5.4.2第2课时 单调性与最值-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）

5.4.2第2课时　单调性与最值（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】求正弦、余弦函数的单调区间 2 【题型二】利用正弦、余弦函数的单调性比较大小 6 【题型三】求正(余)型函数的最值(值域) 10 【当堂温习】 12 【分层练习】 16 考试要求： 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值. 2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性并能利用单调性比较大小. 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间. 素养要求：　 借助y＝sin x与y＝cos x的图象，理清单调区间和取得最值的条件，构建直观模型，重点提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 自主预习 一、正弦、余弦函数的单调性 (1)正弦函数的单调性 在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. (2)余弦函数的单调性 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. 二、正弦、余弦函数的最值 (1)正弦函数当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时取得最小值－1. (2)余弦函数当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值－1. 题型研析 【题型一】求正弦、余弦函数的单调区间 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高三上·北京丰台·期中）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2022·湖南常德·一模）已知函数，则（    ） A．函数的周期为 B．函数的图象关于原点对称 C．的最大值为2 D．函数在区间上单调递增 4．（21-22高一上·云南曲靖·期末）已知函数，则关于函数的叙述正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增 三、填空题 5．（22-23高一下·上海奉贤·期中）函数，的增区间为 ． 6．（23-24高一上·广东清远·期末）写出函数在上的一个减区间： . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C D AC ABC 1．C 【分析】利用诱导公式可得，结合正弦函数的单调区间分析求解. 【详解】因为， 且的单调递增区间为，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：C． 2．D 【分析】根据相关幂函数单调性判断A、B；由余弦函数的性质判断C；利用奇偶性定义及对数复合函数单调性判断D. 【详解】A：为偶函数，且在上递减，不符合； B：为奇函数，不符合； C：在上不单调，不符合； D：且定义域为，即为偶函数， 由在上递增，在定义域上递增，故在上递增，符合. 故选：D 3．AC 【分析】根据正弦函数的性质求解判断． 【详解】由三角函数周期得其周期为，A正确； ，B错； 由正弦函数性质知，C正确； 时，，易知，即时，取得最大值2，因此在上不是单调函数，D错． 故选：AC． 4．ABC 【分析】A选项，根据求出最小正周期；B选项，由函数的奇偶性判断出为偶函数；C选项，，故的图象关于点对称；D选项，求出，数形结合得到在区间上不单调. 【详解】A选项，，故最小正周期为，A正确； B选项，的定义域为R，且， 故为偶函数，B正确； C选项，，故的图象关于点对称，C正确； D选项，当时，， 由于在上不单调，故在区间上不单调，D错误. 故选：ABC 5．（开闭均可） 【分析】由，求得的范围，令，即可求得函数的单调增区间. 【详解】由，可得， 令， 解得， 即函数在的单调增区间为. 故答案为：.（开闭均可） 6．（答案不唯一） 【分析】利用余弦函数的单调性求解即可. 【详解】函数的减区间为的增区间，即， 据此只需写内的任何一个非空子集，例如. 故答案为：（答案不唯一） 解题策略： 1.用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数；然后整体代换，将“ωx＋φ”看成一个整体“z”，利用正(余)弦函数的单调性，求原函数的单调性. 2.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式，注明k∈Z. 【题型二】利用正弦、余弦函数的单调性比较大小 一、单选题 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数的最小正周期为，当时，函数取最小值，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·海南海口·期末）下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（22-23高一下·辽宁铁岭·期中）函数的定义域为R，为奇函数，且为偶函数，当时，.（1）是锐角的内角，；（2）；（3）；（4）. 则下列不等式成立的编号是________ 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列不等式中成立的是 .（填编号） ① ② ③ ④ 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A A ABD AD 1．A 【分析】根据给定条件，求出，再借助正弦函数的单调性判断即得. 【详解】由函数的最小正周期为，得， 而，则函数在取得最小值， 于是，即， 因此函数（）， 而，， ，又， 正弦函数在上单调递减，即， 所以. 故选：A 2．A 【分析】根据余弦函数和对数函数的单调性得到，，从而比较出大小. 【详解】因为在上单调递减， 所以， 又在上单调递增， 故， 又，故. 故选：A 3．ABD 【分析】对于A，利用在上的单调性分析判断，对于B，化简后利用在上的单调性判断， 对于C，利用在上的单调性判断，对于D，利用诱导公化简，通过与中间量比较可得答案. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以，故A正确； 对于B，， 又在上单调递减，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为在上单调递减，，所以，故C错误； 对于D，， 又，即， ，即， 所以，故D正确． 