5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件-2025届高三数学一轮复习

第五章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 必备知识解读 知识点1 两角和与差的余弦公式 例1-1 ［教材改编P220 T2］ 已知,,则 的值为_ ___. 【解析】,,, , . 2 例1-2 ［教材改编P220 T3］ ____. 【解析】 . 3 知识点2 两角和与差的正弦公式 例2-3 ［教材改编P220 T1］求下列各式的值： （1） ; 【解析】 . （2） . 【解析】 . 4 知识点3 两角和与差的正切公式 例3-4 求下列各式的值： （1） ； 【解析】 . （2） . 【解析】 . 5 例3-5 化简下列各式: （1） ; 【解析】原式 . （2） . 【解析】原式 . 6 例3-6 ［教材改编P229 T13］(2024·四川省遂宁市期中)设 , 是方程 的两个根，则 的值为( ) A A. B. C.1 D.3 【解析】由根与系数的关系得, ，所以 . 7 知识点4 三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助 例4-7 ［教材改编P229 T2］(2024·黑龙江省哈一中月考)已知 , 为锐角，且 ,,则 的值为___. 8 【解析】, , . 由,得 .. 又, . （【抓关键】角的拆分） . 例4-8 ［教材改编P227例9］(2024·山东省青岛市期末)函数 的 最小正周期为( ) C A. B. C. D. 【解析】（ （【小技巧】后续熟悉后， 此步可省略）） ， 故函数的最小正周期为 . 10 关键能力构建 题型1 利用和（差）角公式求值 例9 求下列各式的值： （1） ； 【解析】原式 . 11 （2） ； 【解析】原式 （两角和正切公式的变形式） . 12 （3） ; 【解析】原式 . 13 （4） . 【解析】 , 同理可得 ， 原式 . 14 变式1： 你能求 的值吗？ 【解析】由上面的结论可知， ，故 . 15 变式2： 你能求 的值吗？ 【解析】 ，则 ，变形得 ， 即 ，同理， ，故原式 . 16 【学会了吗|变式题】 1.化简下列各式： （1） ; 【答案】 , 原式 . 17 （2） . 【答案】原式 . 18 例10（1） 已知,,则 的值为__. 【解析】 . （2）(2024·湖北省武汉市期末)若,, ， ，则 ( ) C A. B. C. D. 19 【解析】注意到，则 ， 所以 . 又，所以 ， 所以 ， 所以 ， 从而 . 20 （3）在中，已知，,则 的值为___. 【解析】,，且 . ,, . 若,，,,则 ,,与 矛盾， ， 故（【明易错】此处如果没有进一步挖掘题目的隐含条件，得到 , 只是简单认为,就会得到错误答案：或 ）， 则 , . 21 变式1： 条件保持不变，你能求 的值吗？ 提示,则 . 22 变式2： 将条件“”变为“ ”,其余不变. 提示 由 知，即角 的终边可以在第一、二、三象限， 这样就难以确定的符号了，此时要想办法缩小角 的范围.由于 ，所以角 的终边不可能在第二、三象限，即 , 由此即得 . 23 变式3： 将条件“”变为“ ”,其余不变. 提示 由 知,即角 的终边可以在第四、一象限，同 样难以确定的符号，怎么办？同样要想办法缩小角 的范围，此时由 已无法缩小角 的范围了，因为当角的终边在第四、一象限 时，其余弦值都是大于0的，这时就要利用其值的大小来缩小角的范围，即当 时，，即条件中 ,所以 ，由此即得 的值. 24 例11 (2024·湖南省郴州市期末) 在①角 的终边经过点，，， ， 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 问题：已知___，且，求 的值． 25 【解析】选择条件①. 角 的终边经过点， ，则 ，解得 . 选择条件②.，，, ， 故 ， 解得 . 选择条件③.，，由 ，则可得 ， ， , 则，解得 . 26 【学会了吗|变式题】 2.(2024·安徽省池州市期末)已知 ， 均为锐角， ， ，则 ( ) C A. B. C. D.或 27 【解析】 ， 为锐角，，， ， ，， ．又 ，, ． 28 3.已知,,,,则 的值为___. 【解析】由,易知 , 所以由,得 . 由，易知 , 所以由,得 . 所以 ， 所以（ ）（【巧转换】虽然 不能直接从 , 得到，但可以 以 进行过渡，再利用诱导公式得解） . 29 例12（1） 已知,,且 和 均为钝角，则 的值为( ) D A. B. C.