5.2三角函数的概念课件-2025届高三数学一轮复习

第五章 三角函数 5.2 三角函数的概念 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 必备知识解读 知识点1 任意角的三角函数 例1-1 [教材改编P178例1]利用定义求 的正弦、余弦和正切值. 图5.2-4 【解析】如图5.2-4所示,的终边与单位圆的交点为,过点 作 轴于点,在中,, , 则,,则 . 所以, , . 2 知识点2 三角函数的定义域和函数值的符号 例2-2 函数 的定义域为_. , 【解析】函数与的定义域为 , 要使函数有意义,必须使有意义,且 , 所以有 所以函数的定义域为, }. 3 例2-3 确定下列各三角函数值的符号: (1) ; 【解析】因为 是第三象限角, 所以 . (2) ; 【解析】因为是第四象限角,所以 . (3) . 【解析】因为是第三象限角,所以 . 4 知识点3 诱导公式一 例3-4 求下列各式的值. (1) ; 【解析】 . (2) ; 【解析】 . (3) . 【解析】 . 5 知识点4 同角三角函数的基本关系 例4-5 (2024 江苏省淮安市期末)已知 是第二象限角, ,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】因为 是第二象限角,所以,又 ,所以 . 6 例4-6 (2024 江西省吉安市期末)已知 是第二象限角, 且,则 的值是( ) D A. B. C. D. 【解析】方法1 为第二象限角, , . 方法2 , 角 终边上一点的坐标为,则 . 7 关键能力构建 题型1 三角函数的定义及应用 例7 有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数值相等; ②终边不同的角的同名三角函数值不等; ③若,则 是第一象限角; ④若 是第二象限角,且是其终边上一点,则 (对比解析,理 解三角函数的定义与函数值的符号无关). 其中真命题的个数是( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 8 【解析】 序号 结论 理由 ① 正确 由任意角的三角函数的定义可判断. ② 不正确 举反例,如,但与 的终边不同. ③ 不正确 由 ,可知 , .当 时, 是第一象限角;当时, 是 第三象限角. ④ 不正确 . 9 例8 [教材改编P180 T3]已知角 的终边经过点,则 _ _, _ _, _. 【解析】因为,,所以点到原点的距离 .于是 ,, . 10 例9 (2024 湖南师大附中期末)已知角 的终边与单位圆的交点 ,则 ( ) C A. B. C. D. 11 【解析】 角 的终边与单位圆的交点,单位圆半径 , , . 当时, 为第二象限角,,, ; 当时, 为第三象限角,,, . 综上, . 12 例10 已知角 的终边在直线上,则 _ _. 【解析】 13 【学会了吗|变式题】 1.(2024 福建省莆田市期末)已知角 的终边经过点,且 ,则 实数 的值是 ( ) A A. B. C.或 D.或 【解析】由三角函数的定义得,, (不要忽略 该隐藏条件),解得 . 14 题型2 三角函数值在各象限的符号 例11 [多选题](2024 安徽省阜阳市质检)已知, ,则函数 的值可以为( ) BD A. B.3 C.1 D. 15 【解析】当为第一象限角时, , , 均为正值, . 当为第二象限角时,为正值,,为负值,. 当为第三象限角时,,为负值, 为正值, . 当为第四象限角时,,为负值, 为正值, . 综上,的值可以为 ,3. 16 例12 (2024 河北省沧州市期末)已知点在第二象限,则 在( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 点 在第二象限, ,, 在第三象限. 17 例13 (2024 安徽省合肥市期末)点 在平面直角坐标系中位于 ( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】因为 , ,故 为第三 象限角,故 . 因为8与的终边相同,又 ,故8是第二象限角,故 ,则点A在第三象限. 18 【学会了吗|变式题】 2.(2024 广东省中山纪念中学一调)已知 是第三象限角,,则是 的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 是第三象限角时, ,充分性成立; 时, 是第二或第三象限角或终边在 轴负半轴上,必要性不成立. 所以是 的充分不必要条件. 19 题型3 诱导公式一的应用 例14 计算下列各式的值: (1) ; 【解析】原式 . (2) . 【解析】原式 . 20 题型4 根据同角三角函数的基本关系求值 例15 [教材改编P185 T11]若,则 的值为_. 6或 【解析】因为(【易错点】此处易忽略对角 的终边所在象限的讨论,从而 直接认为),所以 是第一或第二象限角. 当是第一象限角时, , 所以 ; 当是第二象限角时, , 所以 . 21 例16 已知 ,则 (1) _; (【看清题】分子和分母均是关于 , 的一次齐次式) 【解析】由题意得 , 所以 . (2) _; (【看清题】分子和分母均是关于 , 的二次齐次式) 【解析】因为 , 所以 . 22 (3) _. 1 【解析】 (【关键点】“1”的灵活运用,使得分子分母均为二次齐次 式) . 