专题10 轴对称全章期考真题专项复习（3大考点10种题型）（培优篇）2024-2025学年人教版 八年级数学上册

专题10 轴对称章期考真题专项复习 （培优篇） 【人教版】 知识网络构建 考点一•轴对称 知识点一：轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.判断方法：可以先试着画对称轴，通过观察对称轴两旁的部分能否互相重合来判定，找对称轴时要多角度观察图形和对折图形. 【提示】 1.对称轴是一条直线，而不是射线或线段． 2.一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． 3.轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 知识点二：两个图形成对称轴 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 两个图形成轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 知识点三：线段垂直平分线的定义及其性 1.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 知识点四：轴对称和轴对称图形的性质 1.两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3.轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． 4.成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 知识点五：画轴对称图形 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤如下： 步骤 理论依据 ①找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 ②连接这对对应点 ③作对应点所连线段的垂直平分线 知识点六：轴对称变换 一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 【注意】 1.成轴对称的两个图形中，任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的． 2.一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的． 知识点七：作轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 知识点八：关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1.关于坐标轴对称的点的坐标特点： （1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）； （2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）． （3）已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1+ x2=0，y1= y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立． 2.在坐标系中画轴对称图形的方法： （1）计算——计算对称点的坐标； （2）描点——根据对称点的坐标描点； （3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 题型1 轴对称的性质 【例1】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，与关于直线对称，，延长交于点F，当 时，． 【答案】36 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明，利用三角形内角和定理构建方程求解即可． 【详解】解：与关于直线对称， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：36． 【变式1-1】（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，在中，平分，点为中点，与相交于点．    (1)若，求的度数； (2)过点作交延长线于点，作关于对称的，设，的面积分别为，若，试求的值． 【答案】(1) (2)3 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题是三角形综合题，考查了轴对称，三角形的中线，与角平分线有关的三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质和外角的性质可求解； （2）根据对称的性质得到，由面积的和差关系可得，从而得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）∵关于对称的， ∴， ∵， ∴． 【变式1-2】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，在中，D、E分别是上两点，与关于轴对称，交于点P，已知． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）由轴对称的性质得，进而根据三角形的外角性质即可求解； （2）由（1）得，，再根据平行线的性质得，从而根据三角形的内角和定理即可得解． 【详解】（1）解：∵与轴对称， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）得，， 又∵， ∴， ∴． 【变式1-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）（多选题）如图，与关于直线成轴对称，点A在直线上，连接，交直线于点P，与交于点N，与交于点M，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABCD 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】根据与关于直线成轴对称可知，故可得出；由轴对称的性质可直接得出，是的垂直平分线，故可得出，进而可得出；由全等三角形的判定定理得出，故可得出，进而可得出，据此得出结论． 【详解】解：∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴，故A正确； ∵与关于直线成轴对称， ∴，故B正确； ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，则， ∴，故C正确； 即：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故D正确． 故选：ABCD． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质及全等三角形的判定与性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 题型2 生活中的轴对称 【例2】（24-25八年级·江苏连云港·阶段练习）虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题关键是结合轴对称的性质确定墙上时钟时间．根据轴对称的性质分别确定墙上时钟时间，比较即可获得答案． 【详解】解：A.墙上的时钟时间约为，最接近，符合题意； B. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； C. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； D. 墙上的时钟时间约为，不符合题意． 故选：A． 【变式2-1】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图，从汽车的后视镜中看见某车牌的5位号码的车牌号为 . 