故选：ABD． 4．AD 【分析】由三角函数的诱导公式化简，然后根据正弦、余弦函数的单调性比较各选项中角的大小关系，从而得出函数值的大小关系. 【详解】对A，因为，在单调递增，所以，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对C，因为，在单调递减，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 5．（2）（3）（4） 【分析】根据题意，分析的对称性和周期性，由此分析4个结论是否正确，综合可得答案. 【详解】因为为奇函数，所以关于对称，且， 又因为为偶函数，所以关于对称，且， 所以， 所以，即， 所以， 所以函数为周期为4的周期函数， 当时，，则在上单调递减. 对于（1）A，B是锐角三角形 的内角，则，则有， 所以， 所以，所以，（1）错误； 对于（2），，则有，所以， 则有，（2）正确； 对于（3）， ， ，则有，（3）正确; 对于（4），函数为周期为4的周期函数，则，（4）正确. 故答案为：（2）（3）（4）. 6．①④ 【分析】结合诱导公式，再利用三角函数的单调性即可逐一判断 【详解】对于①，因为， 因为在上单调递增，所以，所以 即，故①正确； 对于②，因为在上单调递减，所以，故②错误； 对于③，因为，， 所以，故③错误； 对于④，， 因为在上单调递减，且，所以， 即，故④正确， 故答案为：①④. 解题策略： 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 【题型三】求正(余)型函数的最值(值域) 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁大连·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·湖北武汉·期中）设函数，给出下列命题，正确的是（    ） A．若取得最大值，则 B．的图象关于点对称 C．最大值与最小值之差为4 D．的最小正周期为π 4．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）下列函数中最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，，则该函数图象的最低点的坐标为 . 6．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的值域为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C B CD AC 1．C 【分析】根据，可得，再结合正弦函数的图象求解即可. 【详解】由，得， 则. 故选：C. 2．B 【分析】利用余弦函数的性质，分段求出值域即可得解. 【详解】依题意，，当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 故选：B 3．CD 【分析】直接利用正弦型函数的性质逐个分析判断. 【详解】对于A，当时，，取得最大值， 而当取得最大值时，，得，所以A错误， 对于B，由选项A可知为的一条对称轴，所以B错误， 对于C，的最大值为2，最小值为，所以最大值与最小值之差为4，所以C正确， 对于D，的最小正周期为，所以D正确. 故选：CD 4．AC 【分析】根据二次函数的性质判断A，利用特殊值判断B、D，利用基本不等式判断C. 【详解】对于A：，所以当时函数取得最小值，故A正确； 对于B：当时，所以，故B错误； 对于C：因为，，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确； 对于D：当时，则，故D错误. 故选：AC 5． 【分析】运用诱导公式化简成正弦函数，后用五点法结论直接写出最低点坐标即可. 【详解】,由五点法，直接得到函数图象的最低点的坐标为. 故答案为：． 6． 【分析】将函数式化为，结合余弦函数值域及二次函数性质求值域. 【详解】由，而， 当时，； 当时，； 综上，函数值域为. 故答案为： 解题策略： 求三角函数值域或最值的常用方法 (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值).但要注意对A正、负的讨论. (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值). 当堂温习 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．在第二象限是减函数 B．在上是减函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 2．（2024·河北·模拟预测）已知函数在区间单调递增，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·广西柳州·开学考试）给出下列命题： ①函数是奇函数； ②若α，β是第一象限角且，则； ③在区间上的最小值是，最大值是； ④直线是函数图像的一条对称轴； 其中真命题的序号是（      ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）下列函数中，在区间上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数，则函数的单调递减区间是 6．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上严格减，实数的取值范围是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C A AD AC 1．C 【分析】根据余弦函数的单调性可判断A；根据正弦函数的单调性可判断B；根据奇偶性的定义可判断C；根据正弦函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，在每一个区间上都是减函数， 在第二象限是减函数，故A错误； 对于B，在上是增函数，故B错误； 对于C，， 所以的定义域为，关于原点对称， ， 所以是奇函数，故C正确； 对于D，在的每一个区间上是增函数， 不能说在第一、四象限内是增函数，故D错误. 故选：C. 2．A 【分析】由正弦函数的单调性结合为正弦函数递增区间的子区间求解即可； 【详解】由正弦函数的单调递增区间为，， 所以， 因为在区间单调递增， 所以，解得，， 因为，所以， 故选：A. 3．AD 【分析】利用诱导公式化简函数，利用正弦含性质即可求解①，举反例即可求解②，根据整体法，结合正弦函数的性质即可求解③，代入验证即可求解④. 【详解】 ①函数是奇函数，正确； ②若、是第一象限角且，取，，则，不正确； ③，则，所以， 故在区间上的最小值是，最大值是2，不正确； ④当时，， 故是函数的一条对称轴，正确． 