4.3.2等比数列前n项和的性质及应用课后训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2　等比数列的前n项和公式 等比数列前n项和的性质及应用 A级——基础过关练 1．等比数列{an}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于(　　) A．1　 B．2　 C．3　 D．4 2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q等于(　　) A．1 B．0 C．1或0 D．－1 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　) A． B．－ C． D． 4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2－8a5＝0，则的值为(　　) A． B．2 C． D．17 5．正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于(　　) A．90 B．70 C．40 D．30 6．(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＝2n－a，则(　　) A．a＝1 B．q＝2 C．an＝2n D．{a}的前n项和为(4n－1) 7．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝________． 8．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20＝________． 9．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝5n＋k，则实数k＝________． 10．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5． (1)求{an}的通项公式； (2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1． B级——综合运用练 11．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则(　　) A．Sn＝3×2n－3　 B．an＝3×2n－1 C．bn＝2n+1　 D．Tn＝2n－1 12．已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和Sn＝pn2＋2n，n∈N*．在等比数列{bn}中，b3＝a1，b4＝a2＋4，则实数p的值为________，{bn}的前n项和Tn为________． 13．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞1，且S3＝13，a＝3a6． (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝求数列{bn}的前2n项和T2n． C级——创新拓展练 14．已知在数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝． (1)求证：数列{a2n}与{a2n－1}都是等比数列； (2)若数列{an}的前2n项和为T2n，令bn＝(3－T2n)n(n＋1)，求数列{bn}的最大项． 答案解析 1、【答案】C 【解析】∵an＝192，∴q＝＝＝－2．又Sn＝＝S奇＋S偶，即＝255＋(－126)，解得a1＝3． 2、【答案】A 【解析】∵Sn－Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)，又{Sn}是等差数列，∴an为定值，即数列{an}为常数列，∴q＝＝1(n≥2且n∈N*)．故选A． 3、【答案】A 【解析】因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝．故选A． 4、【答案】C 【解析】∵＝q3＝，∴q＝． ∴＝＝1＋＝1＋q4＝．故选C． 5、【答案】C 【解析】由S30＝13S10，知q≠1，由解得由等比数列的前n项和的性质得S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，则(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(130－S20)，解得S20＝40或S20＝－30(舍去)．故选C． 6、【答案】ABD 【解析】∵Sn＝2n－a，∴a1＝2－a，a1＋a2＝4－a，a1＋a2＋a3＝8－a，解得a1＝2－a，a2＝2，a3＝4．∵数列{an}是等比数列，∴22＝4(2－a)，解得a＝1，∴q＝2，an＝2n－1，a＝22n－2＝4n－1，则{a}的前n项和为＝(4n－1)．故选ABD． 7、【答案】 【解析】由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得210(S30－S20)＝S20－S10．又S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，∴＝q10＝．又{an}为正项等比数列，∴q＝． 8、【答案】10 250 【解析】∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn＞0，∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250． 9、【答案】－1 【解析】当n＝1时，a1＝S1＝5＋k，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(5n＋k)－(5n－1＋k)＝5n－5n－1＝4·5n－1．由题意知{an}为等比数列，∴a1＝5＋k＝4，∴k＝－1． 10、解：(1)设等差数列{an}公差为d， 因为a2＋a4＝2a3＝10， 所以a3＝5＝1＋2d，所以d＝2． 所以an＝2n－1(n∈N*)． (2)设{bn}的公比为q，b2·b4＝a5⇒q·q3＝9，所以q2＝3． 所以{b2n－1}是以b1＝1为首项，q′＝q2＝3为公比的等比数列． 所以b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝＝． 11、【答案】ABD 【解析】因为点(n，Sn＋3)在函数y＝3×2x的图象上，所以Sn＋3＝3×2n，即Sn＝3×2n－3，故A正确；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3×2n－3－(3×2n－1－3)＝3×2n－1，又当n＝1时，a1＝S1＝3，所以an＝3×2n－1，故B正确；设bn＝b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，解得b1＝1，q＝2，所以bn＝2n－1，故C错误；由等比数列前n项和公式可得Tn＝2n－1，故D正确． 12、【答案】1　 【解析】Sn＝na1＋d＝na1＋n(n－1)＝n2＋(a1－1)n，p＝1，a1－1＝2，即a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1．因为b3＝a1＝3，b4＝a2＋4＝9，所以{bn}的公比q＝3，所以bn＝b3·qn－3＝3n－2，所以b1＝，所以Tn＝＝． 13、解：(1)因为{an}是公比q＞1的等比数列， 所以由得 即 两式相除，得＝， 整理，得3q2－10q＋3＝0， 解得q＝3或q＝． 又q＞1，所以q＝3，故a1＝＝1， 所以an＝a1qn－1＝3n－1． (2)当n为奇数时，bn＝an＝3n－1． 当n为偶数时，bn＝bn－1＋n＝3n－2＋n． 所以T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n ＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n) ＝(30＋32＋…＋32n－2)＋(30＋2＋32＋4＋…＋32n－2＋2n) ＝2×(30＋32＋…＋32n－2)＋(2＋4＋…＋2n) ＝2×＋ ＝＋n(n＋1)． 14、(1)证明：在数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝， ∴an＋1an＋2＝，∴＝． ∵a1＝1，∴a2＝． 故数列{a2n－1}是以1为首项，为公比的等比数列；数列{a2n}是以为首项，为公比的等比数列． (2)解：由(1)得T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－． ∴bn＝(3－T2n)n(n＋1)＝3n(n＋1)， ∴bn＋1－bn＝3(n＋1)＝3(n＋1)·(2－n)， ∴b3＝b2＞b1，且b3＞b4＞b5＞…， 故数列{bn}的最大项是b2＝b3＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$