【答案】AN625 【知识点】车牌号码的镜面对称 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】∵是从汽车的后视镜中看见某车牌的5位号码， ∴原号码与看见的号码是轴对称图形， ∴车牌号为AN625， 故答案为：AN625 【点睛】此题主要考查了镜面对称的知识，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【变式2-2】（23-24八年级·云南保山·期中）如图小明从平面镜里看到镜子对面电子钟显示的时间如图所示，这时的实际时刻应该是（    ） A．21∶10 B．10∶21 C．10∶51 D．12∶01 【答案】D 【知识点】电子钟示数的镜面对称 【详解】根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与12：01成轴对称，所以此时实际时刻为12：01， 故选D． 【变式2-3】（23-24八年级·全国·单元测试）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图中回弹次数为次，图中回弹次数为次，图中回弹次数为次，图中回弹次数为次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为 次． 【答案】7 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】根据题意画出图形，然后即可作出判断． 【详解】根据图形可得总共反射了7次． 故答案为7． 【点睛】本题考查了轴对称的知识，难度不大，注意画出图形会使问题比较简单直观． 题型3 坐标系中的轴对称 【例3】（24-25八年级·全国·期中）如图，轴是的对称轴，轴是的对称轴，点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化特点，掌握关于x轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数成为解题的关键． 先利用关于x轴对称的点的坐标特征得到，然后根据关于y轴对称的点的坐标特征易得C点坐标即可． 【详解】解：∵轴是的对称轴，且点A的坐标为， ∴点A与点B关于x轴对称， ∴， ∵轴是的对称轴， ∴点B与点C关于y轴对称， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25八年级·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2) 【知识点】画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，利用网格求三角形的面积等知识点，熟练掌握画轴对称图形的方法是解题的关键． （1）按照作轴对称图形的方法作出即可； （2）利用网格即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：的面积为： ． 【变式3-2】（24-25八年级·河南焦作·期中）如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格的格点上． (1)已知和关于直线l对称． ①请在图中把和补充完整； ②在以直线l为纵轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为______； (2)已知网格中每个小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】(1)①见解析；② (2)10 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查作图-轴对称变换、坐标与图形性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）①根据轴对称的性质作图即可； ②根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可； （2）根据割补法求解即可． 【详解】（1）解：①如图，和即为所求， ②由题意知：的坐标为， 故答案为：； （2）解：． 【变式3-3】（24-25八年级·广东广州·期中）如图，将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，过作轴于，过作轴于，交第一、三象限的角平分线l于，证明，得到，，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于，交第一、三象限的角平分线l于，则，，， ∵将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 题型4 由垂直平分线的性质求值 【例4】（24-25八年级·全国·期中）如图，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．连接，，证明，则，即可得到答案． 【详解】解：连接，， ∵线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式4-1】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，的周长为 ． (1)求的长； (2)分别连接，，，若的周长为 ，求的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键 （1）由垂直平分线的性质可得，，，根据，计算求解即可； （2）由垂直平分线的性质可得，，由的周长为 ，，可得，可求，进而可得的长． 【详解】（1）解：垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴的长为 ； （2）解：如图， ∵垂直平分，垂直平分， ∴， 又∵的周长为 ，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为7． 【变式4-2】（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长 交的延长线于点．若，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质．首先根据证明，根据全等三角形对应边相等可证，再根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到． 【详解】解：如下图所示， 点是的中点， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 又， 是的垂直平分线， ． 故选：C． 【变式4-3】（24-25八年级·江苏南通·阶段练习）如图，是的中线，，分别在边，上，不与端点重合），且，则三边数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，证明是解题的关键．延长至点，使，连接，，证明，可得，进而根据三角形三边关系即可得． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，， 是的中线，，分别在边，上， ， 又，， 是的垂直平分线， ， 又 ， ， ， ． 故答案为： 题型5 垂直平分线的判定 【例5】（24-25八年级·山东德州·期中）已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点， (1)求证：； (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行的性质证，即可证明，可得，易证，即可解题； （2）连接交于点，易，，根据，可求得，即可证明，可得，，即可求得，即可解题． 【详解】（1） ， ， ，， ， 在和中， ， ， 点是的中点， ， ； （2）连接交于点， ,点是的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 垂直平分． 