4.1 指数 课件-2025届高三数学一轮复习

第四章 指数函数与对数函数 4.1 指数 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 必备知识解读 知识点1 次方根 例1-1 ［多选题］(2024·广东省广州市白云中学期中)下列说法中正确的是( ) BD A. B.16的4次方根是 C. D. 【解析】负数的3次方根是一个负数， ，故A错误； 16的4次方根有两个，为 ，故B正确； 负数没有偶次方根，故C错误； 是非负数，所以 ,故D正确. 2 例1-2 ［教材链接题］已知, ，下列各式总能成立的有( ) B A. B. C. D. 【解析】 ,A错误； ， 一定成立； ,,, , ,C错误； ，故D错误. 3 知识点2 指数幂 例2-3 ［多选题］(2024·广东省广州市执信中学期中)下列关系式中，根式与分数指 数幂的互化正确的是( ) BD A. B. C. D. 【解析】当时，, ,故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ,故D正确. 4 例2-4 ［教材改编P107例4］计算下列各式（式中各字母均为正数） （1） ; 【解析】原式 . （2） ; 【解析】原式 . 5 （3） . 【解析】方法1 （从里向外化） . 方法2 （从外向里化） . 6 知识点3 指数幂的运算中常用的乘法公式 例3-5 已知,则 的值为__. 【解析】将两边平方得,则 , 再将平方并化简得 , .（【巧解题】利用立 方和公式展开求解，也可由 求 解） 从而 . 7 关键能力构建 题型1 化简与求值 例6 化简下列各式： （1）,且 ; 【解析】当为奇数时， ; 当为偶数时， . （2） ; 【解析】 . 当时， ; 当时， . 8 （3） . 【解析】，， ． 当为偶数时，原式 . 当为奇数时，原式 . 原式 9 例7 求下列各式的值: （1） ;（【敲黑板】该形式的被开方数，一般都可以变形为 “完全平方式”） 【答案】 （2） . 【答案】 10 【学会了吗|变式题】 1.（1）(2024·山东省泰安市期中)化简： . 【答案】， , , . 11 （2）(2024·广东省佛山一中开学考试)化简： . 【答案】, , , , 故 . 12 例8 化简下列各式： （1） ； 【解析】原式 .（【厘思路】先将负指数化为正指数，然后再求解） 13 （2） ； 14 【解析】方法1 （由内向外化） . 方法2 （由外向内化） . （3）且 . 【解析】方法1 原式 . (【巧代换】用“1”进行代换，即, 方法2 原式 . 16 【学会了吗|变式题】 2.已知，，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 ． 17 题型2 指数式条件求值问题 例9（1） (2024·河北省石家庄市质检)若，则 ____. （2）若 ，则 的值是( ) D A.2 B.0 C. D.1 18 例10 已知,是方程的两个根，且,求 的值. 【解析】,是方程的两个根， 方法1, . , . 方法2, , . 20 【学会了吗|变式题】 3.若，则 ( ) C A.5 B.7 C. D. 【解析】因为，两边平方得，即 ，所 以原式 ． 21 题型3 与指数幂有关的方程、等式问题 例11 解方程： （1） . 【解析】 ， .（【巧解法】同底法：化成同底数的指数式，利用指数相等解方 程） ,解得 . 22 （2） . 【解析】方程可化为 . 令,则方程可化为 , （【易错点】换元时注意中间变量 的取值范围） 解得,即，解得 . 23 【学会了吗|变式题】 4.（1）若，则 _____. 2或 【解析】①当时，由非零实数的0次幂为1，得 解得 ； ②当时，则 ，符合题意. 综上，或 ． 24 （2）方程 的解集是_______. ， 【解析】由得 ， 设，则 ， 则原方程等价为，即 ， 解得或 ． 由，解得 ； 由，解得 ． 故方程的解集为， ． 25 例12 已知,均为正数，且，求证： . 【解析】由，得，则 . 例13 已知,且 ,求证： . 26 【学会了吗|变式题】 5.设,且,,均为正数，求证： . 【答案】 , 设 ，则 ,即 , 成立． 28 例14 ［教材链接题］我国古代著名哲学著作《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺 之捶，日取其半，万世不竭．”意思是说：“一尺长的棍棒，每天截一半，永远截不 完．”第一天截去后剩下，第二天截去后剩下 （1）第五天截去后，剩下___; 【解析】第五天截去后，剩下 . （2）第 天截去后，剩下___. 【解析】第天截去后，剩下 . 29 习题课 A 基础练 知识测评 1.已知,则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 . 30 2.已知 ,下列运算正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】对于选项A， ,故选项A错误； 对于选项B， ,故选项B错误； 对于选项C， ，故选项C错误； 对于选项D， ,故选项D正确. 31 3.函数 的定义域是( ) D A., B. C. D.或 【解析】由题意，得解得且 .故选D. 32 4.化简 是( ) B A. B. C. D. 【解析】因为有意义，所以,所以 , 所以 ,故选B. 33 5.2024年2月29日，国家统计局发布公报，初步核算，2023年全年国内生产总值比上 年增长.某地区2023年12月份的生产总值是这年1月份生产总值的 倍，则该地区 在2023年生产总值的月平均增长率为( ) D A. B. C. D. 【解析】设1月份的生产总值为，月平均增长率为，由题意，得 ， 解得 . 34 6.［多选题］(2024·山东省枣庄市期中)下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确 的是( ) CD A. B. C. D. 【解析】对于A，由有意义可知，而当时， 无意义，故A错 误；对于B，当时，，而 无意义，故B错误；对于C， ，故C正确；对于D， ,故D正确． 35 7.计算下列各式. （1） ; 【答案】原式 . （2） . 【答案】原式 . 36 8.（1）当,时，求 的值. 【答案】由题意得，原式 . （2）若，求 的值. 【答案】由，得 ，所以 . 37 B 综合练 高考模拟 9.(2024·河南省郑州市期末)若，，则 等于( ) B A.0 B. C. D. 【解析】 ． 38 10.［多选题］(2024·江苏省常州市期初)已知，则， 满足的关系是 ( ) ABD A. B. C. D. 【解析】，，， ， ，，， ，故A正确； ，且易知，， ，故B正确； ，故D正确； ，故C错误. 故选 ． 39 11.已知集合,,,,,，且，则 ___. 3 【解析】因为,,,,,, ,由集合中元素的互异性,可知 且，所以.所以,,,,1,,所以且 , 所以.故 . 40 12.已知,若,,则将式子化为关于 的整数指数幂的 所有可能结果为_________. ,, 【解析】 , 要使,则为4的倍数.又,且 , 因此,4,8.故所有可能的化简结果为,, . 41 13.解下列方程： （1） ； 【答案】原方程化为，则 ， 解得 . （2） . 【答案】 方程 ， ， 解得或（舍去），解得 ． 42 14.已知，求证： ． 【答案】， ， ①. 同理可证： ②， 由①②两式得 ， 即 ， ． 43 感谢观看 $$