3.1.1 函数的概念 课件-2025届高三数学一轮复习

第三章 函数的概念与性质 3.1.1 函数的概念 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 必备知识解读 知识点1 函数的概念 例1-1 ［多选题］下列对应关系是集合到集合 的函数的为( ) BC A.，， B.，， C.，， D.，2，，，5， ，对应关系如图3.1.1-1所示 图3.1.1-1 2 【解析】A不是,集合A中的元素0在集合B中没有对应的元素. B是,对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系 ，在集合B中都有 唯一一个确定的整数 与之对应. C是,对于集合A中任意一个实数，按照对应关系 ，在集合B中都有唯 一一个确定的数0和它对应. D不是,集合A中的元素3在集合B中没有对应的元素，且A中的元素2在集合B中有5和 6两个元素与之对应. 3 例1-2 ［多选题］下列函数中，定义域和值域都是 的是( ) AD A. B. C. D. 【解析】与都为一次函数，它们的定义域和值域都为 ；B中为二次 函数，定义域为，且,所以其值域为 ；C 中为反比例函数，定义域是，值域是，都不是 . 4 例1-3 (2024·山东省济宁市期中)下列各组函数表示同一个函数的是( ) B A., B., C., D., 【解析】 选项 思维过程 结论 A 的定义域为，的定义域为 ，定 义域不相同 不是同一个函数 B 定义域和对应关系都相同 是同一个函数 C 的定义域为，的定义域为 ，定 义域不相同 不是同一个函数 D 定义域相同，但对应关系不同 不是同一个函数 5 知识点2 区间 例2-4 用区间表示下列数集： （1） ________; （2） ______; （3）且 _________________; （4） _________; （5） _________________. 6 例2-5 已知集合,集合的右端点为3，全集 ， 则 ______． 【解析】由已知得，解得 , . ， （如图3.1.1-2所示）． 图3.1.1-2 7 知识点3 抽象函数与复合函数 例3-6 下列函数中，是复合函数的是( ) B A. B. C.为常数) D. 【解析】B中函数是由和 两个函数复合而成的，是复合函数． 8 例3-7 (2024·湖北省宜昌市期中)函数的定义域为 ，且对定义域内的任意 ,，都有，若，则 的值为( ) C A. B. C. D.2 【解析】根据题意，令（联想2与 的关系）， 由 ， 得 ， 即，因为，所以 . 9 关键能力构建 题型1 求函数值 例8 已知， . （1）求和 ； 【解析】， . （2）求, ； 【解析】 , . 10 （3）若,求 . 【解析】,即 ， 解得 . 例9 (2024·辽宁省锦州市月考)已知函数对任意正实数, ，都有 . （1）求 的值； 【解析】令,，得，解得 . 11 （2）若,,为常数)，求 的值. 【解析】方法1 令，得 . 令，得 . 令,，得 . 方法2 因为 ，所以 . 12 题型2 函数的定义域问题 例10 求下列函数的定义域: （1） ; 【解析】要使函数式有意义，则即所以 ，从而函数的定 义域为 . （2） ； 【解析】因为当,即时, （在求定义域时，该式不能化简）有意 义,所以 函数的定义域是,也可直接写为 . 13 （3） ; 【解析】要使函数有意义，则且,解得且 ，所以函数的 定义域为 . （4） ; 【解析】要使函数有意义，则且，即且 ， 所以函数的定义域是且 . （5） . 【解析】要使函数有意义，则，解得 , 则函数的定义域是 . 14 【学会了吗|变式题】 1.(2024·河南省驻马店市期中)函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. 【解析】要使有意义，则有解得且 ， 故所求函数的定义域为 . 15 图3.1.1-3 例11 如图3.1.1-3所示，用长为1的铁丝做一个下部为矩形、上部为 半圆的框架，若半圆的半径为,求此框架围成的面积与 的函数. 【解析】由图可知,的长为 , 于是 , ,即 . 由解得 , 此函数的定义域为 . 故所求的函数为， . 16 例12 (2024·天津市部分区期末)已知函数,则函数 的 定义域为( ) A A. B. C. D. 【解析】由,解得 , 即函数的定义域为 . 由,解得 , 则函数的定义域为 . 17 例13 (2024·福建省福州市期末)已知函数的定义域为，则函数 的 定义域为( ) A A. B. C. D. 