【变式5-1】（24-25八年级·云南昆明·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若对角线，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质： （1）证明全等得到，，即可证明； （2）根据垂直平分线的性质得到，，再根据，，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ，， 点在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线； （2）解：由（1）知是线段的垂直平分线， ，， ，， 四边形的面积 ． 【变式5-2】（24-25八年级·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)连接，若，图中和有怎样的关系？试证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)是线段的垂直平分线．理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定． （1）先证明，再利用证明两个三角形全等即可； （2）根据线段垂直平分线的判定即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：是线段的垂直平分线．理由如下， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴ 点C在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 【变式5-3】（24-25八年级·全国·期中）如图，在△中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点 (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)点在的垂直平分线上，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据线段垂直平分线的性质可得，，继而可得的周长； （）连接，，，根据垂直平分线的性质可得出，，则，从而即可求解； （）由四边形内角和可得的度数，根据题意得即可求解；. 【详解】（1）∵，的垂直平分线分别交于点，， ∴，， ∴的周长； （2）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （3）解：∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点二•等腰三角形 知识点一：等腰三角形的性质 1.性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 2.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 3.等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点二：等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点三：等边三角形及其性质 1.等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点四：等边三角形的判定 定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点五：含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 题型6 等边对等角 【例6】（24-25八年级·江苏南通·期中）如图，在中，，，交直线于点D，在直线上取一点E，使得，连接，    (1)画出关于直线成轴对称的； (2)若，求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）利用等边对等角求得的度数，再利用三角形的外角性质求得的度数，然后利用轴对称的性质即可求解； （3）连接，设，则，求得，证明，据此即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所作；   ； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴； （3）证明：连接，    ∵与关于直线成轴对称，， ∴，，，， ∴在同一直线上， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【变式6-1】（24-25八年级·福建泉州·期中）如图，若，，，若、、三点共线时，点在上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平角的定义，三角形外角性质，由得，，则，故有，，设，则，，最后由角度和差和外角性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴，解得：， ， 故答案为：． 【变式6-2】（24-25八年级·湖北恩施·期中）如图，在中，，是边上一点，连接，在右侧作，且，连接，若的面积为，则四边形的面积是（    ） A．10 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， ∴， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， 故选：A． 【变式6-3】（24-25八年级·上海闵行·期中）如图，在中，点D是边的中点，连接，且．E是边上任意一点（不与点A、C重合），过点B作，点F落在的延长线上． (1)求证：； (2)连接，当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，根据，得出，即可证明结论； （2）证明，得出，，证明垂直平分，得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，垂线的定义，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 题型7 三线合一 【例7】（24-25八年级·辽宁抚顺·期中）如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，连接、，设的垂直平分线交于点，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 为的平分线，， 点在的垂直平分线上， ， ， 将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合， ， ， 在中，， 故选：C． 【变式7-1】（24-25八年级·福建泉州·期中）如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为20，，则 ． 【答案】4 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．根据三角形的周长公式求出的值，根据线段垂直平分线的性质和定义可得，，由等腰三角形的性质可得，结合图形，进行计算即可得到答案． 【详解】解：的周长为20， ， 垂直平分， ，， ，， ，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式7-2】（24-25八年级·广东广州·期中）如图，在中，，平分，于D，，点H是边的中点，连接，交于点G，连接． (1)求证：； (2)求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再证，然后利用证明即可； （2）由等腰三角形的性质得，得，再由全等三角形的性质得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明∵，平分， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 【变式7-3】（24-25八年级·湖北襄阳·期中）如图，在中，，于点，且的垂直平分线分别交，于，两点，连接并延长交于点 (1)求证：； (2)若，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质，熟练掌握角平分线、垂直平分线的性质是解本题的关键，综合性较强，在解得题目过程中，巧妙设方程求值，也是种不错的解题方法． （1），且垂直平分，易得，，由， ，根据等腰三角形三线合一可得 ，进而可证：； （2）设，则，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴．     ∴．     ∵，于点， ∴ ．     ∴． （2）设，则，． ∵， ∴．     ∵，     ∴．     在中，有．     解得． ∴． 题型8 分类讨论计数 【例8】（23-24八年级·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【分析】①以B为圆心，长为半径画弧，交于点D，就是等腰三角形； ②以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，就是等腰三角形； ③以C为圆心，长为半径画弧，交于点F，就是等腰三角形； ④作的垂直平分线交于点H，就是等腰三角形； ⑤作的垂直平分线交于G，则是等腰三角形； ⑥作的垂直平分线交于I，则和都是等腰三角形． ⑦作的垂直平分线交于M，则和都是等腰三角形． 【详解】解：作图如下 故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力． 【变式8-1】（23-24八年级·河南新乡·期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有 个． 【答案】3 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以①为底，②为腰，A为顶角顶点，③为腰，B为顶角顶点，这三种情况构造等腰三角形，即可找出点C． 【详解】解：①以为底，作的垂直平分线，可找出格点C一个，如图所示： ②为腰，以A为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： ③为腰，以B为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： 综上所述，点C的个数有3个， 故答案为：3． 【变式8-2】（23-24八年级·江苏南通·期末）在直角坐标系中，点P(m，1)在第一象限，且OP与x轴夹角为30°，点A在坐标轴上，若以O，P，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点A共有 个． 【答案】6 【知识点】直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【详解】 ①当OP=OA时，以O为圆心，OP的长为半径画圆弧，分别交坐标轴于A1、A2、A3、A4； ②当AP=AO时，此时A点为OP的垂直平分线与坐标轴的交点，因为AP中垂线与y轴的交点恰好和A2点重合，所以只有A5一个； ③当PO=PA时，以P为圆心，PO的长为半径画圆弧，因为圆弧与y轴的交点恰好和A2点重合，所以此时只有A6一个. 所以满足条件的A点一共有6个. 故答案为6. 【变式8-3】（23-24八年级·重庆渝中·期末）在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ）    A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】直线上与已知两点组成等腰三角形的点、线段垂直平分线的性质 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，为半径画圆；以B为圆心，为半径画圆；作的垂直平分线；它们与坐标轴的交点即为点C的位置． 【详解】解：如图，①以A为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点B，，，，得到以A为顶点的等腰，，； ②以B为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点A，，，，得到以B为顶点的等腰，，； ③作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， ∴符合条件的点C共7个， 故选：D．    【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，能够找出所有C点的位置是解题的关键． 考点三•最短路径问题 知识点一：定点定线 条件:P为定点，l为定直线.求PM的最小值. 方法:PA⊥l于点 A. 结论:PM的最小值为PA. 知识点二：作对称点 条件:CD为△ABC的角平分线,P,E为动点.求PE+PA的最小值. 方法:作点E关于CD的对称点F,作AH⊥BC 于点H. 结论:PE+PA的最小值为AH. 题型9 作垂线求最短路径 【例9】（24-25八年级·河南周口·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，点，若点是直线上一动点，点是直线上的一动点，，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质、垂线段最短等知识． 连接过点A作于点H，求出，证明，当且仅当A、F、G三点共线时，，则当点G运动到点H时，根据垂线段最短，则取得最小值，此时,据此即可求出答案． 【详解】解：连接过点A作于点H， ∵，， ∴， 解得， ∵的垂直平分线分别交于点，点， ∴， ∴， 当且仅当A、F、G三点共线时，， ∵点是直线上的一动点， ∴当点G运动到点H时，根据垂线段最短，则取得最小值，此时, 即的最小值为4． 故答案为：4 【变式9-1】（23-24八年级·江西赣州·期末）如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形三边关系，三角形的面积与周长等知识，解题的关键是确定． 【变式9-2】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，等腰中，，，l是的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质和最短路径问题等知识．过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E，则，则即为最小值，由求出即可． 【详解】解：过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E， ∵等腰中，l是的对称轴， ∴，， ∴ ∴即为最小值，当时，的长度最小， ∵，， ∴， 解得， 即的最小值为， 故答案为： 【变式9-3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+CE的最小值为 ． 【答案】/1.5 【分析】作构造，再过点D作交于点E，，所以最小，根据含直角三角形的性质即可求得的长． 【详解】解∶如图，过点C作，过点D作交于点E， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查最短路径以及含30度角的直角三角形，解决本题的关键是构造适当的辅助线． 题型10 作对称点求最短路径 【例10】（23-24八年级·广西南宁·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 【变式10-1】（23-24八年级·福建厦门·期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李厝B的群众出行到河岸a．张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李厝B到河岸b的距离分别为、，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是 ．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】到AC的距离为p（m）处． 【分析】作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，此时P点到A与B的距离和最短，然后求出AM＝（p＋q）m，可得∠CAP＝45°，则AC＝CP，问题得解． 