第四章指数函数与对数函数章末总结课件-2025届高三数学一轮复习

第四章 指数函数与对数函数 章末总结 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 专题1 函数的凸性 例1 如图4-2,是定义在上的四个函数,其中满足性质“对 中任意的和,及, 恒成立”的 只有( ) A 图4-2 A. B. C. D. 2 【解析】因为,所以可令 , 则不等式变为 . 为自变量,的中点 对应的函数值,即中点纵坐标小于 . 结合函数图象及, 的任意性,可排除B,C,D三个选项. 3 例2 定义在区间上的函数满足:若对任意, ,都有 ,则称是 上的上凸函数. (1)判断函数 是否为上凸函数?为什么? 【解析】函数 是上凸函数.理由如下. 设,,欲证函数是上凸函数,需证 ,即证 ,即证 , 由不等式知识可得上式显然成立,故函数 是上凸函数. 4 (2)若函数在上是上凸函数,求 的取值范围; 【解析】由函数在 上是上凸函数, 可得对任意,, . 又,所以 . 5 (3)在(2)的条件下,当时,不等式恒成立,求实数 的 取值范围. 【解析】当时,不等式 恒成立, 即,即 恒成立, 可得在 时恒成立. 因为 , 所以,,所以 . 由,及,可得 , 所以 . 故 . 6 专题2 有效回避分类讨论的若干策略 例3 若函数,且在上的最大值与最小值的差为,则实数 的值为_. 或 【解析】对于指数函数 ,要么单调递增,要么单调递减,因此最大值与最小 值的差的绝对值是不变的,抓住这一点,可以不用进行分类讨论,直接列等式 ,因为,所以,从而解得或 . 7 例4 设函数,若,且 ,则( ) C A. B. C. D. 【解析】如果是常规做法,将写成分段函数的形式 后,需要分类讨论, 的取值范围. 现在对条件进行等价变形,由可得 ,即 ,所以.因为,则 , 所以,则,即 . 8 例5 设定义在上的偶函数在区间上的解析式为 ,若 ,则 的取值范围为_. 【解析】因为不能确定与 所在的区间,所以常规做法是将它们分同正、同负、 一正一负和一负一正四种情况进行讨论.而事实上,若运用偶函数的性质,则可以 避免讨论. 因为,所以 .因为 与都在区间内,且由对应解析式知在 上单调递减,所以 ,两边同时平方可解得,即的取值范围为 . 9 例6 已知,,则关于的不等式 的解集为 _. 【解析】易知,且 ,原不等式可化为 ,即 , 两边同时平方得 ,即 , 所以 . 又,且,故,所以,从而 ,解 得 . 10 例7 (2024 河南省新乡十二中开学考试)当时,不等式 恒成 立,则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 图4-3 【解析】设,,要使当 时,不 等式恒成立,只需在 上的图 象在在上的图象的下方即可,因此 .画出 和 的大致图象,如图4-3所示,由图可知,要使在区间 上,的图象在 的图象下方,只需 ,即,,解得 ,故 选C. 11 例8 若在时恒大于0,则实数 的取值范围为_. , 【解析】设 , 由题意可知当时,恒成立.由于是关于 的一次函数,由一次 函数的性质可知,只需满足即解得.即实数 的取值范围为 . 12 例9 已知函数,在区间 上至少存在一个 实数,使,求实数 的取值范围. 【解析】由题意知,在区间上至少存在一个实数,使 ,从正面考虑 的话,需要分多种情况讨论,而考虑其对立面的话,即考虑对于区间 上任意 的实数,都有 ,解题就会变得相对容易.数形结合可知(图象略),只需 要满足且即可,解得.故实数 的取值范围 为, . 13 专题3 函数图象背景下的零点问题 例10 设函数 (1)若,则 的最小值为_; 图4-4 【解析】若 , 则作出函数 的图象,如 图4-4所示. 由图象可得的最小值为 . 14 (2)若恰有2个零点,则实数 的取值范围是_. 【解析】当时,,,为的2个零点.故要使 恰有2个 零点,则需满足,所以 ; 当时,要使恰有2个零点,需满足,解得 . 综上,实数的取值范围为 . 15 例11 定义在上的偶函数满足,且当 时,.若关于的方程在区间 上恰有3个不同的实数根,则实数 的取值范围为( ) D A. B. C. D.( ,2) 16 【解析】因为满足,所以,所以 是周期 为4的周期函数. 