5.3.2函数的最大(小)值课后训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2　函数的极值与最大(小)值 函数的最大(小)值 A级——基础过关练 1．函数y＝的最大值为(　　) A．e－1 B．e C．e2 D． 2．函数f(x)＝ln x＋＋3的最小值是(　　) A．　　 B．4　　　 C．　　　 D．3 3．当函数f(x)＝x＋2cos x在上取最大值时，x的值为(　　) A．0 B． C． D． 4．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　) A． B．1 C．0 D．不存在 5．已知函数f(x)＝x2－ln x，则函数f(x)在[1，2]上的最小值为(　　) A．1　 B． C．＋ln 2　　 D．＋ln 2 6．(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断，正确的有(　　) A．f(x)＞0的解集是{x|0＜x＜2} B．f(－)是极小值，f()是极大值 C．f(x)没有最小值，也没有最大值 D．f(x)有最大值，无最小值 7．设f(x)，g(x)是定义在[a，b]上的可导函数且f′(x)＞g′(x)，令F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的最小值为________． 8．函数f(x)＝x sin x＋cos x(0≤x≤2π)的最小值为________． 9．函数f(x)＝，x∈[－2，2]的最大值是________，最小值是________． 10．已知函数f(x)＝mx3＋nx，y＝f(x)的图象在以点P为切点的切线的倾斜角为． (1)求m，n的值； (2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值和最小值． B级——综合运用练 11．(多选)已知函数f(x)＝则下列说法正确的有(　　) A．若f(x)的最小值为－1，则a＝2 B．当a≥0时，f(x)≥0恒成立 C．当a≤0时，存在x0∈R且x0≠0，使得f(x0)＝f(－x0) D．存在a∈R，使得对任意x∈R，f(x)＞1－a恒成立 12．函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为________． 13．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)． (1)若对任意的x∈(0，＋∞)，f(x)≤0恒成立，求a的取值范围； (2)在(1)的条件下，求证：e≥． C级——创新拓展练 14．已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围． 答案解析 1、【答案】A 2、【答案】C 【解析】由题意可得f′(x)＝－＝，令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得0＜x＜1，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值是f(1)＝．故选C． 3、【答案】B 【解析】f′(x)＝1－2sin x，令f′(x)＞0，解得0≤x＜；令f′(x)＜0，解得＜x≤，∴当x＝时，f(x)取得最大值． 4、【答案】A 【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－，令f′(x)＞0，解得x＞1，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，∴当x＝1时，f(x)取得最小值，即f(1)＝×12－ln 1＝． 5、【答案】A 【解析】f′(x)＝2x－＝，当x∈[1，2]时，f′(x)＝＞0，则f(x)在[1，2]上单调递增，则f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)＝1．故选A． 6、【答案】ABD 【解析】由f(x)＞0得0＜x＜2，故A正确；f′(x)＝(2－x2)ex，令f′(x)＝0，得x＝±，当x＜－或x＞时，f′(x)＜0，当－＜x＜时，f′(x)＞0，∴当x＝－时，f(x)取得极小值，当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确；当x→－∞时，f(x)＜0，当x→＋∞时，f(x)＜0，且f()＞0，结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确． 7、【答案】f(a)－g(a) 【解析】F′(x)＝f′(x)－g′(x)＞0，所以函数F(x)在定义域内单调递增，所以F(x)min＝F(a)＝f(a)－g(a)． 8、【答案】－ 【解析】f′(x)＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x，∴当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∵f(0)＝1，f＝－，∴f(x)的最小值为－． 9、【答案】2　－2 【解析】f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，解得x＝±1．当－2≤x＜－1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当－1＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当1＜x≤2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．又因为f(－2)＝－，f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(2)＝，所以函数的最大值是2，最小值是－2． 10、解：(1)易得f′(x)＝3mx2＋n， 由题意有解得m＝，n＝－1． (2)由(1)知f(x)＝x3－x，f′(x)＝2x2－1． 令f′(x)＞0，得x＜－或x＞； 令f′(x)＜0，得－＜x＜． 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 计算得f(－2)＝－，f＝，f＝－，f(1)＝－， 所以f(x)的最大值为，最小值为－． 11、【答案】AC 【解析】当x≥0时，y＝ln (x＋1)≥0，因为f(x) 的最小值为－1，所以函数y＝x2＋ax在(－∞，0)上取最小值－1，则解得a＝2，故A正确；当a≥0时，令x2＋ax＜0，解得－a＜x＜0，故当x∈(－a，0)时，f(x)＜0，故B错误；令x0＞0，要满足f(x0)＝f(－x0)，即只需函数f(－x)的图象与函数f(x)的图象有交点即可，即将问题转化为将左侧y＝x2＋ax的图象关于y轴对称，与y＝ln (x＋1)是否有交点，如图，显然当开口特别大时，与y＝ln (x＋1)的图象存在交点，故C正确；当a≤0时，1－a≥1，显然f(x)＞1－a不恒成立，当a＞0时，f(x)min＝－，因为－＋a－1＝－≤0，所以－≤1－a，即f(x)min≤1－a恒成立，则f(x)＞1－a不恒成立，故D错误．故选AC． 12、【答案】[1，] 【解析】∵f(x)＝3x－x3，∴f′(x)＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令f′(x)＝0，则x＝1或x＝－1(舍去)，当0≤x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)＝f()＝0，f(1)＝2，∴1≤m≤． 13、(1)解：由f(x)≤0，得a≥，设g(x)＝，则g′(x)＝，当g′(x)＞0，得0＜x＜e；当g′(x)＜0，得x＞e． 故g(x)在(0，e)上是单调递增的，在(e，＋∞)上是单调递减的， 所以g(x)max＝g(e)＝，故a≥． (2)证明：由(1)知，f(x)＝ln x－≤0，故f≤0，即－≤0，e－1≥，即e≥． 14、解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a． 若a≤0，则f′(x)＞0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若a＞0，则当x∈时，f′(x)＞0； 当x∈时，f′(x)＜0． 所以f(x)在内单调递增，在上单调递减． (2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值； 当a＞0时，f(x)在x＝时取得最大值，最大值为f＝ln ＋a＝－ln a＋a－1． 因此f＞2a－2，即ln a＋a－1＜0． 令g(a)＝ln a＋a－1，g′(a)＝＋1＞0，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0． 于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0． 因此，a的取值范围是(0，1)． 学科网（北京）股份有限公司 $$