【详解】解：作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P， ∴BP＝B'P， ∴AP＋BP＝AP＋B'P≥AB'，此时P点到A与B的距离和最短， 过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M， ∴B'M＝CD， ∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p＋q）m， ∴AM＝（p＋q）m， ∴∠CAP＝45°， ∴AC＝CP， ∴P点与C点的距离是p（m）， ∴这座桥建造的位置是：到AC的距离为p（m）处， 故答案为：到AC的距离为p（m）处． 【点睛】此题主要考查了最短路线问题；作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的难点． 【变式10-2】（23-24八年级·山西·期末）如图，，，分别为射线，上的动点，为内一点，连接，，．若，则周长的最小值为 ． 【答案】5 【分析】首先分别作点P关于，的对称点C、D，连接，分别交，于点M、N，连接、、，，易得是等边三角形，且此时的长即为周长的最小值，继而求得答案． 【详解】解：如图所示：分别作点P关于，的对称点C、D，连接，分别交，于点M、N，连接、、，， ∵点P关于的对称点为点C， ，，； ∵点P关于的对称点为点D， ，，， ，， 是等边三角形， ， 的周长为： ， 周长的最小值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题以及等边三角形的判定与性质，注意准确确定点M，N的位置是关键． 【变式10-3】（2024·广东广州·一模）如图，已知梯形，，，，点在上，，是中点，在上找一点使的值最小，此时其最小值等于 ．    【答案】 【分析】首先找关于的对称点，然后根据轴对称的性质进行计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∴平分， 作点关于的对称点，，如图， 则为中点，所以， 连交于点， ∴， ∴． 故答案为．    【点睛】本题考查轴对称最短路线的问题，熟练找到对称点是解题的关键． 实战演练 1．（23-24八年级·内蒙古赤峰·阶段练习）李叔叔开车回家，在路中等红灯时，从车子的后视镜里看到了后面的公交车，如图所示，根据图中信息，可以判断出该公交车是多少路？（    ） A． B． C． 【答案】C 【知识点】电子钟示数的镜面对称 【分析】根据镜子中看到的像正好与现实相反可得答案． 【详解】解：从车子的后视镜里看到了后面的公交车为路公交， 该公交车是路， 故选：C． 【点睛】本题考查了镜面对称的知识，熟知在镜中看到的像与现实的像正好相反是解本题的关键． 2．（2024八年级·全国·专题练习）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A． B． C．D． 【答案】C 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】此题主要考查了镜面对称的性质的运用，解答此题的关键是要注意联系生活实际． 镜面对称的性质：平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，据此判断即可． 【详解】解：实际时间最接近8时的时钟，在镜子里看起来应该是4点， 所以图C所示的时间最接近8时． 故选：C． 3．（24-25八年级·山西运城·期中）若点与点关于某条直线对称，则这条直线是（） A．轴 B．轴 C．过点且垂直于轴的直线 D．过点且平行于轴的直线 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查的是坐标与图形变化对称，点的坐标，掌握轴对称的性质及平面直角坐标系内点的特点是解题的关键． 【详解】解：点，点， 轴， 设的中点为， 则点坐标为，即， 点与点关于经过点且垂直于轴的直线对称， 即这条直线是过点且平行于轴的直线， 故选：D． 4．（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，，，点是边的中点，点，分别在边，上，若，则与的面积的和是（   ） A．18 B．12 C．9 D．不能确定 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、三线合一 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是正确做出辅助线．由等腰直角三角形的性质可得，，，由“”可证，可得，再进一步即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，为边的中点， ，，， 在和中， ， ， ， 四边形的面积， ∴与的面积的和是； 故选：C． 5．（24-25八年级·湖北武汉·期中）在中，，，、分别为边、上的动点，且满足，当最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】过点A作于点A，且，连接，设与的交点为G，证明，得到，根据，得到当三点共线时，取得最小值即取得最小值，解答即可． 【详解】解：过点A作于点A，且，连接，设与的交点为G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值即取得最小值， 故当点D与点G重合时，取得最小值， 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短是解题的关键． 6．（24-25八年级·安徽安庆·期中）如图，在中，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据折叠的性质得出，，再由三角形内角和定理得出，再根据平行线的性质得出，进而求解即可． 【详解】∵，将沿折叠后，点A落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级·山东威海·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点都在格点上，在网格中确定一个格点，使为等腰三角形，符合条件的格点有 个． 【答案】9 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查网格中作等腰三角形，根据等腰三角形的定义，在网格中作出符合条件的等腰三角形即可． 【详解】解：如图， 符合条件的格点共有9个； 故答案为：9． 8．（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形中，，点在边上，，，，则的面积 ． 【答案】5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积．过点作于，过点作于点，由等腰三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，根据三角形的面积公式可得出答案． 【详解】解：过点作于，过点作于点， ，， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， ． 故答案为：5． 9．（24-25八年级·福建泉州·期中）如图，若，，，若、、三点共线时，点在上，则 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平角的定义，三角形外角性质，由得，，则，故有，，设，则，，最后由角度和差和外角性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设，则，， ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴，解得：， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级·福建厦门·期中）中，，点 在边上(点在点的左侧)，，，点在边上，，若，，，则 ．