故选：AD 4．AC 【分析】根据函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，对于， 由，得， 所以在区间上单调递减的函数，A选项正确. B选项，对于， 由，得，不符合题意. C选项，由，得， 且， 所以在区间上单调递减的函数，C选项正确. D选项，对于， 由，得，不符合题意. 故选：AC 5． 【分析】采用整体代换的方式，结合的单调性可求得结果. 【详解】因为函数， 所以， 由得：， 的单调递减区间为. 6． 【分析】分与讨论，求出的范围，结合余弦函数的单调性即可求解. 【详解】当时，因为，所以. 因为函数在区间上严格减， 所以，解得； 当时，因为，所以， 故不可能满足函数在区间上严格减. 综上所述，，即实数的取值范围是. 故答案为:. 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，既在上单调递增，又以为周期且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁大连·期中）“”是“函数在上单调递减的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）对于的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）下列四个函数① ② ③ ④，其中最小值为4的函数个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 5．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（    ） A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递减 C．是图象的一个对称中心 D．在区间的值域为 6．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）设函数，则（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．有最大值 D．是增函数 7．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．是图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．在区间上的最小值为 三、填空题 8．（23-24高一下·重庆铜梁·阶段练习）已知函数，当时，关于x的方程有两个实数根，则实数a的取值范围为 ． 9．（22-23高二下·云南曲靖·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为 .（用“”连接） 10．（24-25高三上·上海·期中）函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 . 四、解答题 11．（23-24高一上·河南·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，求的值域. 12．（21-22高一下·陕西榆林·期中）设函数的最小正周期为，且. (1)求的表达式； (2)若，求的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A A B ACD ABC AB 1．D 【分析】根据正余弦函数的奇偶性、单调性和周期性逐个分析判断. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以A错误， 对于B，为偶函数，且周期为，当时，， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以B错误， 对于C，因为为奇函数，所以C错误， 对于D，因为，所以为偶函数， 因为的图象是由在轴下方的图象翻折上去、轴上方的图象保持不变得到的， 所以函数的周期为， 当时，，此时， 而在上单调递增，故D符合． 故选：D． 2．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当时，， 由，则，单调递减成立，即充分性成立； 当时，函数在上单调递减， 推不出成立，如，故必要性不成立； 综上，“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A 3．A 【分析】令，从而转化成求在区间上的最小值，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】令，则，对称轴， 所以当时，取到最小值，最小值为， 故选：A. 4．B 【分析】①利用基本不等式求解，但等号取不到，①错误；②变形后利用基本不等式求出最小值为4；③使用基本不等式进行求解即可；④举出反例. 【详解】①， 当且仅当，即时，等号成立， 但无解，故等号取不到，故①错误； ②因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立，②正确； ③，当且仅当，即时，等号成立，③正确； ④若，此时，故，④错误. 故选：B 5．ACD 【分析】先由题意求得，将看成整体角，通过代入计算检验可判断A,C两项；通过给定区间求得的范围，结合函数图象性质可推理判断B,D两项. 【详解】由题意，，则，故函数解析式为：. 对于A，因时，，而，故是图象的一条对称轴，即A正确； 对于B，设，当时，，而在上递增，在上递减，故B错误； 对于C，当时，，而，故是图象的一个对称中心，即C正确； 对于D，设，当时，，而在上递减，在上递增， 又，，则，故在区间的值域为，即D正确. 故选：ACD. 6．ABC 【分析】根据奇偶性的定义可判定A，根据三角函数的周期性可判定B，根据复合函数的单调性可判定C、D. 【详解】对于A，因为的定义域为， 又，所以是偶函数，A选项正确． 对于B，易知， 所以是的一个周期，B选项正确． 对于C，易知，所以，所以有最大值，C选项正确． 对于D，因为在区间单调递减，在上单调递增， 所以在区间单调递减，D选项错误． 故选：ABC 7．AB 【分析】根据题意，由条件可得，再结合三角函数的性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为的最小正周期为， 则，即，故A正确； 因为，则， 即当时，函数取得最小值， 即是图象的一条对称轴，故B正确； 当时，则， 又函数在上不单调，故C错误； 当时，则， 所以，故D错误； 故选：AB 8． 【分析】讨论余弦函数的单调性，求得当且时函数的值域，讨论取值情况即可求出与直线有2个交点时的范围. 【详解】， 由，得， 设，则当时，函数单调递增，此时， 当时，函数单调递减，此时， 得，要使方程在上有2个实根， 则函数图象与直线在上有2个交点， 当且，即时，函数图象与直线有2个交点， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 9． 