5.1 任意角和弧度制 课件-2025届高三数学一轮复习

第五章 三角函数 5.1 任意角和弧度制 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 必备知识解读 知识点1 任意角 例1-1 你的手表慢了10分钟，你是怎样把它校准的？假如你的手表快了1.5小时，你 应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？ 2 【解析】利用定义，分针是顺时针旋转的，形成的角是负角，因为周角为 ，所 以分针顺时针旋转每分钟形成一个 的角. 手表慢了10分钟，所以将手表的分针顺时针旋转 ，就可以将手表校准， 此时分针旋转了 . 手表快了1.5小时，即90分钟，只需将手表的分针逆时针旋转 ，就可 以将手表校准，此时分针旋转了 . 图5.1-1 3 例1-2 下列所示图形中， 的是______; 的是______. ①④ ②③ 【解析】在①中， 与 的始边相同， 的终边为 的始 边， 与 的终边相同，所以 . 在②中， 与 的始边相同， 的终边为 的始边， 与 的终边相同，所以 . 同理可知， ③中 ，④中 . 4 知识点2 终边相同的角与象限角 例2-3 ［多选题］(2024·江苏省南京市中华中学月考) 与 角终边相同的角的集合是( ) AC A. ,} B. , } C. ,} D. , } 【解析】与 角终边相同的角可写为 , . 又,所以 角与 角的终边相同,所以与 角终 边相同的角也可写作 , . 5 例2-4 ［多选题］(2024·江西省南昌一中月考)已知第一象限角，锐角 ， 小于 的角，那么，， 的关系是( ) BC A. B. C. D. 【解析】第一象限角 ， ， 锐角 , 小于 的角}={锐角、零角和负角 . 对比各选项可知，, 正确． 6 知识点3 角度制与弧度制 例3-5 ［多选题］下列说法中正确的是( ) ABC A.度与弧度是度量角的两种不同的度量单位 B.1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C.根据弧度的定义， 一定等于 弧度 ②记法：弧度单位用符号 表示，读作 弧度. D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关 【解析】根据角度制和弧度制的定义可知，无论是用角度制还是用弧度制度量角， 角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D不正确， 正确. 7 例3-6 (2024·天津市南开区期末)已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长， 则这段弧所对的圆周角（正角）的弧度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】设此圆的半径为，则正方形的边长为 ，所以这段弧所对的圆心角的弧 度数为，则这段弧所对的圆周角的弧度数为 . 8 知识点4 角度与弧度的换算 例4-7 （1） 化为角度是( ) B A. B. C. D. 【解析】 . （2） 化为弧度是( ) A A. B. C. D. 【解析】（【易错点】单位统一，化为度） . 9 例4-8 ［多选题］(2024·浙江省丽水市期末) 下列各角中，与角 终边相同的角为( ) AB A. B. C. D. 【解析】 ， ，故A正确； 与终边相同的角为 ， ， 当时， ，故B正确； 令，解得 ，故C错误； 令，解得 ，故D错误． 10 例4-9 (2024·黑龙江省大庆市期末) 若 ，则它是( ) C A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】因为 ， 所以 ， 故角 是第三象限角. 11 知识点5 弧长公式、扇形面积公式 例5-10 (2024·湖北省黄石二中月考) 已知扇形弧长为，圆心角为 ，则该扇形面积为( ) C A. B. C. D. 【解析】设扇形的半径为,则，解得 ， 所以扇形的面积为 . 12 知识点6 角的终边的对称与垂直 例6-11 若 ,且角 的终边与角的终边垂直，则角 ________. 或 图5.1-5 【解析】如图5.1-5，与角 的终边垂直的角有两类： 与角 终边相同的一类角可表示为 ; 与角终边相同的一类角可表示为 . 故当时， ， . 综上可知，或 . 13 关键能力构建 题型1 终边相同的角的表示 例12 写出与 角终边相同的角的集合，并求在 范围内与 角终 边相同的角. 【解析】与 角终边相同的角的集合为 , }. 当 ，即 时, 解得 . 又,所以或 . 当时， ;当时， . 综上所述，在 范围内与 角终边相同的角为 角和 角. 14 【学会了吗|变式题】 1.