第三章函数的概念与性质章末总结课件-2025届高三数学一轮复习

第三章 函数的概念与性质 章末总结 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 专题1 函数模型的应用 例1 已知函数对任意实数均有,其中常数为负数,且 在 区间上有表达式 . (1)求, 的值; 【解析】 . , . 2 (2)写出在上的表达式,并讨论函数在 上的单调性; 【解析】 对任意实数, , , . 当时,, ; 当时,, ; 当时,, . 综上, 3 图3-1 由,可作出的大致图象如图 3-1所示,观察图象知 在和上单调递增,在 上单调递减. 4 (3)求出在 上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. 【解析】由函数在上的单调性可知,在或 处取得最小值, 易得,;在或 处取得最大值,易得 , . 当时,在处取得最小值,在 处取得最大值 ; 当时,在与处取得最小值,在 与 处取得最大值 ; 当时,在处取得最小值,在 处取得最大值 . 5 例2 画出函数的图象,写出函数的单调区间,并求出函数在 上的值域. 图3-2 【解析】 . 设,则 ,根据函数图象平移变换的 规则知,将函数 的图象先向右平移3个单位长度,再向下 平移2个单位长度,即得函数 的图象,如图3-2所示. 由图象知,函数的单调递增区间是和 . 由于函数在上单调递增,且当时,;当时, , 故函数在上的值域是 . 6 例3 求下列函数的值域: (1) ; 【解析】 , 令,则,且 , (换元,注意 的取值范围) 易知在 上单调递增, . 故所求函数的值域为 . 7 (2) . 【解析】 , 而函数在上单调递增, , ,且 . 故所求函数的值域为 . 8 专题2 函数性质的综合应用 例4 (2024 浙江省湖州市期中)函数是奇函数,且当 时, 函数单调递增,若,则不等式 的解集为_ _. 或} 9 【解析】因为是奇函数,且,在 上单调递增,所以 ,且在 上单调递增. 所以不等式 可化为 或 即或 , 解得或 . 所以原不等式的解集是或 }. 例5 (2024 上海市浦东新区期中)设,,是定义域为 的三个函数,对于 下面两个说法:,,均是增函数,则 , ,中至少有一个增函数;②若,, 均是 以为周期的函数,则,,均是以 为周期的函数.下列判断正确的是 ( ) D A.①和②均正确 B.①和②均不正确 C.①正确,②不正确 D.①不正确,②正确 11 【解析】①不正确.可举反例: 满足, , 均为增函数,但,, 都不是增函数,故①不正确. ②正确., , ,前两式作差可得 ,结合第三式可得 , ,同理可得 ,因此②正确. 12 例6 (2021 全国甲卷)设函数的定义域为,为奇函数, 为偶函 数,当时,.若,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由于为奇函数,所以函数的图象关于点 对称,即有 ,所以,得,即 ①. 由于为偶函数,所以函数的图象关于直线 对称,即有 ,所以 ②. 根据①②可得,,所以当时, . 根据函数的图象关于直线对称,且关于点对称,可得函数 的周期 为4,所以 . 13 例7 (2022 新高考全国 卷)已知函数的定义域为 ,且 ,,则 ( ) A A. B. C.0 D.1 14 【解析】因为,所以在中,令 ,得 ,所以 ①,所以 ②. 由①②相加,得,故 ,所以 ,所以,所以函数 的一个周期为6. 在中,令,,得 , 所以 ; 令,,得,所以 . 由,得, , , ,所以 , 根据函数的周期性知, . 15 例8 已知定义在上的奇函数满足,且在区间 上单调递增, 则( ) D A. B. C. D. 【解析】满足 , , 函数是以8为周期的周期函数,则 , , . 又是定义在上的奇函数,且满足 , . 在区间上单调递增,在 上是奇函数, 在区间 上单调递增, ,即 . 16 专题3 图表型应用问题 例9 (2024 湖北省武汉六中月考)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进 行分时计价.该地区的电网销售电价表如下: 17 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量(单位:千瓦 时) 高峰电价(单位:元/(千瓦 时)) 50及以下的部分 0.568 超过50不超过200的部分 0.598 超过200的部分 0.668 低谷时间段用电价格表 低谷月用电量(单位:千瓦 时) 低谷电价(单位:元/(千瓦 时)) 50及以下的部分 0.288 超过50不超过200的部分 0.318 超过200的部分 0.388 18 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦 时,低谷时间段用电量为100千瓦 时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为_元.(用数字作答) 148.4 【解析】高峰时间段电费为 (元). 低谷时间段电费为 (元). 故该家庭5月应付的电费为 (元). (解决本题的关键是明确表格所表示的意义,表格中超过50不超过200的部分是指高 峰时间段(低谷时间段)用电量减去50的部分) 19 图3-4 例10 (北京高考题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 汽油行驶的里程.