【分析】根据函数单调性及中间值得到，比较出大小. 【详解】因为在上单调递减，故， 因为在R上单调递减，故， 因为在上单调递减，， 故， 所以. 故答案为： 10． 【分析】先由的范围求得的范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上存在最小值， 所以，解得， 所以实数的最小值是. 故答案为：. 11．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦函数的单调区间，采用整体代换方法，即可求得答案； （2）根据，确定，由正弦函数的性质求得答案. 【详解】（1）因为， 令， 得， 所以的单调递增区间为. （2）函数， 当时，， 结合正弦函数的性质可得： 当时，即，函数； 当时，即，函数. 所以， 故的值域为. 12．(1) (2) 【分析】（1）根据最小正周期公式算出，再根据，解方程得，进而得出的表达式 （2）根据，得到，再根据余弦函数的基本性质求出的取值范围. 【详解】（1）由最小正周期，得， ∵， ∴. ∴. （2）由（1）知，， ∵，∵， ∴， ∴的取值范围为. 【能力篇】 一、单选题 1．（24-25高三上·辽宁·期中）函数，若对恒成立，且在上恰有条对称轴，则（    ） A． B． C． D．或 二、多选题 2．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知，则（    ） A．为偶函数 B．是的最小正周期 C．在区间上单调递增 D．的值域为 三、填空题 3．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）在平面直角坐标系中，一动点从点开始，以的角速度逆时针绕坐标原点做匀速圆周运动，后到达点的位置.设，记，则的单调递增区间为 四、解答题 4．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数，当 时，函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 答案 B ACD 1．B 【分析】由最大值求得的表达式，再由周期确定范围，从而可得结论． 【详解】由题知，当时取得最大值，即， 所以，即， 又在上有条对称轴，所以， 所以，所以. 故选：B 2．ACD 【分析】根据奇偶函数定义判断A，取特值判断B，根据符合函数单调性判断C，根据偶函数及在时的值域判断D. 【详解】由可知，，定义域为， 故定义域关于原点对称，又，所以函数为偶函数，故A正确； 取，则，，即，所以不是函数的周期，故B错误； 当时，，令且为减函数， 而在时单调递减，所以由复合函数的单调性知，单调递增，故C正确； 由为偶函数，只需研究时的值域，当时，， 因为，即时，是函数的一个周期，当时，，当且仅当，即时取等号，当时，， 令，则在上是增函数，所以， 当时，，所以，综上的值域为，故D正确. 故选：ACD 3． 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义求出点的坐标，求出并利用差角的余弦化简，再求的单调递增区间即可. 【详解】依题意，后，动点走过的弧度数为，则， 又， 则 ， 的单调递增区间，即的递减区间， 则 ，即， 所以的单调递增区间为. 4． 【分析】利用余弦函数的性质确定函数的单调区间，借助集合的包含关系即可求解. 【详解】，令， 可得：, 由可得， 由题意可得 ，解得 ，所以的取值范围为 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4.2第2课时　单调性与最值（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】求正弦、余弦函数的单调区间 2 【题型二】利用正弦、余弦函数的单调性比较大小 3 【题型三】求正(余)型函数的最值(值域) 4 【当堂温习】 6 【分层练习】 6 考试要求： 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值. 2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性并能利用单调性比较大小. 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间. 素养要求：　 借助y＝sin x与y＝cos x的图象，理清单调区间和取得最值的条件，构建直观模型，重点提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 自主预习 一、正弦、余弦函数的单调性 (1)正弦函数的单调性 在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间(k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. (2)余弦函数的单调性 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1. 二、正弦、余弦函数的最值 (1)正弦函数当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时取得最小值－1. (2)余弦函数当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值－1. 题型研析 【题型一】求正弦、余弦函数的单调区间 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高三上·北京丰台·期中）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2022·湖南常德·一模）已知函数，则（    ） A．函数的周期为 B．函数的图象关于原点对称 C．的最大值为2 D．函数在区间上单调递增 4．（21-22高一上·云南曲靖·期末）已知函数，则关于函数的叙述正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．为偶函数 C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增 三、填空题 5．（22-23高一下·上海奉贤·期中）函数，的增区间为 ． 6．（23-24高一上·广东清远·期末）写出函数在上的一个减区间： . 解题策略： 1.用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数；然后整体代换，将“ωx＋φ”看成一个整体“z”，利用正(余)弦函数的单调性，求原函数的单调性. 2.