(2024·广东省深圳市期末)在内与 终边相同的角是________． , 【解析】 ， 故在内与终边相同的角是, ． 15 图5.1-6 例13 写出终边在图5.1-6所示的直线上的角的集合. 【解析】（1）由题图易知,在 范围内,终 边在直线上的角有两个,即 和 , 因此,终边在直线 上的角的集合为 , , , }. （2）终边在直线上的角的集合为 , }（【链接】教 材第171页【例3】中有此结论）,结合（1）知所求角的集合为 , , , , , }. 16 题型2 象限角的判定 例14 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，作出下 列各角，指出它们是第几象限角，并指出在 范围内与其终边相同的角. （1） ； 【解析】 角是第一象限角. ，所以在 范围内，与 角终边相同的角是 角. （2） ； 【解析】 角是第四象限角. ,所以在 范围内,与 角终边相同的角是 角. 17 （3） ； 【解析】 角是第二象限角. ，所以在 范围内,与 角终边相同的角是 角. （4） . 【解析】 角是第三象限角. ，所以在 范 围内,与 角终边相同的角是 角. 18 【解析】作出各角如图5.1-7所示. 图5.1-7 19 例15 (2024·河北省邯郸市部分学校月考)已知 是第二象限角，则 是 ( ) A A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】由 是第二象限角可得， . 所以 ， 即，所以 为第一象限角. 20 例16 若角 是第二象限角,试确定角 , 是第几象限角. 【解析】 是第二象限角, ,则 （1）, 可能是第三象限角、第 四象限角或终边在 轴非正半轴上的角. 21 （2）方法1 , 当时,,此时, 是第一象限角; 当时,,此时, 是第二象 限角； 当时,,此时, 是第四象 限角. 综上所述, 可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角. 22 图5.1-8 方法2 如图5.1-8所示，将每一象限三等分，由几何法可知，当 为 第二象限角时，的终边在标号为“二”的位置上.故 可能是第一象限 角、第二象限角或第四象限角. 23 【学会了吗|变式题】 2.［多选题］(2024·福建省厦门市期末) 已知角 的终边与 角的终边关于轴对称，则 是( ) BD A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】 角 的终边与 角的终边关于轴对称， 角 的终边与 角 的终边相同， ，， ,， 是第二或第四象限角. 24 题型3 角度与弧度的换算及应用 例17 设 , . （1）将 用弧度表示出来，并指出它的终边所在的象限； 【解析】 ， ， 的终边在第二象限． 25 （2）将 用角度表示出来，并在 内找出与它们终边相同的所有的角． 【解析】 ， 设 ）． ，， 或 ． 在 内与 终边相同的角是 ． 26 图5.1-10 例18 用弧度分别表示终边落在如图5.1-10（1）（2）所 示的阴影部分内（不包括边界（如无特别说明，边界线 为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）） 的角的集合． 【解析】（1） 角的终边可以看作是 角的终 （2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为 ,, }= , }.（终边在同一条直线上的角要合并） 边，化为弧度，即， 角的终边即 的终边,所以终边落在阴影部分内 （不包括边界）的角的集合为, }. 27 题型4 与扇形的弧长、面积有关的计算 例19 (2024·山东省枣庄市期末) 诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转 而每天行八万里路程．已知我国南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约 ,把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转 ，昆仑站运动的路程 约为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为昆仑站距离地球南极点约 ,所以由弧长公式得，地球每自转 ，昆仑站运动的路程 ． 28 例20 如图5.1-11，一个长为 ，宽为1的长方形木块（此处把木块的形状当作平面 图形）在桌面上进行无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，此时长方形木 块底面与桌面所成角为，试求点 走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积. 