或 D. 【解析】 和 均为钝角, , . （【巧选“名”】若选，则无法确定 是第三象限角还是第四 象限角） . 由 和 均为钝角,得 , . 30 （2）已知,,且 ,,则 的值为_____. 【解析】（第一次变角： ） , 而, . ，, , . 而， ， （第二次变角） ， 又 31 , . 【学会了吗|变式题】 4.(2024·浙江省瑞安市期末)若 ，，且 ， ，则 的值是( ) B A. B. C.或 D.或 33 【解析】，， ，， ， 又, （注意结合三角函数值，合理缩小角的范围），即 ， ， ， ， （由同角三角函数基本关系可得） . 又， ， . 34 . 又,,, . 题型2 利用和（差）角公式化简三角函数式 例13 化简： . 【解析】原式 . 36 题型3 利用和（差）角公式证明三角恒等式 例14 已知不是直角三角形，求证： . 【解析】在中， , 又 不是直角三角形， 则 , , 即 . , 故 . 37 例15 已知 ,, ,求证： . 【解析】方法1 由条件得 , 即 由 得 （为消 作准备） 所以 . 38 方法2 由条件 即 整理得： 由,知，, , 所以 . 39 【学会了吗|变式题】 5.已知,求证： . 【答案】方法1 , . , 即 ， , , , , . . 40 方法2 令 , , 则 ， ， 两式相加，得 , 即 ． ，即 ． ， ． ， . . 41 题型4 和（差）角公式与三角函数图象与性质的综合应用 例16 ［多选题］(2024· 九省联考)已知函数 ， 则( ) AC A.函数 为偶函数 B.曲线的对称轴为 ， C.在区间， 上单调递增 D.的最小值为 42 【解析】 ， 即 . 对于A， ，易知为偶函数，所以A正确； 对于B，曲线的对称轴方程为 ， ，即 ， ，故B错误； 43 对于C，当，，即，时， 单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，则 ， 所以，，故D错误．故选 ． 44 例17 ［多选题］(2024·山东省烟台市招远一中期中)设 ，其 中，，.若对一切 恒成立，则结论正确的是( ) AC A. B. C. 既不是奇函数也不是偶函数 D.的单调递增区间是 【解析】由题得 ， 因为对一切， 恒成立, 45 所以 , 故或 . 故 ， 或 . 对于A，当 时， ， 当时， ，所以 ，故A正确； 对于B， ， ， 所以 ，故B错误； 对于C，由，或知, 既 不是奇函数也不是偶函数，故C正确； 对于D，当时，是 的单调递 减区间，故D错误. 【学会了吗|变式题】 6.(2024·浙江大学附属中学期中)已知函数，若 在区间上有且仅有3个零点且的图象在区间上有2条对称轴，则 的 取值范围是( ) D A. B. C. D. 【解析】函数 ， 因为，所以 ， 由于函数在区间上有且仅有3个零点且的图象在区间 上有2条对 称轴， 48 图D 5.5.1-1-1 结合函数 的图象（如图D 5.5.1-1-1），可知 ，整理得， ． 49 例18 (2024·福建省南平市期末) 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长 与太阳天 顶距 的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三 角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距 正切值的乘积，即 ．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍 （所成角记,），则 ____. 【解析】由题可得,， ， . 50 例19 (2024·北京市大兴区期末) 赵爽弦图（如图5.5.1-1-2（1））中的大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小 正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为,,斜边长为 ,由大正方形面积 等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得勾股定理 .仿 照赵爽弦图构造如图5.5.1-1-2（2）所示的菱形，它是由两对全等的直角三角形和中 间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角形含有锐角 ， 另一对直角三角形含有锐角 （位置如图5.5.1-1-2（2）所示）．