图4-5 又为偶函数,所以的图象关于 轴对称,令 ,画出与 的图象,如图4 -5所示. 因为方程在区间 上恰有3个不 同的实数根,所以函数与 的图象在 上恰有3个交点,由图可得 解得 . 17 例12 已知函数则方程 的不相等实根共有 ( ) C A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 18 图4-6 【解析】方法1 函数 的图象如图4-6 所示,由可知或 ,根据图 象可知,方程有3个不相等的实根,方程 有4 个不相等的实根,所以方程 的不相等实根共 有7个. 方法2 由可知或 . 当时,,则,,有4个不相等的实根;当 时,或,解得或 ,有3个不相等的实根.综上可得,方程 的不相等实根共有7个. 19 例13 下列函数中,满足“ ”的增函数是( ) B A. B. C. D. 【解析】把握和的函数值等于函数值的积的特征,其典型代表函数为指数函数,又所求 函数为增函数,故选B. 20 例14 (2024 河南省开封市联考)设函数的定义域是,对于任意实数, ,恒有 ,且当时, . (1)求证:,且当时,有 ; 【解析】对任意实数,,恒有 , 令,,则 . 因为当时,,所以 . 设,,则 , 所以 . 即当时,有 . 21 (2)判断在 上的单调性; 【解析】设,则,所以 . 由(1)知, ,所以 ,即 , 所以在 上单调递减. 22 (3)试举出一个满足条件的函数 . 【解析】答案不唯一.如: . 23 例15 (2024 福建省厦门外国语学校期中)已知函数的定义域为 ,且对任意的 ,都有.当时,, . (1)求并证明 的奇偶性; 【解析】 , 所以 , 又的定义域为,关于原点对称, , 所以,所以 为奇函数. 24 (2)判断 的单调性并证明; 【解析】在 上单调递增,证明如下. ,有 , 因为,所以 , 所以,所以在 上单调递增. 25 (3)若对任意恒成立,求实数 的取值范围. 【解析】因为, , 所以 , 所以 . 所以 , 因为在 上单调递增, 所以 , 所以 恒成立, 故 . 故实数的取值范围为 . 26 命题点1 指对运算 例16 (2023 全国高中数学联赛一试卷)若正实数,满足, , 则 的值为. 【答案】20 【解析】因为 , 所以 . 27 例17 (2022 全国高中数学联赛四川赛区初赛) 已知正实数,满足,则 的值为. 【答案】 【解析】,两边同时取对数得, ,所以 ,所以 . 所以 . 28 例18 (2022 全国高中数学联赛重庆赛区初赛) 已知,,均为正实数,且满足,,则 _. 10或 【解析】令,, , 此时,两边同时取对数得, ,故 . 对两边同时取对数得, ,所 以,所以 , 则 ,则 , 故或 . 29 命题点2 指数函数与对数函数 例19 (2023 上海交通大学强基计划)已知,,设, , ,则( ) A A. B. C. D. 30 【解析】,, . 由,得,即 , 由,得,即 , 由,得,即 , 由,得,即 , 综上, , 故 . 31 例20 (2023 复旦大学强基计划)方程 有几个实数解? 图4-7 【解析】依题意,,设 , ,作出两函数的图象,如图4-7所示,由图可知 方程 有1个实数解.(【巧转化】将方程解的问 题转变为函数图象相交问题) 32 例21 (2022 全国数学联赛吉林赛区初赛) 设实数,满足,,则, 的大小关系是( ) C A. B. C. D.不确定 【解析】假设,则 , 即 . 而在上单调递减,又,故 . 同理有,即 . 而在上单调递减,又,故 . 综上,假设不成立,因此 . 33 例22 (2022 全国高中数学联赛一试卷)已知函数的图象既关于点 中心 对称,又关于直线轴对称.若时,,则 的值为_. 【解析】用 表示函数 的图象. 对任意的,令,则在 上,且 . 利用 的中心对称性与轴对称性,可依次推得 ,,在 上. 取,此时 . 因此 . 34 命题点3 反函数 例23 (2022 上海交大强基计划) 的反函数为, 的根有( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】由,得或 . 当时,,所以 ; 当时,,所以 . 所以满足条件的根有4个. 35 感谢观看 $$