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式，注明k∈Z. 【题型二】利用正弦、余弦函数的单调性比较大小 一、单选题 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数的最小正周期为，当时，函数取最小值，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·海南海口·期末）下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（22-23高一下·辽宁铁岭·期中）函数的定义域为R，为奇函数，且为偶函数，当时，.（1）是锐角的内角，；（2）；（3）；（4）. 则下列不等式成立的编号是________ 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列不等式中成立的是 .（填编号） ① ② ③ ④ 解题策略： 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 【题型三】求正(余)型函数的最值(值域) 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁大连·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·湖北武汉·期中）设函数，给出下列命题，正确的是（    ） A．若取得最大值，则 B．的图象关于点对称 C．最大值与最小值之差为4 D．的最小正周期为π 4．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）下列函数中最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，，则该函数图象的最低点的坐标为 . 6．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的值域为 . 解题策略： 求三角函数值域或最值的常用方法 (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值).但要注意对A正、负的讨论. (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值). 当堂温习 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．在第二象限是减函数 B．在上是减函数 C．奇函数 D．在第一、四象限内是增函数 2．（2024·河北·模拟预测）已知函数在区间单调递增，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·广西柳州·开学考试）给出下列命题： ①函数是奇函数； ②若α，β是第一象限角且，则； ③在区间上的最小值是，最大值是； ④直线是函数图像的一条对称轴； 其中真命题的序号是（      ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）下列函数中，在区间上单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数，则函数的单调递减区间是 6．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上严格减，实数的取值范围是 . 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，既在上单调递增，又以为周期且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·辽宁大连·期中）“”是“函数在上单调递减的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）对于的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）下列四个函数① ② ③ ④，其中最小值为4的函数个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 5．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有（    ） A．是图象的一条对称轴 B．在区间上单调递减 C．是图象的一个对称中心 D．在区间的值域为 6．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）设函数，则（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．有最大值 D．是增函数 7．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．是图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．在区间上的最小值为 三、填空题 8．（23-24高一下·重庆铜梁·阶段练习）已知函数，当时，关于x的方程有两个实数根，则实数a的取值范围为 ． 9．（22-23高二下·云南曲靖·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为 .（用“”连接） 10．（24-25高三上·上海·期中）函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 . 四、解答题 11．（23-24高一上·河南·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，求的值域. 12．（21-22高一下·陕西榆林·期中）设函数的最小正周期为，且. (1)求的表达式； (2)若，求的取值范围. 【能力篇】 一、单选题 1．（24-25高三上·辽宁·期中）函数，若对恒成立，且在上恰有条对称轴，则（    ） A． B． C． D．或 二、多选题 2．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知，则（    ） A．为偶函数 B．是的最小正周期 C．在区间上单调递增 D．的值域为 三、填空题 3．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）在平面直角坐标系中，一动点从点开始，以的角速度逆时针绕坐标原点做匀速圆周运动，后到达点的位置.设，记，则的单调递增区间为 四、解答题 4．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知函数，当 时，函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$