4.3.1等比数列的概念课后训练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1　等比数列的概念 等比数列的概念 A级——基础过关练 1．等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝(　　) A．　 B．－　 C．2　 D．－2 2．已知在等比数列{an}中，a1＝，公比q＝2，则a4与a8的等比中项为(　　) A．±4　　　 B．±8 C．±　　　　 D．± 3．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是(　　) A．a≠1　 B．a≠0或a≠1 C．a≠0　 D．a≠0且a≠1 4．已知等比数列{an}的公比为正数，且a2·a6＝9a4，a2＝1，则a1的值为(　　) A．3　 B．－3 C．－　 D． 5．在等比数列{an}中，a1＝1，a3－a2＝2，则a5＝(　　) A．16　 B．－1 C．－16或－1　 D．16或1 6．(多选)设{an}是等比数列，则下列结论中正确的是(　　) A．若a1＝1，a5＝4，则a3＝2 B．若a1＋a3＞0，则a2＋a4＞0 C．若a2＞a1，则a3＞a2 D．若a2＞a1＞0，则a1＋a3＞2a2 7．已知等比数列{an}为递增数列，若a2＝3，a1＋a3＝10，则a5的值为________． 8．在数列{an}中，a1＝3，且对任意正整数n，an－5an＋1＝0，则an＝________． 9．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则a＝________，an＝________． 10．已知在等比数列{an}中，a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n． B级——综合运用练 11．(多选)已知函数f(x)＝lg x，则下列四个命题中，是真命题的为(　　) A．f(2)，f()，f(5)成等差数列 B．f(2)，f(4)，f(8)成等差数列 C．f(2)，f(12)，f(72)成等比数列 D．f(2)，f(4)，f(16)成等比数列 12．若x1，x2是函数f(x)＝x3－mx2＋nx(m＞0，n＞0)的两个不同的零点，且x1，x2，－3这三个数适当排列后可以成等差数列，也可以适当排列后成等比数列，则m＝________，n＝________． 13．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*)． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． C级——创新拓展练 14．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝pan，n为奇数， qan，n为偶数，其中p，q为常数． (1)若p＝2，q＝3，记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式． (2)数列{an}能否为等比数列？如果能，请求出实数p，q满足的条件；如果不能，请说明理由． 答案解析 1、【答案】C 【解析】∵等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴解得q＝2． 2、【答案】A 【解析】依题意，a4·a8＝(a1q3)·(a1q7)＝(a1q5)2＝＝42，故a4与a8的等比中项为±4． 3、【答案】D 【解析】∵等比数列的每一项都不能为零，∴依题意得a≠0且a≠1． 4、【答案】D 【解析】因为在等比数列{an}中，a2·a6＝9a4，a2＝1，所以由于q＞0，所以解方程组得 5、【答案】D 【解析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1，a3－a2＝2，则有q2－q＝2，解得q＝2或q＝－1．若q＝2，则a5＝a1q4＝16；若q＝－1，则a5＝a1q4＝1．故a5＝16或a5＝1． 6、【答案】AD 【解析】由a5＝a1q4，得4＝1×q4，得q2＝2，所以a3＝a1q2＝1×2＝2，因此A正确；若a1＋a3＞0，则a2＋a4＝q(a1＋a3)，其正负由q确定，因此B不正确；若a2＞a1，则a1(q－1)＞0，于是a3－a2＝a1q(q－1)，其正负由q确定，因此C不正确；若a2＞a1＞0，则a1q＞a1＞0，可得a1＞0，q＞1，所以1＋q2＞2q，则a1(1＋q2)＞2a1q，即a1＋a3＞2a2，因此D正确．故选AD． 7、【答案】81 【解析】设等比数列{an}的公比为q，由题意可得a1＋a3＝＋3q＝10，整理得3q2－10q＋3＝0，解得q＝3或q＝．因为等比数列{an}为递增数列，则q＞1，所以q＝3，a1＝1．因此a5＝a1q4＝81． 8、【答案】3× 【解析】因为an－5an＋1＝0，所以＝，所以{an}是以为公比的等比数列．又因为a1＝3，所以an＝3×． 9、【答案】5　4× 【解析】由题意，知(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以＝＝．又a－1＝4，所以数列{an}是首项为4，公比为的等比数列，所以an＝4×． 10、解：设等比数列{an}的公比为q， 因为a3＋a6＝36，a4＋a7＝18， 所以＝＝＝q＝， 故a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝a1＋a1＝36， 解得a1＝27，故an＝27×＝28－n． 令28－n＝＝2－1，解得n＝9． 11、【答案】ABD 【解析】对于A，f(2)＋f(5)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，2f()＝2lg ＝1，故f(2)，f()，f(5)成等差数列，故A是真命题；对于B，f(2)＋f(8)＝lg 2＋lg 8＝lg 16，2f(4)＝2lg 4＝lg 16，故f(2)，f(4)，f(8)成等差数列，故B是真命题；对于C，f(2)·f(72)＝lg 2×lg 72＜＝lg212＝f2(12)，故f(2)，f(12)，f(72)不成等比数列，故C是假命题；对于D，f(2)f(16)＝lg 2×lg 16＝4lg22＝(2lg 2)2＝lg24＝f2(4)，故f(2)，f(4)，f(16)成等比数列，故D是真命题． 12、【答案】　9 【解析】由题意，x1，x2为方程x2－mx＋n＝0的两根，x1＋x2＝m，x1x2＝n，由m＞0，n＞0，得x1＞0，x2＞0，不妨设x1＜x2，x1，x2，－3这三个数适当排列后可以成等差数列，则x1必是中间项，所以2x1＝x2－3．又x1，x2，－3这三个数适当排列后成等比数列，则－3必是中间项，所以x1x2＝9，解得x1＝，x2＝6，所以m＝x1＋x2＝，n＝x1x2＝9． 13、(1)证明：∵an＋1＝an＋(n∈N*)， ∴＝＝＝＝，因此数列是公比为的等比数列． (2)解：由于a1－＝－＝，∴数列是以为首项、为公比的等比数列，∴an－＝×＝，因此an＝＋． 14、解：(1)若p＝2，q＝3，则an＋1＝ ∵a1＝1，bn＝a2n， ∴b1＝a2＝2a1＝2，b2＝a4＝2a3＝6a2＝12． ∵bn＋1＝a2n＋2＝2a2n＋1＝2×3a2n＝6bn，则＝6， ∴数列{bn}是首项为b1＝2，公比为6的等比数列， ∴bn＝2×6n－1． (2)∵a1＝1，an＋1＝ ∴a2＝p，a3＝pq， 若数列{an}为等比数列，则a＝a1a3，即p2＝pq． ∴p＝0或p＝q． 若p＝0，则a2＝0，此时数列{an}不是等比数列． ∴p＝q≠0，则an＋1＝ ∴对任意n∈N*，＝p≠0，a1＝1≠0，即数列{an}为等比数列． 综上可知，当p＝q≠0时，数列{an}为等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$