图5.1-11 29 【解析】由题图可知,在扇形中，圆心角恰为 ，弧长 , 面积 . 在扇形中，圆心角也为 ， 弧长 , 面积 . 在扇形中，圆心角为 , 弧长 , 30 面积 . 故点走过的路程，点 走过的弧所在的扇形 的总面积 . 【学会了吗|变式题】 图5.1-12 3.(2024·江苏省泰州市期末)可以用尺规作图画出正五角星，作法 如下：以任意一点为圆心，以1为半径画圆，在圆 内作互相 垂直的直径和，取线段的中点，以为圆心，以 为 半径作弧，交于，以为圆心，以为半径在圆 上截取弧 ，然后依次截取相等的圆弧，连接，，，， ， 得到如图5.1-12所示的正五角星.则图中扇形 的面积为( ) A A. B. C. D. 32 【解析】连接，，，则 ，又 ，所以 ，化为弧度为，所以扇形 的面积为 ． 33 图5.1-13 4.(2024·云南省昆明市西南联大研究院附中期末)窗花是贴在窗纸或 窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠 久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色 艺术，农村的生活地理环境、农业生产特征以及社会的习俗方式， 也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和艺术特色．如图 5.1-13所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设 外围虚线正方形的边长为 ,则窗花的面积为( ) A A. B. C. D. 34 【解析】如图D 5.1-1,连接 ，根据正方形以及“窗花”的对称性可知，窗花的一个 “花瓣（阴影部分）”的面积 ，即 ．故“窗花”的面积为 ． 图D 5.1-1 35 例21 (2024·湖南师大附中月考)若扇形的面积是，它的周长是 ，则扇形圆 心角 的弧度数为( ) A A. B. C. D. 【解析】 36 例22 (2024·四川省泸县四中月考)已知圆心角为2的扇形，其弧长为5，则扇形的面积 为___. 【解析】设扇形所在圆的半径为，弧长为 , 因为扇形的圆心角为2且弧长为5，可得 ， 解得 ， 所以扇形的面积为 ． 37 例23 已知扇形的周长为定值，当该扇形面积取得最大值时，圆心角（正角）为___. 2 【解析】方法1 设扇形的圆心角为 ，半径为，周长为，面积为 ， （缺什么，设什么，不要怕有未知数） 则有, , （给什么，用什么，将题中所给条件转化到位） . （求什么，写什么，将要求的量写出来，才能一探究竟） 又，当且仅当，即 时等号成立,（注意基本不 等式的应用） 故当时，有最大值，为 ． 38 方法2 设扇形的半径为，弧长为，圆心角为 ，周长为，面积为 ，则 ， , （等价变形，然后利用基本不等式求解， ） .（注意二次函数的妙用） 当时，有最大值，为 . 又当时，， ． 故当时， 有最大值． 39 子题 已知扇形的面积，则扇形周长最小时，扇形的半径 ___. 1 【解析】设扇形弧长为 ， 扇形面积， ， 周长，当且仅当时取等号.（此时圆心角 ） 当时，周长 最小. 40 例24 (2024·河北省保定市清苑中学段考) 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面 积所用的经验公式为：弧田面积（弦 矢矢 ）.弧田（如图5.1-14）由圆弧和 其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离 之差.现有圆心角为，弧长等于 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是 ( ) D 图5.1-14 A. B. C. D. 41 图5.1-15 【解析】如图5.1-15所示，由题可得， ， 根据，可得 . 在中，，， ， 则矢 ． 由 ， 可得弦长，所以弧田面积（弦×矢矢 ） . 42 图5.1-16 例25 (2024·福建省福州市马尾第一中学期中) 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算 圆弧长度的“会圆术”.如图5.1-16，是以为圆心， 为半径的圆 弧，是的中点，在上，.“会圆术”给出 的弧长的 近似值的计算公式：.当, 时， ( ) B A. B. C. D. 43 【解析】由题意知，是等边三角形，所以.连接，因为C是 的中点，所以，，又,所以 ,C,D三点共线 （明晰,C,D三点共线才可求解），所以 ， 所以 ． 44 核心素养聚焦 考向 扇形的面积与弧长公式 图5.1-17 例26 (新高考全国Ⅰ卷)某中学开展劳动实习，学生加工制作 零件，零件的截面如图5.1-17所示.