5.7三角函数的应用课件-2025届高三数学一轮复习

第五章 三角函数 5.7 三角函数的应用 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 必备知识解读 知识点1 函数,(其中, ) 例1-1 函数 的振幅是_,周期是_,频率是_,初相是 _,图象最高点的坐标是_. 【解析】由表达式知,振幅是6, ,, ,当 ,即 时,函数取得最大值6. 2 知识点2 三角函数的简单应用 例2-2 有一小球从某点开始来回摆动,离开平衡位置的 位移(单位:)关于时间(单位:)的函数解析式是 , ,函数图象如图5.7-1所示,则函数的解析式为 _. 图5.7-1 3 【解析】根据图象,知,两点的距离刚好是 个周期,所以 . 所以,则 . 因为当 时,函数取得最大值, 所以 , , 又,所以 . 又当时,,所以,则 . 所以函数的解析式为 . 4 关键能力构建 题型1 利用三角函数模型解决实际问题 例3 在一个港口,相邻两次高潮发生的时间相距,低潮时水深为 ,高潮时水 深为.每天潮涨潮落时,该港口水的深度(单位:)关于时间(单位: ) 的函数图象可以近似地看成函数 的图象,其中 ,且 时涨潮到一次高潮,则该函数的解析式可以是( ) A A. B. C. D. 5 【解析】依题意得,解得 又, . 又, , , , 该函数解析式可以是 . 6 【学会了吗|变式题】 [多选题](2024 福建省宁德市期末)从物理学知识可知,图5.7-2中弹簧振子中的小 球相对平衡位置的位移与时间(单位: )的关系符合函数 .从某一时刻开始,用相机的连拍功能给弹簧振子连拍 了20张照片.已知连拍的间隔为 ,将照片按拍照的时间先后顺序编号,发现仅 有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的,请写出小球正好处于平 衡位置的所有照片的编号为( ) 图5.7-2 BCD A.4 B.6 C.12 D.18 7 【解析】由题意可得, , 则,所以 , 又,所以当时, 取得最值. 代入 , 可得,解得 , , 所以, , 令,可得 ,, , 则,,, . 所以小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为6,12,18. 8 例4 (2024 河北省沧州市期末)如图5.7-3所示,游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮 可近观长沙中心城区城市美景,远眺岳麓山,俯瞰橘子洲,饱览湘江风光.据工作人员 介绍,该摩天轮直径约100米,摩天轮的最低处 与地面的距离为20米,设有60个座舱, 游客先乘坐直升电梯到入口(入口在摩天轮距地面的最低处)处等待,当座舱到达最 低处 时有序进入座舱,摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟.以摩天轮的圆心 为坐标原点,过圆心的水平线为 轴建立如图5.7-4所示的平面直角坐标系. 图5.7-3 图5.7-4 9 (1)试将游客甲离地面的距离(单位:米)表示为其坐上摩天轮的时间 (单位:分)的函数; 10 【解析】方法1 由题意知,游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为 (弧度/分) 的匀速圆周运(由匀速运行一周约需20分钟求得)动,设经过分钟后甲到达 ,则 以为始边,为终边的角的大小是 , 因为圆的半径为50米,由三角函数定义知点的纵坐标为 , 则其离地面的距离为 . 方法2 因为摩天轮是作匀速圆周运动的,故可设 , 据题意有,,又周期,所以 , 由在最低点入舱得 , 故 . 11 (2)若游客乙在甲后的5分钟也在点 处坐上摩天轮,求在乙坐上摩天轮后的多少分 钟时甲、乙离地面的距离之差首次达到最大. 【解析】由(1)可知游客乙离地面的距离 , 其中时间 表示游客甲坐上摩天轮的时间, 则甲、乙离地面的距离之差为 ,(辅助角公式 的应用) 当,即 时,甲、乙离地面距离之差达到 最大,取,即得游客乙坐上摩天轮 (分)后,甲、乙离地面的距离 之差首次达到最大.(乙在甲后5分钟坐上摩天轮,因此时间应为 ) 12 题型2 用拟合法建立三角函数模型 例5 下表是某地一年中10天的白昼时间统计表:(时间精确到0.1小时) 日期 日期位置序号 白昼时间 时 1月1日 1 5.6 2月28日 59 10.2 3月21日 80 12.4 4月27日 117 16.4 13 日期 日期位置序号 白昼时间 时 5月6日 126 17.3 6月21日 172 19.4 8月13日 225 16.4 9月20日 263 12.4 10月25日 298 8.5 12月21日 355 5.4 感谢观看 续表 14 (1)以日期在365天中的位置序号为横坐标,白昼时间 为纵坐标,在给定坐标系 中画出这些数据的散点图;(如图5.7-5) 图5.7-5 【解析】散点图如图5.7-6所示. 