借鉴勾股定理的推 导思路可以得到结论( ) 51 图5.5.1-1-2 A. B. C. D. √ 52 图5.5.1-1-3 【解析】如图5.5.1-1-3，由题意得， ， ， ， ， ， ， ， 过点D作于点，则 ， ， ． 53 核心素养聚焦 考向1 和（差）角公式的综合应用 例20（1） (全国Ⅲ卷)已知,则 ( ) D A. B. C.1 D.2 【解析】由已知得 ， 得 . 54 （2）(全国Ⅲ卷)已知,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 ， . 55 例21 (2023·新课标Ⅰ卷改编)已知在中，， ，则 _ ____. 【解析】方法1 在中， , 因为，所以,所以 . 因为 ， 所以 ， 展开并整理得，得 ，又 ，且 ， 所以 . 56 方法2 在中， , 因为，所以,所以 . 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 易得 , 所以，又 ， 所以 . 57 例22 (2022·新高考全国Ⅱ卷)若 ，则 ( ) C A. B. C. D. 58 【解析】方法1 由题意得 ， 整理得 ， 即 ， 所以 ． 方法2 ， 则 . , 所以,则 （【扣选项】联系选 项，转化为正切间关系）,所以 , . 则 ,,所以 . 59 考向2 以和（差）角公式为工具研究三角函数的性质 例23 (2021·全国乙卷)函数 的最小正周期和最大值分别是( ) C A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2 【解析】因为函数 ，（【巧转化】逆用和角公式进行化简） 所以函数的最小正周期 ，最大值为 . 60 例24 (全国Ⅱ卷)若在上是减函数，则 的最大值是( ) A A. B. C. D. 【解析】 ， 因为函数在区间上单调递减，则由 ， 得，所以的单调递减区间为 . 因为在上是减函数，,所以 ,解得 . 又,所以 ， 所以 , 所以的最大值是 . 61 高考新题型专练 1.［多选题］(2024·河南省洛阳市孟津一高期末)已知 ， ，其中 ， 为锐角，则以下命题正确的是( ) AB A. B. C. D. 62 【解析】由，可得 ，则 ， 故A正确； 由 ， 为锐角，可得 ，则 ， ，故B正确； 由， ，可得 ，， ，故C,D均错误．故选 ． 63 2.［多选题］(2024·山东省枣庄市期末)设函数 ，已知在 有且仅有3个零点，则( ) AD A.在上存在,，满足 B.在 上有且仅有1个最小值点 C.在 上单调递增 D. 的取值范围是 【解析】 , 当时， ， 令，则 ， 64 图D 5.5.1-1-2 作出函数 的大致 图象，如图 所示. 对于A选项，由图象可知，， ， 所以，在上存在， ，满足 ，A选项正确；对于B选项，在 上有1个或2个最小值点 （ 的具体位置不确定），B选项错误； 对于D选项，由于函数在上有且仅有3个零点，则 ，解 得 ，D选项正确； 65 对于C选项，由 得， ，取，当 时， ，此时，函数在区间 上 不单调，C选项错误．故选 . 习题课 A 基础练 知识测评 建议时间：20分钟 1.若, 是第三象限角，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】因为， 是第三象限角，所以 ，由两角和的正弦公 式可得 . 67 2.(2024·四川省绵阳市期末)函数 的最小值为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为 ,所以所求函数的最小值为 . 68 图5.5.1-1-1 3.新情境 数学文化(2024·江苏省徐州市期中)古希腊的数学家 特埃特图斯通过如图5.5.1-1-1所示的图形来构造无理数 ， ，， ．记 ， ，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题可得，， ， ，故 ，故选B． 69 4.(2024·山西省朔州市怀仁一中月考)已知，且 ，则 等于( ) D A. B. C. D. 【解析】，，，又， ， ． 70 5.(2024·四川省南充市二调)已知函数.设 时， 取得 最大值，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】，其中， ， ， 当 时，取得最大值， ， ，即 ， ． 71 6.［多选题］已知函数， 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，则 图象的对称轴方程可以是( ) AD A. B. C. D. 