为圆孔及轮廓圆弧 所 在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧 与 直线的切点，四边形为矩形， ，垂足为 ，,,,, 到直线 和的距离均为,圆孔半径为,则图中阴影部分的面积为_______ . 45 高考新题型专练 1.［多选题］(2024·湖南省娄底市期末)孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄， 听云鹤缥缈，玉佩丁冬”．玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图 5.1-19（1）所示，其平面图形可以看成扇形的一部分（如图5.1-19（2）），已知 ， ，则( ) ACD 图5.1-19 A. B.的长为 C.该平面图形的周长为 D.该平面图形的面积为 46 【解析】如图D 5.1-2，分别延长与,交于点，易得 ，得 ，所以为等边三角形，，所以 ， 故A正确.的长为，故B错误.该平面图形的周长为 ，故C正确. 该平面图形的面积为，故D正确.故选 ． 图D 5.1-2 47 图5.1-20 2.［多选题］(2024·山东省烟台市期末)如图5.1-20，， 是在单位 圆上运动的两个质点．初始时刻，质点在处，质点 在第一 象限，且．质点以 的角速度按顺时针方向运动， 质点同时以 的角速度按逆时针方向运动，则( ) BD A.经过后，扇形的面积为 B.经过后，劣弧的长为 C.经过后，质点的坐标为 D.经过 后，质点， 在单位圆上第一次相遇 48 【解析】由题意可知，经过后，，所以此时扇形 的面积为 ，故A错误； 经过后，，所以此时劣弧的长为 ， 故B正确； 经过后，质点B转过的角度为，结合题意，此时质点B为角 的 终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为， ，故C错误； 经过后，质点B转过的角度为 ，质点A转过的角度为 ，因为 ，所以经过 后，质点A，B在单 位圆上第一次相遇，故D正确．故选 ． 49 习题课 A 基础练 知识测评 建议时间：20分钟 1.把角 化为 的形式为( ) D A. B. C. D. 【解析】 . 50 图5.1-1 2.(2024·山东省泰安市期末)二十四节气是中华民族农 耕文明的产物，是中国农历中表示季节变迁的24个 特定节令．如图5.1-1，每个节气对应地球在黄道上 运动 所到达的一个位置．根据描述，从立冬到 立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为 ( ) B A. B. C. D. 51 【解析】根据题意，立春是立冬后的第六个节气，故从立冬到立春相对应为地球在 黄道上逆时针运行了 ，所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对 圆心角的弧度数为 ． 52 3.集合， }中角的终边所在的范围（阴影部分）是( ) C A. B. C. D. 【解析】当,时，， ； 当,时，， . 故选C. 53 4.(2024·湖南省长沙市期末)如图5.1-2是古希腊数学家希波克拉底用于求月牙形图形 面积所构造的几何图形，先以为直径构造半圆，为弧的中点，为线段 的中点，再以为直径构造半圆，则由曲线和曲线 所围成的图形为月牙 形．若 ，则该月牙形图形的面积为( ) D 图5.1-2 A.4 B. C. D.2 54 【解析】连接，因为，所以 ， 记月牙形的面积为，曲线与弦 围成的弓形（弓形是指在圆中由弦及其所对 的弧组成的图形）面积为 ， 则 ， ， 故 . 55 5.［多选题］如果角 的终边在第三象限，则 的终边可能在( ) ACD A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 56 【解析】方法1 为第三象限角， ， ， ， . 分别取，1，2，3， ，可得 的终边分别在第一、第三、第四、第一、…象限； 分别取，，，， ，可得 的终边分别在第四、第三、第一、第 四、…象限. 均不过第二象限，的终边可能在第一、第三、第四象限，故选 ． 57 图D 5.1-3 方法2 如图D 5.1-3所示，将每一象限三等分，由几何法可知，当 为第三象限角时，的终边在标号为“Ⅲ”的位置上，故 的终边 可能在第一象限、第三象限、第四象限. 58 6.［多选题］下列条件中，能使 和 的终边关于 轴对称的是( ) BD A. B. C. D. 图D 5.1-4 【解析】假设 ， 为 范围内的角，如图D 5.1-4所示， 因为 ， 的终边关于轴对称，所以 ，所以B满 足条件；结合终边相同的角的概念，可得 ，所以D满足条 件，A，C都不满足条件． 59 7.(2024·北京市大兴区期末)“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周角分为6 000等份，每一个等份是一个密位，那么120密位 等于___弧度． 