图5.7-6 15 (2)试选用一个函数来近似描述一年中白昼时间与日期位置序号 之间的函数关系; (注:①求出所选用的函数关系式;②一年按365天计算) 16 【解析】由图5.7-6知白昼时间与日期位置序号 之间的函数关系近似为 . 由题意知函数的最大值为,最小值为 , 即, . 由,得 . 由,得 . 又, . 当时, . 又 , . . (3)用(2)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时. 【解析】由,得 , , 即 , 又,,, . 该地大约有121天白昼时间大于15.9小时. 18 习题课 A 基础练 知识测评 图5.7-1 1.如图5.7-1所示的是一个单摆,以平衡位置为始边、 为终边的 角与时间(单位: )满足函数解析式 ,则当时,角 的大小及单摆的频率是 ( ) A A., B.2, C., D.2, 19 【解析】当时,,由函数解析式易知单摆的周期为 ,故单摆的 频率为 . 20 2.在两个弹簧上各挂一个小球,它们做上下自由振动,已知它们在时间(单位: ) 时离开平衡位置的位移(单位:)和(单位: )分别由下列两式确定: ,.则在时间时,与 的大小关系是( ) C A. B. C. D.不能确定 【解析】当时,,,所以 . 21 3.音乐,是用声音来展现美,给人以听觉上的享受.著名数学家傅立叶研究了乐音 的本质,他证明了所有的乐音都能用数学表达式来描述,它们是一些形如 的函数的和,其中频率最低的一项是基本音,其余的为泛音.由乐音的 数学表达式可知,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐 波.下列函数中能与函数 (基本音)构成乐音的是( ) D A. B. C. D. 【解析】由,可知若,则必有 .易得 ,故只有D中函数能与函数 构成乐音. 22 图5.7-2 4.(2024 重庆市期末)为了研究钟表与三角函数的关系, 建立如图5.7-2所示的坐标系,设秒针针尖的位置为 .若初始位置为,当秒针针尖从 (注:此时开始走时,点的纵坐标与时间 的函数 解析式可以是 ( ) C A. B. C. D. 23 【解析】由题意知,函数的周期为, . 设函数解析式为 . 初始位置为, 当时,, , 可取, 函数解析式可以是.又由秒针顺时针转动可知, 的值从开始要先逐渐减小,故 ,故选C. 24 图5.7-3 5.[多选题](2024 广东省深圳中学期末)健康成年人的收缩 压和舒张压一般为和 .心脏跳 动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收 缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数 为标准值.记某人的血压满足函数式 BCD A. B.收缩压为 C.舒张压为 D.每分钟心跳80次 ,其中为血压(单位:),为时间(单位: ), 其函数图象如图5.7-3所示,则下列说法正确的是( ) 25 【解析】由题图知,,所以,可得 ,故选项A 不正确;所以,由题图知 在一个周期内最大值为120,最 小值为70,所以收缩压为,舒张压为 ,故选项B,C正确;每分 钟心跳数为频率,故选项D正确.故选 . 26 6.电流强度(单位:A)随时间(单位: )变化的函数 的图象如图5.7-4所示,则当 时,电流强度是_ A. 5 图5.7-4 【解析】由题图可知,,,故,即 ,故 ,当时,,即电流强度为 . 27 7.如图5.7-5表示相对于海平面的某海湾的水面高度(单位:米)在某天 时的 变化情况,则水面高度关于时间 (单位:时)的函数关系式为_ 图5.7-5 【解析】 设,由题图 知 ,,,得.将代入函数关系式得 ,得 , . 28 8.某地区每年各个月份的月平均最高气温(单位: )近似地满足周期性规律,因此 第个月的月平均最高气温可近似地用函数 来刻画, 其中正整数表示月份且,例如表示1月份,和 是正整数, , . 统计发现,该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同,1月份的月平均最高气 温为 ,是一年中月平均最高气温最低的月份,随后逐月递增直到7月份达到最高 为 . 29 (1)求 的解析式; 【答案】因为1月份的月平均最高气温最低,7月份的月平均最高气温最高, 所以最小正周期 , 所以 , 所以, , 因为,所以 , 因为1月份的月平均最高气温为,7月份的月平均最高气温为 , 所以, , 解得, , 所以的解析式是,, 为正整数. 30 (2)某植物在月平均最高气温低于 的环境中才可生存,求一年中该植物在该 地区可生存的月份数. 【答案】因为,, 为正整数, 所以在区间上单调递增,在区间 上单调递减, 因为某植物在月平均最高气温低于13摄氏度的环境中才可生存,且 , , 所以该植物在1月份,2月份,3月份可生存, 又 ,所以该植物在11月份,12月份也可生存. 