【解析】 函数的定义域为，，可得 ， （注意的定义域并非 的范围） 函数的定义域为 . 18 例14 (2024·山东省青岛三十九中期中)已知的定义域为，则 的定义域是( ) B A. B. C. D. 【解析】的定义域为，即 ， ， 则在中, ， 解得 ， 故函数的定义域为 . 19 【学会了吗|变式题】 2.(2024·湖南省长沙市期末)已知函数，则函数 的定 义域为( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意可知，函数的定义域为 ，在函数 中, 即，故函数的定义域为 . 20 3.(2024·福建省莆田二十五中期末)已知函数的定义域为 ，则函数 的定义域为( ) A A. B. C. D. 【解析】 函数的定义域为，,即 .对于 函数，则解得，即函数 的定义域为 ． 21 例15 (2024·河北省保定一中段考)若函数的定义域为，则实数 的取 值范围是______. 【解析】 函数的定义域为 ， 恒成立， 当时， 恒成立，满足题意； 当时，解得 . 综上，实数的取值范围是 . 22 题型3 求函数的值域 例16 求下列函数的值域： （1）, ； 【解析】（观察法） 由，分别代入求值，可得函数的值域为 . 23 （2）, ； 【解析】（配方法）,由 ,再结合函数的图象 （如图3.1.1-4），可得函数的值域为 . 图3.1.1-4 24 （3） ； 【解析】方法1 （分离常数法），因为 ，所以 ，所以 . 故函数的值域为 . 方法2 （反表示法） 易得,且 , 由得,即,所以 . 故函数的值域为 . 25 （4） ; 【解析】（换元法） 设，则，且 ， 所以 ， 由，再结合函数的图象（如图 3.1.1-5），可得函数的值域为 . 图3.1.1-5 26 （5） ； 【解析】方法1 （直接配凑） 因为 ，所以 ，当且 仅当，即 时，等号成立. 故函数的值域为 . 方法2 （换元法） 令，则 ， 所以，当且仅当 ， ，即 时取等号． 故函数的值域为 . 27 （6） ; 【解析】（基本不等式法） 因为，所以 ， 令 ， 则 ， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以， ， 故函数的值域为 . 28 （7） . 【解析】（判别式法） 由可知 , 整理得 . 当 时，方程无解； 当时，，即 ． 故所求函数的值域为 ． 29 【学会了吗|变式题】 4.(2024·山西省长治市上党好教育联盟期末)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠 基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用 表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，， . 已知函数,则函数 的值域为( ) A A. B. C.， D.，1， 30 【解析】当时， ， 当时，，则 ， 则 ， 当时， ， 则，则 . 综上可得，函数的值域为 ．故选A． 31 5.(2024·安徽省合肥市期末)函数 的值域为________. 【解析】函数 ， 令 , 当时，可得 . 当时，可得 , 当时，可得，当且仅当时取等号,则 ; 当时，可得，当且仅当 时取等号,则 ． 故函数的值域为 ． 32 习题课 A 基础练 知识测评 1.(2024·河北省石家庄市期末)函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. 【解析】若函数有意义，需满足，且，即 ，且 ，即函数的定义域为 ． 33 2.下列函数中，值域为 的是( ) A A. B.， C.， D.， 【解析】对于A，由二次函数性质可知，，所以 ，则 函数的值域为，A正确；对于B，因为，所以 ，则函数 的值域为，故B错误；对于C，， ，则该 函数的值域为，故C错误；对于D，举反例： ，所以该 函数的值域不为 ，故D错误． 34 3.(2024·辽宁省大连市期中)若函数的定义域为，则函数 的定义域是( ) C A. B. C. D. 【解析】因为函数的定义域为，所以 ，则 ，所以函数的定义域是 ．故选C． 35 4.［多选题］(2024·黑龙江省哈尔滨三中期中)已知集合，1，2，， ， 2，4，，下列四个对应关系能构成从到 的函数的是( ) AB A. B. C. D. 【解析】对于A，任取，总有 ，故A正确； 对于B，任取，总有 ，故B正确； 对于C，当时， ，故C错误； 对于D，当时，，故D错误.