4.3.2等比数列的前n项和课后训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2　等比数列的前n项和公式 等比数列的前n项和 A级——基础过关练 1．数列{2n－1}的前10项和为(　　) A．211－1　　　 B．1－211 C．210－1　　 D．1－210 2．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝` (　　) A．2n－1　　　　 B．2－21－n C．2－2n－1　 D．21－n－1 3．有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？”在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为(　　) A．35　 B．75 C．155　 D．315 4．已知Sn是正项等比数列{an}的前n项和，若S2＝1，S4＝3，则公比q＝(　　) A． B． C．2 D．3 5．已知正项数列{an}满足：∀m，n∈N*，am·an＝am＋n，若a4＝4，则数列{a2n}的前2 022项和为(　　) A．22 022－2 B．22 023－2 C．21 011－2 D．21 012－2 6．(多选)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，前n项和为Sn，则(　　) A．q＝2　 B．an＝2n C．S10＝2 047　 D．an＋an＋1＜an＋2 7．在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16，则数列{an}的前6项和为________． 8．在等比数列{an}中，8a2＋a5＝0，Sn为{an}的前n项和，则＝________． 9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝________． 10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn． B级——综合运用练 11．(多选)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”其大意是：“有个人要去某关口，路程为三百七十八里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．”则下列说法正确的是(　　) A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第三天走的路程占全程的 D．此人后三天共走了四十二里路 12．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128且前n项和Sn＝126，则该数列的项数n＝________，公比q＝________． 13．已知数列{an}，{bn}满足2Sn＝(an＋2)bn，其中Sn是数列{an}的前n项和． (1)若数列{an}是首项为，公比为－的等比数列，求数列{bn}的通项公式； (2)若bn＝n，a2＝3，求数列{an}的通项公式． C级——创新拓展练 14．已知数列{an}是正项等比数列，满足a3是2a1，3a2的等差中项，a4＝16． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(－1)nlog2a2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn． 答案解析 1、【答案】C 【解析】数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前10项和为S10＝＝210－1． 2、【答案】B 【解析】设等比数列{an}的公比为q，由a5－a3＝12，a6－a4＝24，可得解得所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝＝＝2n－1，因此＝＝2－21－n．故选B． 3、【答案】C 【解析】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则a1＝5，q＝2，∴前5天所屠肉的总两数为S5＝＝＝155． 4、【答案】A 【解析】由题意，知∴＝＝，解得q2＝2．∵q＞0，∴q＝．故选A． 5、【答案】B 【解析】由题意得，a2·a2＝a4， ∵an＞0，∴a2＝2．令m＝2，则由am·an＝am＋n可得2an＝an＋2，2a2n＝a2n＋2＝a2(n＋1)，故数列{a2n}是以2为首项，2为公比的等比数列，则数列{a2n}的前2 022项和为＝22 023－2．故选B． 6、【答案】ABD 【解析】由a4＝2a2＋a3，a1＝2，得2q3＝4q＋2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，A正确；an＝2×2n－1＝2n，B正确；S10＝＝2 046，C错误；根据B可知an＝2n，则an＋an＋1＝2n＋2n+1＝3×2n，而an＋2＝2n+2＝4×2n，故an＋2＞an＋an＋1，D正确． 7、【答案】126 【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝2，所以S6＝＝126． 8、【答案】－11 【解析】设{an}公比为q，由8a2＋a5＝0可得8a1q＋a1q4＝0．易知a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，解得q＝－2．所以S5＝＝11a1，S2＝＝－a1，所以＝＝－11． 9、【答案】 【解析】∵在等比数列{an}中，＝，显然q≠1，∴＝·，得1＋q3＝，∴q＝，＝＝＝． 10、解：(1)依题意有S1＋S2＝2S3，即a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 由于a1≠0，故2q2＋q＝0． 又q≠0，从而q＝－． (2)由已知可得a1－a1＝3，故a1＝4． 从而 Sn＝＝． 11、【答案】ABD 【解析】设此人第n天走an里路，则{an}是公比为的等比数列．由S6＝＝378，解得a1＝192．a2＝192×＝96，∴此人第二天走了九十六里路，故A正确．378－192＝186，192－186＝6，∴此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故B正确．a3＝192×＝48，＞，故C错误．a4＋a5＋a6＝192×＝42，故D正确． 12、【答案】6　2或 【解析】根据等比数列的性质，a1·an＝a2·an－1＝128．又因为a1＋an＝66，所以不妨将a1，an看作一元二次方程x2－66x＋128＝0的两实数根，解得x1＝2，x2＝64，即a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1．若a1＝2，an＝64，由＝126，得2－64q＝126－126q，解得q＝2．由an＝a1qn－1，得2n－1＝32．所以n＝6．若a1＝64，an＝2，同理可求得q＝，n＝6．综上，n的值为6，公比为2或． 13、解：(1)∵an＝＝－2， Sn＝＝， ∴bn＝＝＝． (2)若bn＝n，则2Sn＝nan＋2n， ∴2Sn＋1＝(n＋1)an＋1＋2(n＋1)， 两式相减，得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋2， 即nan＝(n－1)an＋1＋2， 当n≥2时，(n－1)an－1＝(n－2)an＋2， 两式相减，得(n－1)an－1＋(n－1)an＋1＝2(n－1)an， 即an－1＋an＋1＝2an， 又由2S1＝a1＋2，S1＝a1，得a1＝2，又a2＝3， ∴数列{an}是首项为2，公差为3－2＝1的等差数列， ∴数列{an}的通项公式是an＝n＋1． 14、解：(1)设等比数列{an}的公比为q， 因为a3是2a1，3a2的等差中项， 所以2a3＝2a1＋3a2，即2a1q2＝2a1＋3a1q． 因为a1≠0，所以2q2－3q－2＝0， 解得q＝2或q＝－， 因为数列{an}是正项等比数列，所以q＝2． 所以an＝a4·qn－4＝2n． (2)由(1)可知a2n＋1＝22n+1， 所以bn＝(－1)n·log2a2n＋1＝(－1)n·log222n+1＝(－1)n·(2n＋1)． 所以Tn＝(－1)1×3＋(－1)2×5＋(－1)3×7＋…＋(－1)n·(2n＋1)， －Tn＝(－1)2×3＋(－1)3×5＋(－1)4×7＋…＋(－1)n+1(2n＋1)， 两式相减，得2Tn＝－3＋2[(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n]－(－1)n+1(2n＋1) ＝－3＋2×＋(－1)n(2n＋1) ＝－3＋1－(－1)n－1＋(－1)n(2n＋1) ＝－2＋(2n＋2)(－1)n． 所以Tn＝(n＋1)(－1)n－1，n∈N*． 学科网（北京）股份有限公司 $$