(用含的式子表示) 【答案】 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】设交于点，过点作于点，并延长，延长，，使，过点作于点，连接，过点作于点，证明，得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，求出，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，设交于点，过点作于点，并延长，延长，使，过点作于点，连接，过点作于点， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，三角形内角和定理的应用，对顶角相等，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 11．（24-25八年级·江苏镇江·期中）如图，网格中的与为轴对称图形， (1)如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积 ； (2)利用网格线作出与的对称轴； (3)结合所画图形，在直线上画出点，使最小．（所有作图保留必要的画图痕迹） 【答案】(1) (2)图见解析 (3)图见解析 【知识点】两点之间线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解、画对称轴、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称图形与轴对称的性质是解题关键． （1）结合网格，利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得； （2）连接对应点，，利用网格作出，的垂直平分线即可得； （3）连接，与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：的面积为 ． 故答案为：． （2）解：直线即为所求，如图： （3）解：点即为所求，如图： 12．（24-25八年级·福建厦门·期中）如图，已知是的角平分线． (1)尺规作图．作的垂直平分线，交边于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断和的位置关系，并加以证明 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）根据题意，作的垂直平分线，交边于点； （2）根据角平分线的定义得出，根据等边对等角以及三角形的外角的性质，得出，即可得证． 【详解】（1）如图，点即为所求； （2）和的位置关系为：， 证明：是的角平分线， ， 的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，平行线的判定，角平分线的定义，等边对等角，三角形的外角的性质；掌握基本作图是解题的关键． 13．（24-25八年级·天津·期中）如图，在中，已知是的中点．    (1)求和的大小； (2)若为上一点，且，试证明：． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及平行线的判定，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质定理． （1）首先根据等腰三角形的性质求出和，然后根据三线合一的性质求出； （2）由等腰三角形的性质可得，结合可得，根据平行线的判定解答即可． 【详解】（1）解：， 又是的中点， ． （2）由（1）得， ， ， ， ． 14．（2024八年级·全国·专题练习）已知：如图，在等腰直角三角形中，，，点是内的一点，且，若，试探究与的数量关系并加以证明． 【答案】．见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，作，，两线相交于点，证明得出是等边三角形，进而证明，即可得证． 【详解】． 证明：作，，两线相交于点， 在等腰直角三角形中，，， ∴， 在中， ， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ． 15．（24-25八年级·江西南昌·期中）已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，求证： (1)； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等边三角形的性质可得，，再利用“边角边”证明和全等； （2）通过全等的性质得到，证得，再根据，得到，进而得 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ≌； （2）解：由（1）知：， ， ， ， ， 16．（24-25八年级·福建泉州·期中）在中，，，点是的中点，点为射线上的一动点（点不与点、重合），过点作于点，过点作于点，连接并延长，交直线于点． (1)如图1，当点在线段上运动时． ①求证：； ②在点的运动过程中，的大小是否随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由； (2)当点在射线上运动时，连接，若，，请求出的面积． 【答案】(1)①见解析；②的大小不变，； (2)满足条件的的面积为或． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的证明与性质，等腰三角形的判定和性质； （1）①根据等角的余角相等得出，证明； ②证明，进而证明证明，得出，则的大小不变，．证明是等腰直角三角形，可得结论； （2）根据题意画出图形，分类讨论，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：①∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； ②如图，结论：的大小不变，，理由如下： 由①得： ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； ∴是等腰直角三角形， ∴的大小不变，； （2）如图，当，时， ∴， ∴， ∴； 如图3中，当，时，， ∴ 综上所述，满足条件的的面积为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 轴对称章期考真题专项复习 （培优篇） 【人教版】 知识网络构建 考点一•轴对称 知识点一：轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.判断方法：可以先试着画对称轴，通过观察对称轴两旁的部分能否互相重合来判定，找对称轴时要多角度观察图形和对折图形. 【提示】 1.对称轴是一条直线，而不是射线或线段． 2.一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． 3.轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 知识点二：两个图形成对称轴 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 两个图形成轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 知识点三：线段垂直平分线的定义及其性 1.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3.与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 知识点四：轴对称和轴对称图形的性质 1.两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 3.轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． 4.成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 知识点五：画轴对称图形 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤如下： 步骤 理论依据 ①找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 ②连接这对对应点 ③作对应点所连线段的垂直平分线 知识点六：轴对称变换 一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同． （2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 【注意】 1.