23 子题1 (2024 广东省揭阳市期末)已知,则 ( ) A A. B.2 C. D.6 【解析】 , (【关键点】注意结合 ,巧妙地将分子分母“齐次化”) . 24 子题2 (2024 浙江省杭州市期末)设 ,且 ,则 的值是( ) C A. B.2 C. 或2 D.不存在 【解析】 , , 即 , 化简得 , , , 即,解得或 . 25 【学会了吗|变式题】 3.(2024 四川省成都市期末)已知且 ,则 的值为_. 【解析】因为且 ,所以 ,所以或 (舍), 则 . 26 例17 已知, ,求下列各式的值. (1);(2) ; (3) . 27 【解析】方法1 (方程组法) , , , 解得或 (舍去). (1) . (2) . (3) . 28 方法2 (整体代换法)(1) , ,即 , , . (2) , , 又,, , , . 29 (3), , . 已知关于的方程的两根为 和 , ,求: (1) 的值; 【解析】由①式两边平方得 , 即.结合②式得,即 , 由③式得,而 , 故 . 31 (2)方程的两根及 的值. 【解析】由知,原方程为,解得, . 故或 又,所以或 . 32 【解析】由题意得 33 【学会了吗|变式题】 4.(2024 河南省实验中学月考) 已知,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由得,得 ,所以 . 34 题型5 三角函数式的化简 例18 化简: (1) ; 【解析】 35 题型5 三角函数式的化简 例18 化简: (2) . 【解析】 36 题型6 三角恒等式的证明 例19 求证: . 【解析】方法1 (因为右边分母为,故可将左边分子分母同乘以 ) 左边 右边. 方法2 (因为左边分母是,故可将右边分子分母同乘以 ) 右边 左边. 37 方法3 (只需证明左、右两边都与某个中间结果相等即可,因此可先将它们的分母 变为相同) 因为左边 , 右边 , 所以左边 右边,原等式成立. 方法4 (只需证明左边-右边 即可) 因为 , 所以 . 38 例20 已知,求证: . 【解析】 39 核心素养聚焦 考向1 三角函数的定义 例21 (2021 北京)若与关于 轴对称,写出 一个 的值_. (答案不唯一,满足,即可) 【解析】因为点,关于轴对称,即角 ,的终边关于 轴对称,所以 ,,故 ,,当时,可取 的一个值为 . 40 考向2 三角函数值的符号 例22 (全国 卷)若 为第四象限角,则( ) D A. B. C. D. 【解析】 41 考向3 诱导公式一的应用 例23 (2023 北京)已知命题若 , 为第一象限角,且 ,则 .能说 明为假命题的一组 , 的值为_, _. (答案不唯一) 【解析】取 ,,有 ,此时 ,不满足 , 命题为假命题, 能说明命题为假命题的一组 , 的值可以是 , . 42 考向4 同角三角函数基本关系的应用 例24 (2023 全国甲卷)设甲:,乙: ,则( ) B A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 【解析】甲等价于 ,等价于 ,所以由甲 不能推导出 ,所以甲不是乙的充分条件; 由,得 ,平方可得 ,即 ,所以由乙可以推导出甲,则甲是乙的必要条件. 综上,甲是乙的必要不充分条件. 43 例25 (2023 全国乙卷)若,,则 _ _. 【解析】由且 , 解得 故 . 44 例26 (2022 浙江)设,则“”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由 可得, 当时, ,故充分性成立(注意区分充分性与必要性.); 当时, ,故必要性不成立. 所以“”是“ ”的充分不必要条件. 45 例27 (2021 新高考全国 卷改编)若,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】原式 . 46 高考新题型专练 1.[多选题](2024 福建省莆田第七中学期末)在平面直角坐标系中,角 以 为始边,终边经过点 ,则下列各式的值一定为负的是( ) CD A. B. C. D. 【解析】由题意得,, , ,,,, 的符号不 确定,故选 . 47 2.[多选题](2024 辽宁省鞍山市期中)已知,,且 , ,下面选项正确的是( ) ACD A. B.或 C. D. 【解析】因为,,所以 ,因为 ,所以,解得或 .因为 ,,经检验,当时, ,不合题意,所以 ,此时,,.故选 . 48 3.[多选题](2024 陕西省西安交大附中期末)在平面直角坐标系中,角 以坐标 原点为顶点,以轴的非负半轴为始边,其终边经过点, , 定义, ,则( ) BC A. B. C.若,且,则 D.若,且,则 49 【解析】角 终边经过点,则角 终边经过点 ,所以 ,所以A选项错误; 因为, ,所以 , 因为,,所以 , 所以 ,所以B项正确; 因为,且 ,由三角函数定义可知, , 50 所以 , 又,解得, , 所以 ,所以C项正确; 因为,且,所以 , 又,解得, , 所以 , 所以,所以D项错误.故选 . 习题课 A 基础练 知识测评 建议时间:25分钟 1. 的值等于( ) A A. B. C. D. 【解析】 . 52 2.(2024 河北省邢台市期末)若,且 为第三象限角,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意,,故 . 53 3.下列函数值中,符号为负的为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 , 是第二象限角,则 ; 是第四象限角, ; 是第二象限角,,, ; ,是第三象限角, .