故一年中该植物在该地区可生存的月份数是5. 31 B 综合练 高考模拟 图5.7-6 9.(2024 江苏省南通市期末)智能主动降噪耳机工作的原 理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音,然后 通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音 (如图5.7-6).已知噪音的声波曲线 (其中,,的振幅为1,周期为 , D A. B. C. D. 初相为 ,则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为( ) 32 【解析】由噪音的声波曲线(其中,, 的振幅 为1,周期为 ,初相为,可得 ,所以噪音的声波曲线为 ,所以通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为 .故选D. 33 图5.7-7 10.(2024 江苏省扬州中学月考)阻尼器是一种 以提供阻力达到减震效果的专业工程装 置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减 震装置,被称为“镇楼神器”,如图5.7-7 (1).由物理学知识可知,某阻尼器的运动 过程可近似为单摆运动,其离开平衡位置的位移(单位:和时间(单位: 的函 数关系为 ,如图5.7-7(2).若该阻尼器在摆动过程 中连续三次到达同一位置的时间分别为,, ,且 ,,则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 的 总时间为( ) A. B. C. D. D 34 【解析】,, 函数 的周期 ,在上时,的区间为, ,区间长度 是周期的, 在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于 的总时间为 ,故选D. 35 图5.7-8 11.[多选题](2024 湖南省长沙一中期末)有一个大水库,假设 水轮半径为4米(如图5.7-8所示),水轮中心 距离水面2米,水 轮每60秒按逆时针转动一圈,如果水轮上点 从水中浮现时 (图中 )开始计时,则( ) ABD A.点 第一次达到最高点,需要20秒 B.当水轮转动155秒时,点 距离水面2米 C.在水轮转动的一圈内,有15秒的时间,点 距水面超过2米 D.点距离水面的高度(米)与 (秒)的函数解析式为 36 【解析】设点距离水面的高度(米)和 (秒)的函数解析式为 .由题意,, ,则 解得,.则. 当时,,,则,又 , ,故D正确;令 , ,得秒,故A正确;当 秒时, (米),故B正确; ,则 ,解得, 故有30秒的时间,点 距水面超过2米,故C错误.故选 . 37 说明 针对C选项,因为水轮中心距水面2米,则在一个周期内,点 有半个周期的时 间距水面超过2米. 38 图5.7-9 12.(2024 安徽省A10联盟月考)近年来,某市依托地方资源优势,用风 能等清洁能源替代传统能源,因地制宜实施新能源项目,在带来了较 好经济效益的同时,助力了本地农户增收致富.目前利用风能发电的 主要手段是风车发电.如图5.7-9,风车由一座塔和三个叶片组成,每 两个叶片之间的夹角均为 .现有一座风车,塔高90米,叶片长 40米.叶片按照逆时针方向匀速转动,并且每6秒旋转一圈,风车开 70 4 始旋转时某叶片的一个端点在风车的最低点(此时离地面50米).设点转动 (单位:秒)后离地面的距离为(单位:米),则关于 的函数关系式为_,叶 片旋转一圈内点 离地面的高度不低于70米的时长为_秒. 39 【解析】 因为风车每6秒旋转一圈,则其每秒转动的角度 为,经过秒时,叶片转过的圆心角为 , 此时离地面的高度为,故 ; 由,得 , 因为,所以,解得 , 所以叶片旋转一圈内点 离地面的高度不低于70米的时长为4秒. 40 13.(2024 福建省福清一中月考)已知某海滨浴场的海浪高度 (单位:米)是时间 ,单位:时)的函数,记作 ,下表是某日各时的浪高数据: 时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 米 1.5 1 0.5 1 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测,可近似地看成函数 . (1)根据以上数据,求函数的最小正周期,振幅 及函数表达式; 【答案】由表中数据知函数的最小正周期, . 当时,,故 ①, 当时,,故 ②. 由①②得, , 函数表达式为 . 41 (2)根据规定,当海浪高度大于1米时浴场才可对冲浪爱好者开放,请依据(1)的 结论,判断一天内在8:00至20:00之间,有多长时间可供冲浪爱好者冲浪. 【答案】由题可知,当 时,浴场才可对冲浪爱好者开放, 由,得, ,即 ③. ,故可令③中的值分别为0,1,2,得或 或 . 故在规定时间8:00至20:00之间,有6个小时可供冲浪爱好者冲浪. 42 感谢观看 $$