成轴对称的两个图形中，任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的． 2.一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的． 知识点七：作轴对称图形 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形． 画轴对称图形的方法： （1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）； （2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点； （3）连——依次连接各对称点． 知识点八：关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1.关于坐标轴对称的点的坐标特点： （1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）； （2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）． （3）已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1=x2，y1+y2=0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1+ x2=0，y1= y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立． 2.在坐标系中画轴对称图形的方法： （1）计算——计算对称点的坐标； （2）描点——根据对称点的坐标描点； （3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形． 题型1 轴对称的性质 【例1】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，与关于直线对称，，延长交于点F，当 时，． 【变式1-1】（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，在中，平分，点为中点，与相交于点．    (1)若，求的度数； (2)过点作交延长线于点，作关于对称的，设，的面积分别为，若，试求的值． 【变式1-2】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，在中，D、E分别是上两点，与关于轴对称，交于点P，已知． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【变式1-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）（多选题）如图，与关于直线成轴对称，点A在直线上，连接，交直线于点P，与交于点N，与交于点M，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 题型2 生活中的轴对称 【例2】（24-25八年级·江苏连云港·阶段练习）虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图，从汽车的后视镜中看见某车牌的5位号码的车牌号为 . 【变式2-2】（23-24八年级·云南保山·期中）如图小明从平面镜里看到镜子对面电子钟显示的时间如图所示，这时的实际时刻应该是（    ） A．21∶10 B．10∶21 C．10∶51 D．12∶01 【变式2-3】（23-24八年级·全国·单元测试）下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图中回弹次数为次，图中回弹次数为次，图中回弹次数为次，图中回弹次数为次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为 次． 题型3 坐标系中的轴对称 【例3】（24-25八年级·全国·期中）如图，轴是的对称轴，轴是的对称轴，点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 【变式3-1】（24-25八年级·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴对称的； (2)求的面积． 【变式3-2】（24-25八年级·河南焦作·期中）如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格的格点上． (1)已知和关于直线l对称． ①请在图中把和补充完整； ②在以直线l为纵轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为______； (2)已知网格中每个小正方形的边长为1，求的面积． 【变式3-3】（24-25八年级·广东广州·期中）如图，将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型4 由垂直平分线的性质求值 【例4】（24-25八年级·全国·期中）如图，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线相交于点E，连接．若，则的度数为 ． 【变式4-1】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，的周长为 ． (1)求的长； (2)分别连接，，，若的周长为 ，求的长． 【变式4-2】（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长 交的延长线于点．若，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25八年级·江苏南通·阶段练习）如图，是的中线，，分别在边，上，不与端点重合），且，则三边数量关系是 ． 题型5 垂直平分线的判定 【例5】（24-25八年级·山东德州·期中）已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点， (1)求证：； (2)连接，求证：垂直平分． 【变式5-1】（24-25八年级·云南昆明·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若对角线，，求四边形的面积． 【变式5-2】（24-25八年级·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)连接，若，图中和有怎样的关系？试证明你的结论． 【变式5-3】（24-25八年级·全国·期中）如图，在△中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点 (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 考点二•等腰三角形 知识点一：等腰三角形的性质 1.性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 2.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 3.等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 知识点二：等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点三：等边三角形及其性质 1.等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点四：等边三角形的判定 定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点五：含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 题型6 等边对等角 【例6】（24-25八年级·江苏南通·期中）如图，在中，，，交直线于点D，在直线上取一点E，使得，连接，    (1)画出关于直线成轴对称的； (2)若，求的度数； (3)求证：． 