【解析】由题意知，120密位 （弧度）. 60 8.(2024·江苏省淮安市期末)已知扇形的周长为30． （1）若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角 ，弧长及面积 ； 【答案】设扇形的半径为,则，又，则弧长 ， 则圆心角 ， 所以扇形的面积 . 61 （2）求该扇形面积 的最大值及此时扇形的半径． 【答案】方法1 设扇形的半径为,弧长为，则 , 则扇形的面积为 ，则当 时，扇形面积取得最大值， 即面积的最大值为，此时扇形半径为 ． 方法2 设扇形的半径为,弧长为，则 , 则扇形的面积为 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以面积的最大值为，此时扇形半径为 ． 易错警示 本题中 的范围是 ，因此，本题不能选A. 62 B 综合练 高考模拟 建议时间：25分钟 图5.1-3 9.(2024·山东省烟台市莱州一中月考)在东方设计中，存在着一个名 为“白银比例”的理念，这个比例为 ：1，它在东方文化中的重要 程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方 审美观.折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作 A A. B. C. D. 而成（如图5.1-3）.设制作折扇时剪下的小扇形纸面面积为 ，折 扇纸面面积为，当 时，扇面较为美观.那么按“白银比例” 制作折扇时，原扇形半径与剪下的小扇形半径之比为( ) 63 【解析】设原扇形半径为，剪下的小扇形纸面的半径为，原扇形的面积为 ,圆心 角为 , 则，所以 ， 又，所以 . 64 图5.1-4 10.(2024·湖北省武汉市调研)圆的半径为1, 为圆周上一点，现将 如图5.1-4所示放置的边长为1的正方形（正方形的顶点和点 重 合）沿着圆周逆时针滚动.经过若干次滚动，点第一次回到点 的位置，则点 走过的路程为( ) D A. B. C. D. 65 图D 5.1-5 【解析】因为圆的半径,正方形的边长 ,所以以正方形 的一边为弦时所对应的圆心角为 ，正方形在圆周上滚动时，点 的位置如图D 5.1-5所示，故当点A首次回到点 的位置时，正方 形在圆周上滚动了2圈，而自身滚动了3圈.设第 次滚动点 A走过的路程为,则, , , ,所以点A所走过的路程为 . 66 图5.1-5 11.［多选题］(2024·河南省洛阳市期末)斐波那契螺线又叫 黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下 列方法画出：如图5.1-5，在黄金矩形 中 作正方形，以为圆心，长为半径作圆弧 ；然 后在矩形中作正方形，以为圆心， 长为 AB A. B. C. D. 半径作圆弧 如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧 ， ，的长度分别为,, ，则下列四个命题中正确的是( ) 67 【解析】不妨设，则， ，所以 ， ，所以 ， ，所以 ，所以 ，故A正确； ， ，所 以 ，故B正确； ， ， 所以 ，故C不正确； 68 ，，所以 ，故D不正确.故 选 . 12.已知点位于轴正半轴上，射线在1秒内转过的角为 ,经过2秒 到达第三象限，若经过15秒后又恰好回到出发点，则 ____________. 或 【解析】 且, 必有 , . 又， , , , 又,或，故 或 . 70 13.如图5.1-6，在扇形中，， ，则此扇形的内切圆的面积为 _ _________. 图5.1-6 71 图D 5.1-6 【解析】如图D 5.1-6，设扇形的半径为 ，其内切圆半径为 ，由弧长公式有 ， ①． 又，， ， ， ②. 把①代入②，得 ． 内切圆的面积 . 72 C 培优练 能力提升 图5.1-7 14.(2024·江苏省镇江市扬中第二高级中学期初)某单位拟建一个扇 环面形状的花坛（如图5.1-7所示），该扇环面是由以点 为圆心的 两个同心圆弧和延长后通过点 的两条线段围成．按设计要求扇环 面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在 圆的半径为米，圆心角（正角）为 （弧度）．当时， ___米．现要给花 坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的 装饰费用为9元/米，则花坛每平 方米的装饰费用最小为___元 ． 73 【解析】由题意得， ， . 当时，解得 . 花坛总面积为 ，装饰总费用为 ， 故 ， 令, ， 则 ， 74 ，当且仅当，即 时，等号成立， 的最小值为 ， 花坛每平方米的装饰费用最小为 元． 感谢观看 $$