故选C. 54 图5.2-1 4.(2024 黑龙江省哈九中月考)随着智能手机的普及,手 机摄影越来越得到人们的喜爱,要得到美观的照片, 构图是很重要的,用“黄金分割构图法”可以让照片感觉 更自然、更舒适,“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种 形式,是指把画面横、竖各分三部分,以比例 为分隔,4个交叉点即为黄金分割点.如 B A. B. C. D. 图5.2-1,分别用,,,表示黄金分割点,若照片长、宽比例为 ,设 ,则 ( ) 55 【解析】依题意,所以 , 所以 . 56 5.[多选题](2024 宁夏吴忠市期末)已知, ,则下列结 论正确的是( ) ACD A. B. C. D. 【解析】因为,所以,又,所以 , 所以可得,故A正确;由 ,可得 ,则可得 ,所以 ,故D正确; 由得所以,故B错误,C正确.故选 . 57 6.[多选题](2024 山东省泰安市期末)已知角 的顶点与原点重合,始边与 轴的非 负半轴重合,是 终边上一点,则下列结论正确的是( ) BC A. B. C.若 是弧长为的扇形的圆心角, ,则扇形的半径为2 D. 58 【解析】因为是 终边上一点,所以,且 为第二象限角, 所以 , ,A错误; ,B正确; 若 是弧长为的扇形的圆心角, ,则 ,故扇形的半径 ,C正确; ,D错误.故选 . 59 7.(2024 湖北省部分学校期末)已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与 轴 的非负半轴重合,终边落在直线上,则 的值是_. 或 【解析】若终边与射线重合,取终边上一点 ,则 ,故, , 故 . 若终边与射线重合,取终边上一点,则 ,故 , , 故 . 60 8.(2024 江苏省天一中学期末) (1)已知 是关于的方程的一个实根,且 是第一象限角, 求 的值; 【答案】解方程,得, , 是关于的方程的一个实根,且 是第一象限角, , . 61 (2)已知,且,求 的值. 【答案】 , , , ,,,即, , , . 62 B 综合练 高考模拟 建议时间:25分钟 9.(2024 河北省保定市期末)函数且 的图象先向右平移3个单位 长度,再向上平移2个单位长度后所得的图象过定点,且角 的终边过点 ,则 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】 函数且 的图象先向右平移3个单位长度,再向上平 移2个单位长度后,得到且的图象,.又角 的终边过点,, ,则 . 63 10.平面直角坐标系中,设角 的终边上任意一点的坐标是 ,它与原点的距离 是,规定:比值叫做 的正余混弦,记作 .若 ,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意得 , , 且,即,且,解得.故 . 64 11.[多选题](2024 河南省郑州市期中)已知, , 则下列说法中正确的有( ) BD A.是第二象限角 B. C. D. 或3 65 【解析】对于A, , , ,, 为第三象限角, , , 当为偶数时,为第二象限角,当为奇数时,为第四象限角, 可能为第二或第四 象限角,故A错误; 对于B, , ,, , ,故B正确; 66 对于C,由 , , , 可能为正,也可能为负, ,故C错误; 对于D,当, 时, ,,故 , 当, 时, ,,故 , 故或3,故D正确.故选 . 12.[多选题](2024 江苏省南京九中期中)已知角 的顶点与原点重合,始边与 轴 的非负半轴重合,终边经过点,若 ,则下列各式的符号不能确定的 是( ) AC A. B. C. D. 68 【解析】由三角函数的定义可知, , , 当时,, , 当时,, , 当时,,,故 符号不确定,故A符合题意; 因为,所以, 符号确定,故B不符合题意; , 当时,, , 当时,, , 69 当时,,,故 符号不能确定,故C符 合题意; ,故 符号确定, 故D不符合题意.故选 . 13.(2024 安徽省蚌埠二中期中)人脸识别技术应用在各行各业,改变着人类的生活, 所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图像,并从中提取出有效的识别 信息,最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应 用距离的测试,常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间两 个点,,曼哈顿距离 . 余弦相似度: . 余弦距离: . 71 (1)若,,,求,之间的 和余弦距离; 【答案】因为,, , 所以 , , 所以余弦距离 . 72 (2)已知,,,若 , ,求 的值. 【答案】由 ,可得 , 同理,由,可得 , 故 , 则 ,可得 . 73 C 培优练 能力提升 14.(2024 山西省太原市期末)正割及余割这两个概念是由阿拉伯数学家、天文学家阿 布 瓦法首先引入, 这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用, 后经瑞士数学家欧拉采用得以推广.在三角中,定义正割 ,余割 .已知为正实数,且 对任意的实数 均成立,则 的最小值为_. 4 74 【解析】依题意得,, , 因为 , 所以 , 当且仅当时等号成立,即的最小值为 ,所 以,解得,即 的最小值为4. 75 感谢观看 $$