【变式6-1】（24-25八年级·福建泉州·期中）如图，若，，，若、、三点共线时，点在上，则 ． 【变式6-2】（24-25八年级·湖北恩施·期中）如图，在中，，是边上一点，连接，在右侧作，且，连接，若的面积为，则四边形的面积是（    ） A．10 B．14 C．15 D．16 【变式6-3】（24-25八年级·上海闵行·期中）如图，在中，点D是边的中点，连接，且．E是边上任意一点（不与点A、C重合），过点B作，点F落在的延长线上． (1)求证：； (2)连接，当时，求证：． 题型7 三线合一 【例7】（24-25八年级·辽宁抚顺·期中）如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25八年级·福建泉州·期中）如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为20，，则 ． 【变式7-2】（24-25八年级·广东广州·期中）如图，在中，，平分，于D，，点H是边的中点，连接，交于点G，连接． (1)求证：； (2)求证： ． 【变式7-3】（24-25八年级·湖北襄阳·期中）如图，在中，，于点，且的垂直平分线分别交，于，两点，连接并延长交于点 (1)求证：； (2)若，求 的度数． 题型8 分类讨论计数 【例8】（23-24八年级·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式8-1】（23-24八年级·河南新乡·期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有 个． 【变式8-2】（23-24八年级·江苏南通·期末）在直角坐标系中，点P(m，1)在第一象限，且OP与x轴夹角为30°，点A在坐标轴上，若以O，P，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点A共有 个． 【变式8-3】（23-24八年级·重庆渝中·期末）在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ）    A．3 B．4 C．6 D．7 考点三•最短路径问题 知识点一：定点定线 条件:P为定点，l为定直线.求PM的最小值. 方法:PA⊥l于点 A. 结论:PM的最小值为PA. 知识点二：作对称点 条件:CD为△ABC的角平分线,P,E为动点.求PE+PA的最小值. 方法:作点E关于CD的对称点F,作AH⊥BC 于点H. 结论:PE+PA的最小值为AH. 题型9 作垂线求最短路径 【例9】（24-25八年级·河南周口·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，点，若点是直线上一动点，点是直线上的一动点，，，则的最小值为 ． 【变式9-1】（23-24八年级·江西赣州·期末）如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【变式9-2】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，等腰中，，，l是的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 【变式9-3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+CE的最小值为 ． 题型10 作对称点求最短路径 【例10】（23-24八年级·广西南宁·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【变式10-1】（23-24八年级·福建厦门·期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李厝B的群众出行到河岸a．张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李厝B到河岸b的距离分别为、，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是 ．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【变式10-2】（23-24八年级·山西·期末）如图，，，分别为射线，上的动点，为内一点，连接，，．若，则周长的最小值为 ． 【变式10-3】（2024·广东广州·一模）如图，已知梯形，，，，点在上，，是中点，在上找一点使的值最小，此时其最小值等于 ．    实战演练 1．（23-24八年级·内蒙古赤峰·阶段练习）李叔叔开车回家，在路中等红灯时，从车子的后视镜里看到了后面的公交车，如图所示，根据图中信息，可以判断出该公交车是多少路？（    ） A． B． C． 2．（2024八年级·全国·专题练习）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A． B． C．D． 3．（24-25八年级·山西运城·期中）若点与点关于某条直线对称，则这条直线是（） A．轴 B．轴 C．过点且垂直于轴的直线 D．过点且平行于轴的直线 4．（24-25八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，，，点是边的中点，点，分别在边，上，若，则与的面积的和是（   ） A．18 B．12 C．9 D．不能确定 5．（24-25八年级·湖北武汉·期中）在中，，，、分别为边、上的动点，且满足，当最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级·安徽安庆·期中）如图，在中，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处．若，则的度数为 ． 7．（24-25八年级·山东威海·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点都在格点上，在网格中确定一个格点，使为等腰三角形，符合条件的格点有 个． 8．（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形中，，点在边上，，，，则的面积 ． 9．（24-25八年级·福建泉州·期中）如图，若，，，若、、三点共线时，点在上，则 ． 10．（24-25八年级·福建厦门·期中）中，，点 在边上(点在点的左侧)，，，点在边上，，若，，，则 ．(用含的式子表示) 11．（24-25八年级·江苏镇江·期中）如图，网格中的与为轴对称图形， (1)如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积 ； (2)利用网格线作出与的对称轴； (3)结合所画图形，在直线上画出点，使最小．（所有作图保留必要的画图痕迹） 12．（24-25八年级·福建厦门·期中）如图，已知是的角平分线． (1)尺规作图．作的垂直平分线，交边于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断和的位置关系，并加以证明 13．（24-25八年级·天津·期中）如图，在中，已知是的中点．    (1)求和的大小； (2)若为上一点，且，试证明：． 14．（2024八年级·全国·专题练习）已知：如图，在等腰直角三角形中，，，点是内的一点，且，若，试探究与的数量关系并加以证明． 15．（24-25八年级·江西南昌·期中）已知，如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，求证： (1)； (2) 16．（24-25八年级·福建泉州·期中）在中，，，点是的中点，点为射线上的一动点（点不与点、重合），过点作于点，过点作于点，连接并延长，交直线于点． (1)如图1，当点在线段上运动时． ①求证：； ②在点的运动过程中，的大小是否随着点的运动而变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由； (2)当点在射线上运动时，连接，若，，请求出的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$