，a)存在一个零点． f(2a)＝4a2＞0，故f(x)在(a，2a)存在一个零点， 此时函数f(x)在[1，＋∞)上的零点个数为2． 综上，可得当a∈时，函数f(x)在[1，＋∞)上的零点个数为0； 当a＝e时，函数f(x)在[1，＋∞)上的零点个数为1； 当a∈(e，＋∞)时，函数f(x)在[1，＋∞)上的零点个数为2． 学科网（北京）股份有限公司 $$