图3-4描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同 速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( ) D A.消耗汽油,乙车最多可行驶 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油 最多 C.甲车以的速度行驶,消耗 汽油 D.某城市机动车最高限速 .相同条件下,在该市 用丙车比用乙车更省油 20 【解析】对于A选项,从图中可以看出当乙车的行驶速度大于 时的燃油效率 大于,故乙车消耗汽油的行驶路程可大于 ,所以A错误. 对于B选项,由图可知甲车消耗汽油最少,所以B错误.对于C选项,甲车以 的 速度行驶时的燃油效率为,故行驶甲车跑的路程为,消耗 汽油, 所以C错误. 对于D选项,当最高限速为 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效 率,故用丙车比用乙车更省油,所以D正确. 21 命题点1 求函数的值或最值 例11 (2023 全国高中数学联赛四川赛区预赛)已知是定义在 上的函数,且对任 意实数,均有,则 的值为_. 22 【解析】对任意实数,均有 , 令可得 , 令可得 , 联立可得: . 对于 , 令,有 , 而,则有 , 再令,有 , 可得 . 23 例12 (2022 北京大学强基计划)已知是二次函数, ,且 ,则 _. 36 24 【解析】由,可设 . 则由得 , 所以且,整理后即为 ①; 由得 , 若即,则必有且,即 ,此时与 矛盾, 所以且 , 整理后为 ②. 由①②相加即得 , 25 即,所以 , 所以 . 又在原不等式中令可得,所以,由此解得 . 所以, . 例13 (2021 全国高中数学联赛A卷)设函数满足:对任意非零实数 ,均有 ,则在 上的最小值为. 【答案】 【解析】令,2,分别得与 ,解得 ,,从而对,有 . 当时,,当且仅当 时等号成立. 所以在上的最小值为 . 27 命题点2 函数单调性的应用 例14 (2022 全国高中数学联赛一试A卷)设函数 ,其中实 数.若的值域为,则 的取值范围是. 【答案】 【解析】设函数(当时, . 由于在上单调递减,在上单调递增,且注意到 , ,,故所求的取值范围是 . 28 例15 (2021 全国高中数学联赛吉林赛区预赛)已知函数 若 ,不等式恒成立,则实数 的取值范围是( ) D A., B. C., D. 【解析】画出图象(图略),可知函数在上单调递减,且 , 所以,则,得 . 又,所以,解得 . 29 例16 (2022 全国高中数学联赛四川赛区预赛)已知函数在 上单调递减, 对任意,均有,记, , 则函数 的最小值为_. 30 【解析】设,则 , 又, , 在上单调递减, , 得,得 , 得或 (不合题意), . 当且仅当时“ ”成立. 则函数 的最小值为3. 31 命题点3 函数奇偶性的应用 例17 (2021 全国高中数学联赛卷)已知函数是定义在 上的奇函数, ,,则 . 【答案】 【解析】 , . 32 例18 (2022 全国高中数学联赛一试卷)设函数的定义域为,且当 时, (其中为实数).若为奇函数,则不等式 的解集为. 【答案】 . 【解析】由条件知,故 . 当时,由,解得 . 当时,等价于,即,即 ,解得 . 综上,不等式的解集为 . 33 例19 (2022 全国高中数学联赛贵州赛区预赛)函数 图 象的对称中心为,则 _. 1 34 【解析】 . 设 , 则 , 是奇函数, 即,所以的图象关于点 对称, . 35 命题点4 函数性质的综合应用 例20 (2022 上海交大强基测试)已知偶函数满足 ,则 _. 0 【解析】令,则 , 又,所以,于是,所以的周期 , . 36 例21 (2021 全国高中数学联赛重庆赛区预赛)已知函数为上的奇函数,当 时,,则不等式 的解集为_ _. 【解析】由函数为奇函数,可知不等式等价于 , 当时,,单调递增,又为上的奇函数,所以函数 为增 函数,上式等价于 . 当时,由,解得;当时, , ,则,则 恒成立. 综上可得 . 37 命题点5 恒成立问题 例22 (2022 全国高中数学联赛吉林赛区预赛)设,不等式 恒成立,则实数 的最大值为_. 3 【解析】 , 故只需 . 因为 , 令,则,再令,在上单调递增,故当 ,即 时, 取最小值3, 所以, 的最大值为3. 38 例23 (2022 全国高中数学联赛山东赛区初赛)已知函数满足对任意实数, 有 .求证:对于任意实数,均有 . 【解析】取实数,满足,即,令 ,则 ,,依题意有 . 令,,化简得 , 由知,存在实数,使,,即对任意实数 ,有 . 39 例24 (2022 全国高中数学联赛福建赛区初赛)如果对任意的整数, ,不等式 恒成立,求最大常数 . 【解析】当时,有,因此 . 下面证明不等式对任意整数, 均成立. 设,则,由二次函数的性质知,当 时, ; 当时, . 所以当或时,恒有 . 40 当或时,对任意 恒有 . 又当时, 对任意 整数成立,所以对任意整数,, 恒成立. 因此,不等式对任意整数, 均成立. 综上所述, 的最大值为3. 感谢观看 $$