简单的三角恒等变换课件 -2025届高三数学一轮复习

第五章 三角函数 5.5.2 简单的三角恒等变换 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 必备知识解读 知识点1 半角公式 图5.5.2-1 例1-1 “无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于 理解的几何图形来呈现.请观察图5.5.2-1，根据半圆中所给出 的量，补全三角恒等式 .第一个括号为____________，第二个括号为___________. 【解析】易知 , . 在直角三角形中， ， 在直角三角形中， . 2 知识点2 积化和差与和差化积公式 例2-2 （1） __; 【解析】 （差化积） . （2） ____. 【解析】)he（和化积）2 （积化和） . 3 知识点3 万能公式 例3-3 已知，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 ， ， ． 4 关键能力构建 题型1 三角恒等变换的简单应用 例4 化简： （1） ； 【解析】原式 （积化差） ． 5 （2） . 【解析】原式 （和化积） . 6 例5 已知，，，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】，， ， ． 7 例6 已知,则 _________. 或 【解析】方法1 因为，所以 . 由，可得 ， ， （【易错点】本题在利用半角公式求 的值时，一定要对角的范围进行确定） 则 ，，所以 . ，将代入可得或 . 方法2 因为,所以 . 8 若,则 ; （半角正切公式的有理化） 若,则 . 例7 已知 为钝角， 为锐角，且,,求与 的值. 【解析】因为 为钝角， 为锐角，,,所以, . 所以 . 因为 ,且,所以 ,即 ，（注意半角范围） 所以 . 方法1 由,得 , 所以 . 方法2 由 , ,得 10 . 所以 . 例8 求证： . 【解析】 右边.（利用半角正切 公式的有理形式化切为弦） 12 例9 已知, ,求证： . 【解析】由已知，得 ①, ②. 和差化积，得 ③, ④. 当时， ，不满足题意, . 13 ,得 . C. ,得 , 即 , . 题型2 三角恒等变换在三角形中的应用 例10 已知在中，，求证： 是直角三角形. 【解析】 在中， ， . 利用和差化积公式，得 , , （由二倍角公式可得） 显然,故 . 15 方法1 即 ， 由于，,因此, ， 所以 ， 显然(否则 . 当时，, . 当时，, . 故 为直角三角形. 方法2 即 , 所以 ， 即 , 所以或 , 即或，又，,所以， , 故或 . 故或 . 故 为直角三角形. 习题课 1. 的值等于( ) A A. B. C. D. 【解析】 ,故选A. 18 2.若, ,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】因为 ,所以.因为 ,所以 ,，所以, ，所 以.所以 . 19 3.在中，若 ,则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】 . , . 即的取值范围为 . 20 4.［多选题］如图5.5.2-1，已知，两点在单位圆 上， 且都在第一象限，点是线段的中点，点是射线与单位圆 的交点，则( ) ABD 图5.5.2-1 A. B. C. D. 21 【解析】不妨设 ， 对于选项A， ， 即选项A正确； 对于选项B， ，即选项B正确； 对于选项C，由题意可得，则 ，即选项C错误； 对于选项D， ， 即，即选项D正确.故选 ． 22 5.已知等腰三角形的顶角的正弦值为 ,则它的底角的余弦值为_ _________. 或 【解析】设等腰三角形的顶角为 ,则底角为,由题意可知 ,所以 ，所以 , 所以或 . 23 6.化简： ______. 【解析】原式 . 24 7.在中，,则 __. 【解析】 , . , , , . , , , , , . 25 8.已知，，是的三个内角， ,若任意交换两个角的 位置， 的值是否变化？证明你的结论. 26 【答案】任意交换两个角的位置， 的值不变，证明如下. ，，是的三个内角， , , . 故任意交换两个角的位置， 的值不变. 27 9.已知,求 的值. 【答案】由题意知， . 令 ,则 , 由倍角公式和积化和差公式可知, , 化简可得，则 . 28 感谢观看 $$