第五章三角函数 章末总结课件-2025届高三数学一轮复习

第五章 三角函数 章末总结 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 专题1 三角函数的值域和最值问题 例1 求函数, 的最大值为___，最小值为___. 4 1 【解析】,, , . 当,即 时， 取得最大值,为4; 当，即时， 取得最小值,为1. 故函数, 的最大值为4，最小值为1. 2 例2 已知,则函数 的最小值为_ ____. 【解析】 . 令,, . , 当，即时，有最小值，最小值为 . 3 例3 已知函数 . （1）求 的最小正周期和最小值; 【解析】 , 因此的最小正周期为 ,最小值为 . 4 （2）将函数 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函 数的图象，当时，求 的值域. 【解析】由条件可知, . 当时，有 ， 从而的值域为 ， 所以的值域为 . 5 例4 求函数 的最大值. 【解析】去分母整理可得， ， 所以(其中， ， 故 . 由，可得 . 下面验证等号可以取到： 当,即时,可取 ， 令，则 成立. 故时，函数有最大值, . 6 例5 若，求函数的最值及取得最值时相应的 的值. 7 【解析】 ，令 ， 则 . ， .（【明易错】注意新元的取值范围） 从而原函数化为 ， 由二次函数的性质可知,当 ， 即时,函数取得最小值，最小值为 ； 当，即时,函数取得最大值，最大值为 . 8 专题2 三角恒等变换中的“四变”策略 例6 (2024·四川省绵阳市期末)已知, ,则 的值为___. 9 【解析】， ， ， ， ， ， . 例7 化简: ____. 【解析】原式 （） （切化弦） . 11 例8 (2024·湖南省株洲市期末)已知 为第二象限角，且 ，则 的值为______. 【解析】 （升幂降倍） . 又 为第二象限角，且,所以 , 所以 . 12 例9 已知，则 的值为__. 【解析】由，得 , 于是 . 13 专题3 三角函数中 的范围问题 例10 已知函数， 是函数的一个 零点，且直线是函数图象的一条对称轴，若，是 的一个单调区间，则 的最大值为( ) D A.18 B.17 C.15 D.13 14 【解析】因为是函数的一个零点，且直线 是函数图象的一条对称轴， 所以 得，(令, ， 同时有， , 即，,化简得， . 又，是的一个单调区间，所以，即,,得 . 15 设区间，右临首轴为，（区间， 右侧的第一条对称轴）若函数图象 在上的对称轴多于一条，则，化简得，与上述 矛盾，故函 数图象在 上有且仅有一条对称轴. 由此可得， 的区间长度为半个周期，作图可帮助理解： 17 此时，只需满足即可使得，是 的一个单调区间，将 （【抓关键】由 ， 可得） ,,代入上述不等式组，解得 (令 ， . 此题求,的最大值，又求得 ， 故先令,求得 ，此时取不到小于18的奇数， 18 再令,求得 ，此时取不到小于18的奇数， 再令，求得 ，此时取到奇数13. 综上， . 例11 (2024·山东省日照市期末)已知函数在区间 上单调递增，则 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 【解析】因为在区间上单调递增，所以,解得 . 易得函数的单调递增区间为, . 由题意知，，, , 即，化简得 ， 又,所以令，解得 . 20 例12 (2024·天津市宁河区期末)已知函数 的最小 正周期为 ，且是，上的单调函数，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 21 【解析】因为的最小正周期为 ，所以 ， 则 . 令 ,,求得图象的对称轴为直线, . 因为是 上的单调函数， 所以 ， 化简得 ， ， 因为,所以取,解得 ,故选C. 例13 (2024· 中学生标准学术能力测试)已知函数 在区间 上不单调，则 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 23 【解析】的图象的对称轴为直线, ， 因为在区间上不单调，所以对称轴，在直线 与直线 之间，即， , 化简得 , . 因为,所以令，得,又当时， .综上 . (【抓关键】，,时， ， 恒成立，所以时， 24 例14 (2024·安徽省六校教育研究会测试)已知函数 在 区间上恰有三个零点，则 的取值范围是______. 【解析】令,因为,所以 ，于是 在区间上的零点个数等价于 在 区间 上的零点个数. 易知 , 因为在区间 上恰有三个零点， 所以,解得，故 . 25 例15 (2024·四川省成都市模拟)已知函数，若 在 区间内没有零点，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 26 【解析】令得，函数的零点为, ， 因为在区间 内没有零点， 所以 , 化简得， . 因为,所以令，得 ， 令,得 , 又当时， 无解.综上， . (由,,得 27 例16 (2024·山西省长治市期末)已知函数 在区间 上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 28 【解析】因为在区间 上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以 ，所以 . 令,当时, , 于是在区间上的最值点个数等价于 在 上的最值点个数. 由知，, , 因为在 上恰有一个最大值点和一个最小值点， 29 所以 无解， 或解得 . 