故选 ． 36 5.［多选题］(2024·河北名校强基联盟期中)中文“函数”一词，最早是由近代数学家李 善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼 之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化.下列选项中是同一个函数 的是( ) CD A.与 B.与 C.与 D.与 37 【解析】对于A，的定义域为，的定义域为 ，两函数 的定义域不同，不是同一个函数；对于B，的定义域为 ， 的定义域为或 ，两函数的定义域不同，不是同一个函数； 对于C，的定义域为，的定义域为 ，两函数的定义域相同， 对应关系也相同，是同一个函数；对于D，与 两函数 的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数．故选 ． 38 6.(2022·北京)函数 的定义域是_______________. 【解析】因为，所以,，解得 . 39 7.已知函数 ． （1）求，， ． 【答案】， ， ， . （2）若，求 的值． 【答案】，即 ， ，解得或 ． 40 8.（1）求函数 的值域； 【答案】， ， ， 即函数的值域为 }． 41 （2）求函数 的值域； 【答案】， ， 当时，，当且仅当 时等号成立； 当时，，当且仅当 时 等号成立． 故函数值域为 . 42 （3）求函数 的值域． 【答案】令，，则 ， 则， ， 当 时，函数取得最大值,为2， 故函数的值域是 ． 43 B 综合练 高考模拟 9.(2024·江苏省启东市期中)设函数满足和 ，且 ，则 ( ) C A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025 44 【解析】， ， ， . 在中，令可得， ， 即，又，则 ， 即 ， . 45 10.［多选题］(2024·河北省石家庄市国杰学校月考)已知定义域为的函数 ，若 对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域 上的“有 界函数”．则下列函数中是“有界函数”的是( ) BC A. B. C. D. 46 【解析】选项A：因为，，所以对任意，不存在正数 ， 使得，故不是“有界函数”.选项B：由 得 ，，所以对任意 ，存 在正数，都有成立，故 是“有界函数”. 选项C：，由得，所以对任意 ，存在正数 ，都有成立，故是“有界函数”.选项D： ， ，所以对任意，不存在正数，使得 ，故 不是“有界函数”．故选 ． 47 11.已知函数，，且存在函数， 满足： ，.学生甲认为函数， 一定是同一个函数， 乙认为函数，一定不是同一个函数，丙认为函数， 不一定是同一 个函数.观点正确的学生是____. 甲 48 【解析】要使有意义,则解得，即的定义域为 . 要使有意义，则解得 ， 所以的定义域为 . ， 由得 ， 则函数，的定义域相同，对应关系相同，故函数， 是同一个函数， 故观点正确的学生是甲． 49 12.(2024·辽宁省沈阳120中学质检)已知函数 的定义域为 ，则 的最大值是__. 【解析】因为函数的定义域为 ， 所以， 恒成立， 所以，，即， ， 令 ， 令，则 ，当且仅当 ，即，, 时，等号成立， 所以的最大值是 ． 50 图3.1.1-1 13.如图3.1.1-1所示,从边长为 的正方形铁片的四 个角各截去一个边长为 的正方形,然后折成一个无 盖的长方体盒子,要求长方体的高 与底面正方形边 长的比值不超过正常数,试把铁盒的容积 表示为 关于 的函数,并求出其定义域. 【答案】依题意，知长方体盒子的高为 ，则底面 正方形的边长为,所以 . 因为所以 因为,所以 . 故铁盒的容积,定义域为 }. 51 14.(2024·陕西省西安市月考)已知函数 ． （1）求与，与 . 【答案】 函数 ， ,,, . （2）猜想与 有什么关系？并证明你的猜想. 【答案】猜想 ，证明如下： ． 52 （3）求 的值． 【答案】 ， ． 53 C 培优练 能力提升 15.设定义在上的函数的值域为，若集合为有限集，且对任意, ，存 在使得，则满足条件的集合 有( ) B A.3个 B.5个 C.7个 D.无穷个 【解析】 对任意，，存在使得 ，且集合A为有 限集， 从集合A中取两个不同的数或同一个数取两次的积等于第三个数，这第三 个数也在集合A中． ①集合A中只有一个元素，则， ； ②集合A中有多个元素，则，，，，，0， . 综上所述,满足条件的集合A有5个． 54 感谢观看 $$