【解析】, 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ， 函数的最小正周期为 ，即 ， 解得，.令 ,,解得, , 当时，,当时，，即函数 图象的对称轴方程可以为 , . 72 7.已知,,,,则 的值为___. 【解析】方法1 由, , 得, . 又,于是 . 由,,得 , 因此 . 73 方法2 由,，得 . 由,，得, ,所以 . 由,,得 , 因此 . 74 8.已知在锐角三角形中，, . （1）求证： ； 【答案】 ①， ②． 并化简得 ， 并化简得 ． ，,即 ． 75 （2）求 的值. 【答案】 ， ， （ 是锐角三角形）． 又,,解得 或 （舍去）， . 76 B 综合练 高考模拟 建议时间：35分钟 9.(2024·安徽省合肥市期末)黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力 强，任何物体到了它那里都别想再出来,数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字 串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数， 把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现 的数字，我们称它为“数字黑洞”.如果把这个数字设为,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意，任取数字 ，经过第一步变为314，经过第二步变为123，第三 步变为123， 变为123，所以数字黑洞为123，即 ，则 ． 77 10.(2024·四川省成都七中月考)在中， , ,则 的大小为( ) A A. B. C.或 D.或 【解析】由已知可得 ,即 ，所以 . 所以在中，所以或 . 又,所以 . 又,所以,所以 , 所以不符合题意,所以 . 78 11.(2024·河南省周口市西华三高期末)若 ， 为锐角，且 ，则 的最小值为( ) A A. B. C. D. 79 【解析】已知 ， 为锐角，且 ， 则 ， 即 ， 所以 ， 又 ， 即，得，显然 ，所 以，当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为 ． 80 12.［多选题］(2024·江苏省泰州市期末)已知函数 ，则下列 说法正确的是( ) BC A.的图象关于点中心对称 B.在区间 上单调递减 C.在上有且仅有1个最小值点 D.的值域为 81 【解析】对于A选项，因为，，所以 ，所以 的图象不关于点 中心对称，A选项错误. 对于B选项，当时， ，因为 ，所以函数在区间 上单调递减，B选项正确. 对于C选项，因为 ，所以 为函数的周期. 当 时， ，，所以在区间 上单 调递增，，，由B选项可知，函数 在 82 区间上单调递减，当时， ， ，所以函数在 上有且只有1个最小值点，C选项正确. 对于D选项，由C选项可知，函数的值域为，D选项错误.故选 . 13.(2024·辽宁省沈阳一中月考)在中，若，则 __， 的最大值为____． 84 【解析】因为 ， 所以 ， 所以，即 ， 因为，所以 ． 因为 ，所以 ， 所以 ， 因为，所以， ， 所以当时，取最大值，最大值为 ． 85 14.(2024·浙江省绍兴市期末)已知函数 ． （1）当时，求 的值； 【答案】时， ， 故 . 86 （2）当函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是 时，____． 从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答． ①求在区间 上的最小值； ②求 的单调递增区间； ③若，求 的取值范围． 87 【答案】易知 . 由函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是得， ， ，故 . 选①.由得 ， 所以 ， 所以在区间上的最小值为 . 选②.令，,得， ， 故函数的单调递增区间为， . 88 选③.若，则 ， ， 解得， ， 故的取值范围为， ． C 培优练 能力提升 15.(2024·山东省济南市期末)在中，若,则 的取值范 围为______________. 90 【解析】记,由条件知或 . 当时，，其中 ,此时 . 当时，，其中 ,此时 ,其中 . 注意到,设,,则易知函数 在上单调递增，在上单调递减，又 , ,故 . 综上所述，的取值范围是 . 91 感谢观看 $$