例17 (2024·福建省龙岩市期末)已知函数，其中 ， ，为的零点，且恒成立，在区间 上有 最小值无最大值，则 的最大值是( ) C A.11 B.13 C.15 D.17 31 【解析】因为是函数的一个零点，且由可知直线 是其图 象的一条对称轴， 所以, , 得(令， , 同时有， , 即，,化简得， . 又在区间， 上有最小值无最大值， 32 所以,解得 . 令,,当 时， , , 于是在区间，上的最值点个数等价于 在区间 ， 上的最值点个数. 设最小值点为 ,,其相邻最大值点为 ， 和 , ,依题意有 , , 化简得(令 ， 结合,, , 令,得 , 于是 ,故选C. 例18 (2024·山东省滨州市质检)已知函数 ,且 ,若在区间上有最大值，无最小值，则 的最大值为 ( ) D A. B. C. D. 35 【解析】因为,在区间， 上有最大值，无最小值，所以直线 为函数的图象的一条对称轴， 则为最大值点，同时 ， 于是，解得,则， ,解 得， , 由于 取最大值，于是取4,得 . 例19 图5-1是函数 的部分图象，则这个函 数的解析式为_________________. 图5-1 37 【解析】方法1 （最值法） 由图象知, , （只需知道一个即可确定 值） , , . 将代入，得 , ， , ，，又， . . 38 方法2 （五点对应法） 由图象知,由图象过点和 ,根据五点法，得 （以上两点可看作是五点法中的“第三点”和“第五点”） 解得 . 方法3 （代入法） 同方法1知, . 又 是该函数图象上的一点， , ,,即, . 又，. . 39 方法4 （平移法） 同方法1知,，由图象知函数图象经过点 , 则该函数的图象可由的图象向左平移 个单位长度得到， ,即 . 40 方法5 （单调性法） 同方法1知, . 由图象知， 处于曲线的下降部分， , . 由,得 ， , ,.又, . . 41 方法6 （平衡点法） 同方法1知, . 由图象知，是距原点最近的且处于曲线上升部分的平衡点的横坐标， , 即 , . 42 例20 已知函数是 上的奇函数，其图象关于 点对称，且函数在区间上是单调函数，求函数 的解析式． 【解析】由函数是 上的奇函数， 得 ①. 由函数的图象关于点 对称， 得 ②. 由在区间 上是单调函数， 得 ③.联立①②③并结合， ，解得 故 . 43 命题点1 化简求值 例21 (2023·全国高中数学联赛浙江赛区预赛)函数在 上 的最小值为_________. 【解析】 . 令，则，因为，所以 . 因为，所以 ， 所以,易知在上单调递减，所以 . 故函数的最小值为 . 44 例22 (2023·全国高中数学联赛江西赛区预赛)若锐角，， 满足 ,则 的最小值是___. 45 【解析】因为 ,所以 . 由 , 当且仅当, 时，等号成立. 例23 (2022·全国高中数学联赛浙江赛区预赛)设 , ,且 ,则 ___. 【解析】由已知配方得，解得 , , 又 ,,所以, ,所以 ,,所以 . 47 命题点2 三角函数的图象与性质 例24 (2023·北京大学强基计划)函数,,在 上的最大 值是_ __. 图5-2 【解析】作出函数, , 的图象，如图5-2所示，则函 数,,在 上取最大值时，，即 , . 48 例25 (2023·厦门大学强基计划)已知,,求 在 上所有根的和. 图5-3 【解析】因为,所以 的图象关于 点中心对称,而函数 的图象也 关于该点中心对称,在同一直角坐标系内作 出, 的图象，如图5-3所示. 由数形结合思想可知，这两个函数图象有8个交点,即共有四对关于 中心对称的点， 所以方程在上所有根的和为 . 49 例26 (2022· 上海交通大学强基自招) 的实根个数为( ) B A.2 022 B.4 044 C.2 023 D.1 011 【解析】，令,则,函数 的周 期为，则在区间，，， ， 上 各有两个交点，在区间，， ， 上各有两个交点，则共有 个交点，故选B. 50 例27 (2022·全国高中数学联赛吉林赛区预赛)已知函数 ,求函数 的单调递减区间. 【解析】 . 令, , 解得, . 又函数的定义域为 , ， 所以函数的单调递减区间为, . 51 例28 (2022·全国高中数学联赛重庆赛区预赛) 若存在实数及正整数使得在 内恰有2 022个零点，则 满足条件的正整数 的值有___个. 5 52 【解析】由题意可知， ， 令,,此时 , (暂不确定 的取值范围) 而,,,为方程的两个根， ， 所以上述方程在实数范围内一定有两个异号的根. 53 情形一:当时，此时, 在 (开始分析t的取值范围) （0, ）内有两个解，则在 内有2个零点， (其实，在（0，）内有两解，在（，2 内无解） 若使在内恰有2 022个零点，那么或 . 情形二:当时，此时，在内有两解，在 内无解， 在内无解，在内有一解，则在 内有3个零点，则若 使在内恰有2 022个零点，则,即 . 54 情形三:当时，,由,，得 ,解得 ， ①当时，此时，则在内有4个零点，则若使 在 内恰有2 022个零点，则 , 即 ； 55 ②当时，此时，,则在 内有3个零点，则需要 ， 即 ； ③当时，此时，在内有2个零点，在 内无解， 在内有两解，所以或 . 综上所述,这样的正整数的值有5个，分别是，，，， . 56 命题点3 三角恒等变换与三角形的结合 例29 (2022· 全国高中数学联赛一试B卷)若的三个内角，， 满足 ,则 的值为. 【答案】2 57 【解析】由知 . 假如,则，此时 ,这与正弦函数与余弦函数的值域为 矛盾. 从而只能是，进而有 ， 易知 , 所以 , 这等价于 , 进而 . 58 例30 (2022· 全国高中数学联赛一试A卷)若的内角,, 满足 ，求 的值. 【解析】由知，但有意义，故 不为直角，从而只能是 ，进而有 . 所以 ,从而 . 上式等价于 ， 于是 . 59 感谢观看 $$