精品解析：内蒙古师范大学附属学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

师大附校2024－2025学年第一学期高一年级期中试卷 数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，考生只需将答题卡交回，试题请自行保留. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解绝对值不等式得B，再根据交集的概念运算即可. 【详解】由得，所以，故. 故选：B 2. 下列函数在定义域上是奇函数且在区间单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义及幂函数、对勾函数的单调性一一判定选项即可. 【详解】对于A，由幂函数的性质可知，显然符合题意； 对于B，易知，即是奇函数， 又在区间单调递增，故B错误； 对于C，显然，即不具有奇偶性，故C错误； 对于D，由对勾函数的性质知是奇函数，在上单调递减，单调递增， 故D错误. 故选：A 3. 设是定义在上的奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即，故， 此时，所以， 满足是定义在上的奇函数， 所以. 故选：B. 4. 中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数. 【详解】对于A，和定义域均为R， ， 故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误； 对于B，和定义域均为R，， 故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确； 对于C，定义域为，定义域为R， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误； 对于D，定义域为R，定义域为， 故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误； 故选：B. 5. 函数 的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数单调性求出值域. 【详解】， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的值域为. 故选：D 6. 若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，利用特殊函数法判断即可． 【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且， 所以，且函数在上单调递减． 由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示， 由图可知，的解集是， 故选：B． 7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立，则函数在上单调递增， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 8. 对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把问题转化为一元二次方程在给定的区间上有解，求参数的取值范围. 【详解】设为奇函数，且当时，，则时，. 则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题. 由在有解得： . 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据“隐对称点”的概念，把函数位于轴左侧的图象关于原点对称后，必与函数位于轴右侧的图象有公共点，从而转化为二次函数在给定区间上有零点的问题解决是该问题的关键.属于中档题. 二、多选选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. “，使得”的否定是“，都有” B. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 C. 若，，，则“”的充要条件是“” D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，由存在量词命题的否定是全称量词命题可得；选项B，转化为方程没有实数根求解；选项C，当时，；选项D，证明充分性，当时，，说明“”是“”的不必要条件. 【详解】选项A，存在量词命题的否定是全称量词命题，选项A正确； 选项B，若命题“，”为假命题， 即方程没有实数根， 则，解得，选项B正确； 选项C，若，， 所以“”不是“”的充要条件，故C错误； 选项D，， 当，但不成立，即，故D正确. 故选：ABD. 10. 设，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AD，利用基本不等式判断即可；对于B，利用不等式判断即可，对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可. 【详解】对于A，因为，，，则， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为，故，当且仅当时取等号， 即的最小值，故B不正确； 对于C，， 当且仅当且，即，时取等号， 所以的最小值为9，故C正确； 对于D，，故， 当且仅当时取等号，即的最大值，故D错误. 故选：AC 11. 狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. ，使得 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，结合狄利克雷函数的性质，以及函数的奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，关于原点对称， 若为有理数，则也为有理数，则有； 若为无理数，则也为无理数，则有， 所以为定义域上的偶函数，所以A正确； 对于B中，当为有理数时， ，则； 若为无理数时，，则， 所以对，均有，所以函数为偶函数，所以B正确； 对于C中，由B知，对，均有，所以C错误； 对于D中，当时，，， 此时，则，所以D错误. 故选：AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数的定义域是，则函数的定义域是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的定义域需满足，即可求解. 【详解】的定义域是，则的定义域需满足， 解得， 故的定义域为， 故答案为： 13. 已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的单调性与对称性，分类讨论即可. 【详解】由题意易知的对称轴为，开口向上， 所以若，即时，在区间上是单调递减； 若，即时，在区间上是单调递增； 综上所述：. 故答案为： 14. 已知函数，有两个零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论m的范围，根据对勾函数的性质计算即可. 【详解】由题意可知：若，则均在上单调递增， 即在上单调递增，不会有两个零点，则不符合题意； 若，，仍在上单调递增，不会有两个零点，则不符合题意； 故，利用对勾函数的单调性知要符合题意需， 而， 即，时取得最小值， 所以. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用并集的概念运算即可； （2）分类讨论B是否为空集，结合交集的结果计算参数即可. 【小问1详解】 若，则，所以； 【小问2详解】 若，即，时，显然符合题意； 若，即，则要满足题意需： ①，即； ②，即， 综上所述：实数的取值范围为. 16. （1）已知，求的表达式； （2）已知是二次函数，且满足，，求的表达式. 【答案】； 【解析】 【分析】（1）利用配凑法计算解析式即可； （2）利用待定系数法计算解析式即可. 【详解】（1）易知，所以； （2）根据题意可设， 则，， 即，所以，即. 17. 已知函数是上的偶函数，当，， （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义求时，函数的解析式，即可得结果； （2）根据函数解析式以及奇偶性分析函数的单调性，结合单调性和对称性可得，运算求解即可. 【小问1详解】 当时，则， 由题意可得：， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 因为的开口向下，对称轴为， 可知函数在内单调递增， 且函数是上的偶函数，可知函数在内单调递减， 若，则， 整理可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 18. 新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） （2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）年产量为90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 【解析】 【分析】（1）根据利润销售量售价成本，表示出利润关于产量的关系式即可，注意单位的统一； （2）分段函数的最值问题，先分别求出两个范围内的最大值，然后比较哪个最大哪个就是整个分段函数的最大值. 【小问1详解】 每辆车售价5万元，年产量（百辆）时销售收入为万元， 总成本为， 所以 . 所以年利润. 【小问2详解】 由（1）当时， （百辆）时（万元）， 当时， 当且仅当（百辆）时，等号成立， 因为2820万元万元, 所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 19. 若定义在上的函数对任意实数，恒有，当时，，且. （1）求证：为奇函数； （2）判断并证明在上的单调性并求最小值； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） 令，则，即， 令，则，所以为奇函数； （2） 单调递减， 令，则由题意可知：， 所以， 因为时，， 则，所以时有， 则在上单调递减， 又由（1）知为奇函数，所以在R上递减，即在上的单调递减， 最小值为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法结合奇函数的定义证明即可； （2）利用赋值法结合单调性的定义及（1）的结论证明，并求最值即可； （3）利用（2）的结论去函数符号计算一元二次不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，结合（1）的结论，所以， 则， 由（2）的结论知，解之得. 【点睛】思路点睛：对于抽象函数的奇偶性与单调性问题，通常利用赋值法，结合定义证明，而不等式的计算需要利用单调性去函数符号计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 师大附校2024－2025学年第一学期高一年级期中试卷 数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，考生只需将答题卡交回，试题请自行保留. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数在定义域上是奇函数且在区间单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 设是定义在上的奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 4. 中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 函数 的值域是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. “，使得”的否定是“，都有” B. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 C. 若，，，则“”的充要条件是“” D. “”是“”的充分不必要条件 10. 设，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 为偶函数 C. ，使得 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数的定义域是，则函数的定义域是________. 13. 已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是________. 14. 已知函数，有两个零点，则实数的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）已知，求的表达式； （2）已知是二次函数，且满足，，求的表达式. 17. 已知函数是上的偶函数，当，， （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 18. 新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. （1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） （2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 19. 若定义在上的函数对任意实数，恒有，当时，，且. （1）求证：为奇函数； （2）判断并证明在上的单调性并求最小值； （3）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $