2.3-二次函数与一元二次方程、不等式 课件——2025届高三数学一轮复习

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 必备知识解读 知识点1 一元二次不等式及其解法 例1-1 解下列不等式： （1） ； 【解析】原不等式变形为,解方程,得, . 原不等式的解集为或 . （2） ； 【解析】原不等式变形为,显然 ,以上不等式恒成立， 原不等式的解集为 . 2 （3） . 【解析】原不等式变形为 . , 原不等式的解集为 . 3 知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 例2-2 解不等式： ． 图2.3-2 【解析】方法1，方程 的实根为 , . 函数的图象是开口向下的抛物线，与 轴交 于点和 （如图2.3-2所示）． 由图象得不等式的解集是或 . 方法2 在不等式两边同乘以，可得 ． 方程的实根为，,所以不等式的解集为 或 . 4 关键能力构建 题型1 解一元二次不等式 例3 解下列不等式： （1） ； 【解析】因为，所以方程 有两个不等 实根，.又二次函数 的图象开口向上，所以原不等 式的解集为或 . 5 （2） ； 【解析】因为，所以方程 有两 个不等实根，.又二次函数 的图象开口向 下，所以原不等式的解集为 }. （3） ； 【解析】原不等式可化为 ，所以原不等式的解集为 .（十字相乘法） （4） ； 【解析】原不等式可化为，所以原不等式的解集为 }. 6 （5） ； 【解析】原不等式可化为，因为 ，所以 方程无实根,又二次函数 的图象开口向上，所以原 不等式的解集为 . （6） . 【解析】原不等式可化为，因为 ，所以 方程无实根,又二次函数 的图象开口向上，所以原 不等式的解集为 . 7 【学会了吗|变式题】 1.(2024·江西省新余一中期中) 设集合，，则 ( ) C A. B. C.，， D.，1， 【解析】 ， ，，，， ， 则，， ． 8 2.(2024·辽宁省沈阳市期末)已知集合 ， ，则 ( ) C A.或 B.或 C.或 D.或 【解析】，则或 ， 或 ， 则或 ． 9 例4（1） 解关于的不等式： . 【解析】将不等式变形为 . 当，即或 时，不等式的解集为 （【会分类】根据与 的大小关系分类讨论） 或 ； 当，即或时,不等式的解集为 ； 当，即时，不等式的解集为或 . 10 （2）解关于的不等式: . 【解析】若，则原不等式为，故解集为 . （【明易错】不要忽略对二次项系数为0的讨论） 若， . ①若 ， 当,即时，方程的两根为, , 原不等式的解集为 ｝； 当，即时，原不等式的解集为 ； 当，即时，原不等式的解集为 . 11 ②若 ， 当,即时，原不等式的解集为或 ｝； 当,即时，原不等式可化为, 原不等式的解集为 ； 当，即时，原不等式的解集为 . 综上所述，当时，原不等式的解集为 ;（【会总结】在总结时，解集相同的 情况要注意合并） 当时，原不等式的解集为 ｝; 当时，原不等式的解集为 ; 当时，原不等式的解集为或 ｝; 当时，原不等式的解集为 ; 当时，原不等式的解集为 . 12 【学会了吗|变式题】 3.(2024·湖北省恩施州高中教育联盟期末)已知关于的不等式 恰有三个整数解，则实数 的取值范围是( ) D A.或 B.或 C.或 D.或 【解析】，由题意得 ， 当时，解得 , 若不等式恰有三个整数解，即为2，3，4，则 ; 当时，解得 ， 若不等式恰有三个整数解，即为，，0，则 ， 综上，的取值范围是或 . 13 4.［多选题］(2024·浙江省嘉兴市段考)关于的不等式 的解集可 能是( ) ACD A.或 B.或 C. D. 14 【解析】当时，原不等式的解集为 ； 当时，原不等式等价于 ， 若，则不等式的解为 ； 若，则不等式的解为 ； 若，则不等式化为，其解集为 . 当时，原不等式等价于，解得或 . 综上，当时，不等式的解集为 ； 当或时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为或．故选 ． 15 例5 解下列不等式： （1） ； 【解析】原不等式可化为，令 ， （【警示】注意换元后新元的范围） 则不等式可化为,解得 ， 又,,即, ． 故原不等式的解集为 }． 16 （2） ； 【解析】原不等式可化为，令 ，则不等式可化为 ,解得 , 又，,即, ． 故原不等式的解集为 ． 17 （3） ． 【解析】原不等式可化为，令 ，则不等式可化为 , 解得或 （舍去）, ,或 ． 故原不等式的解集为或 . 18 题型2 解分式不等式 例6 不等式 的解集为________________． 19 【解析】方法1 原不等式可化为 ， 即 ． 原不等式等价于 （【明易错】分母不为0，此处一定不要忽略 的限制） 即故 . 故原不等式的解集为 ． 方法2 原不等式可化为，即 ． 20 原不等式等价于或 解得 ． 故原不等式的解集为 ． 例7 不等式 的解集为________________________． 或 22 【解析】方法1 （不等式组法） 原不等式可化为 或 即或 解得或 . 故原不等式的解集为或 . 23 方法2 （列表法） 原不等式可化为 .列表如下. - - - - - - - - 由上表可知，原不等式的解集为或 ． 24 方法3 （穿根引线法） 方程 的根 为，， ． 将， ，4标在数轴上，然后用一条光滑的曲线从数轴右端的上方起，依次穿过 这些点，则不等式的解集即为曲线在数轴上方的部分对应的 的取值范围（如图 2.3- 3所示）． 图2.3-3 故原不等式的解集为或 . 25 题型3 三个“二次”之间的关系 例8 (2024·湖南省株洲市石峰区月考)不等式 的解集为 ，则函数 的图象大致为( ) C A. B. C. D. 26 【解析】因为的解集为，所以方程 的两根分别为和1，且 ， 前的系数为, 则变形可得 故函数 的图象开口向下，且与 轴的交点坐标为和 . 故C选项的图象符合. 27 例9（1） (2024·北京15中月考)若不等式的解集是 ， 则不等式 的解集是( ) C A. B. C.} D. 【解析】因为不等式的解集为 ， 所以方程的两实数根分别为和3，且 ， 所以解得 代入不等式，得 ， 即，解得 ， 所以不等式的解集为 }． 28 （2）(2024·河南省驻马店市期中)若不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为( ) A A. B.或 C. D.或 29 【解析】因为不等式的解集为 ， 所以且和2是方程 的解，（三个“二次”之间的关系） 由根与系数的关系知， 解得 所以不等式可化为 ，即 ，（之所以变号是因为 ，此处易错） 即，解得，所以不等式 的 解集为 ． 30 【学会了吗|变式题】 5.(2024·江苏省常熟中学调研)甲、乙分别解关于的不等式 ．甲抄错 了常数,得到解集为；乙抄错了常数,得到解集为 ．如 果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式解集应为( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意得,，所以， ，故原不等式为 ，解得．故所求解集为 . 31 6.［多选题］(2024·陕西省西安交大附中月考)已知关于的不等式 的解集为或 ，则下列说法正确的是( ) AC A. B.不等式的解集为 C.不等式的解集为或 } D. 32 【解析】 关于的不等式的解集为或 ， 二次函数的图象开口向上，即 ，选项A正确； 由题可知方程的两个实数根为 ，4， 解得 则等价于 ， 又，， 不等式的解集为 , 选项B错误； 33 不等式等价于，即 ，解得 或 ， 不等式的解集为或 ， 选项C正确； ， 选项D错误．故选 ． 题型4 一元二次不等式恒（能）成立问题 例10 (2024·广东省惠州市期中)若关于的不等式的解集是 ，则实 数 的取值范围是___________. } 【解析】因为关于的不等式的解集是 ，则不等式 的解集为 ，（【巧转化】转化为不等式恒成立问题） 则，解得，所以实数的取值范围为 }. 35 例11 若对任意实数,关于的不等式恒成立，则实数 的取值范围为________________. 【解析】（1）若，则 . （【明易错】此处易被忽略，当 时，所给不等式对应的方程并不是一元二 次方程） 当时，原不等式为，解集为,满足题意；当 时，原不等式为 ，解集为 },与题意不符. （2）若，即 ， 则当时，不等式的解集为，解得 . 综上，实数的取值范围是 . 36 【学会了吗|变式题】 7.(2024·湖北省武汉二中月考) “”是“， 是假命题”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 37 【解析】由“，是假命题”可得“ ， 是真命题”. 当，即时，不等式 恒成立； 当，即 时， 则满足解得 . 综上可得， . 又“”是“”的必要不充分条件，所以“”是“ ， 是假命题”的必要不充分条件. 38 例12 当时,不等式恒成立，则实数 的取值范围为___________. 【解析】方法1 当时,不等式 恒成立， 只需求出函数 的最小值，令最小值大于0即可. 二次函数的图象的对称轴为 . 当，即时，函数在处取得最小值,则, , . 当，即时，函数在处取得最小值 , ，解得, . 综上，实数的取值范围为 . 39 方法2 （分离参数法） , （利用分离参数法可避免分类讨论） 由得 . ,当且仅当 ， 即 时等号成立， 的最大值为 , . 故的取值范围为 . 40 例13 若关于的不等式在时有解，则实数 的取值范 围是( ) A A. B. C. D. 【解析】不等式在时有解，等价于当 时， . 图2.3-4 由二次函数 的图象（如图2.3-4所示）知，当 时，，所以 . 41 【学会了吗|变式题】 8.(2024·江苏省扬州市期初)若对于任意的， 恒成立，则 实数 的取值范围为( ) D A. B. } C.或} D. } 42 【解析】本题即对于任意的 恒成立. 令, , 若, 恒成立； 当时，函数图象的对称轴为 , 若,当时最大，且 , 解得， ； 若,当时最大，且 , 解得， . 综上所述，实数的取值范围为 }. 43 9.(2024·四川省泸州市期末)设，若关于的不等式在 上有解，则 的取值范围为( ) B A. B. C.} D. } 44 【解析】方法1在上有解，即当 时,函数 的最小值小于或等于0. 二次函数图象的对称轴为 , 当，即时，，则 ，无解； 当，即时,,则，所以 ； 当，即时，，解得或 ， 所以 . 综上所述，的取值范围为 ，故选B. 方法2 （分离参数法） 转化可得在上有解，只需 ， 45 又，当且仅当时等号成立，所以 的取值范围为 ，故选B． 题型5 一元二次不等式的实际应用 例14 (2024·湖南省长沙市期末)若产品的总成本（万元）与产量 （台）之间的函数 关系式是 ，若每台产品的售价为25万元，则 生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是( ) C A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 【解析】由题意可得， ， 即 ， 解得（舍去）或 ． 若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是150台． 47 图2.3-5 例15 某单位在对一个长,宽 的矩形空地进行绿化，设计 方案初步确定为：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图 2.3-5所示．若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，求 花坛宽度 的取值范围． 【解析】由题意知绿草坪的长为,宽为 , 则绿草坪的面积为 ， 令，化简整理得 ，解 得或 ， 由题意知，所以不符合题意，舍去，所以 ， 故花坛宽度的取值范围为 ． 48 【学会了吗|变式题】 10.(2024·广东省梅州市期中)某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若 按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使 这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价 （单位：元）的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意可知，，即 ，解得 ，又每盏最低售价为15元， 所求取值范围为 ． 49 核心素养聚焦 考向 一元二次不等式的解法 例16（1） (2023· 新课标Ⅰ卷)已知集合,,0,1,， ， 则 ( ) C A.,,0, B. C. D. 【解析】因为或，所以 . 50 （2）(全国Ⅰ卷)已知集合,,1,3,,则 ( ) D A.， B.， C.， D.， 【解析】由，得，即集合 ，又集合 ,1,3,，所以 . 51 高考新题型专练 1.［多选题］(2024·安徽省宿州市示范高中期末)已知关于 的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的是( ) BCD A. B. C.不等式的解集为或 } D. 的最小值为6 52 【解析】 不等式的解集为， ,故A错误； ,,即,,且 ， ，故B正确； 可化为，即 ，故不等式的解集 为或 ，故C正确； ，当且仅当 时，等号成立，故D正确. 故选 ． 53 2.［多选题］(2024·湖南省常德市汉寿一中期末)设集合 ， ，下列说法正确的有( ) ABD A.当，若中恰有一个整数，则 } B.若 ，则 C.若，则 D.，有 54 【解析】或 ， }. 当，若中恰有一个整数，则，解得 ，故A正 确； 若 ，则解得 ，故B正确； 若，则 无解，故C错误； 由或知，，，故D正确．故选 ． 55 习题课 A 基础练 知识测评 1.(2024·河南省郑州市月考)设集合， ，则 ( ) D A. B.或 C. D.或 【解析】易得集合或，结合数轴，可得 或 . 56 2.(2024·湖南省株洲二中期末)不等式 成立的一个必要不充分条件是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】解不等式得，，因为要寻找不等式 成立 的一个必要不充分条件，所以 是所求不等式对应集合的子集，结合选 项可知只有C符合． 57 3.(2024·广东省茂名市一中期中)不等式 的解集是( ) B A. B. C.或} D. } 【解析】不等式，即，则，且 ，解得 ，则原不等式的解集为 ． 58 4.(2024·浙江省玉环市玉城中学入学考试)若关于的一元二次不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是( ) B A.或 B. C.或 D. 【解析】关于的一元二次不等式的解集为 ，则 ，解 得，所以实数的取值范围是 ． 59 5.［多选题］(2024·上海市交大附中月考)对于给定的实数 ,不等式 的解集可能是( ) AB A.} B. C. D. 【解析】当时，不等式可化为，解得 . 当时，原不等式可化为 ， 当时，解得 ; 当时，解得或 ; 当时，解得 ; 当时，解得或．故选 ． 60 6.［多选题］(2024·湖南省长沙市长郡中学期末)已知关于 的不等式 的解集为或 ，则( ) BC A. B.不等式的解集为 C. D.不等式的解集为 } 61 【解析】 关于的不等式的解集为或， 且 和3是方程 的解， 即, ,故选项A错误； 不等式可化为，故不等式的解集为 ，故选项 B正确； ，故选项C正确； ，，即，解集为 ，故选项D错 误.故选 ． 62 7.(2024·山东省青岛海军中学月考)已知关于的不等式 ． （1）当时，解关于 的不等式； 【答案】由题意得,当时， ，解得 . 故当时，关于的不等式的解集为 ． 63 （2）当时，解关于 的不等式． 【答案】当时，不等式可化为 ， 的根为， . ①当时，， 不等式解集为 ， ②当时，， 不等式解集为 ， ③当时，， 不等式解集为 ， 综上，当时，不等式解集为 ； 当时，不等式解集为 ； 当时，不等式解集为 ． 64 8.(2024·江苏省启东市东南中学期中)已知不等式的解集为 或 ． （1）求, 的值. 【答案】不等式的解集为或 ， 所以1和是方程 的实数根， 方程可化为 ， 由根与系数的关系知，解得 65 （2）为何值时，的解集为 ？ 【答案】不等式为 ， 令，解得 ， 所以当时，不等式的解集为 . 66 （3）解不等式 ． 【答案】不等式为 ， 即 . 当时，解不等式得 , 当时，不等式 ，不成立， 当时，解不等式得 . 综上所述，当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ． 67 B 综合练 高考模拟 9.(2024·广东省梅州市虎山中学期中)已知关于的不等式 的解集为 ，其中，则 的最小值为( ) C A. B.1 C.2 D.8 【解析】关于的不等式的解集为，其中 ， 所以和是方程的实数根，由根与系数的关系知 解得，，所以，当且仅当 ，即 时取“”，所以 的最小值为2． 68 10.［多选题］(2024·山东省青岛一中月考)已知关于 的不等式 的解集是，其中 ，则下列结论中正确 的是( ) ACD A. B. C. D. 【解析】由题意得，且，是一元二次方程 ,即 的解，所以， ，所以 ， ，选项A,D正确．因为 ，所以选项C正 确．由方程的解是和1，因为不等式 的解集为，数形结合可知 ，选项B错误．故选 ． 69 11.(2024·江苏省淮阴中学期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享 有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名 的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如 ， ，，则关于的不等式 的解集为________________． 【解析】不等式可化为，解得 ， 即，所以不等式的解集为 ． 70 12.已知不等式的解集非空，则实数 的取值范围是 _ ____________. } 【解析】当，即时，原不等式可化为，解得 ,满足 题意； 当，即时，不等式 的解集非空，只需 ，解得 ； 当，即时，不等式 解集非空一定成立. 综上，实数的取值范围为 }． 71 13.(2024·湖北省襄阳五中月考)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． （1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使年销售收入 不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？ 【答案】设每件定价为元，则 ， 整理得，解得 . 故要使该商品的年销售收入不低于原收入，每件定价最多为40元. 72 （2）为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术 革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入 万元作为技改费 用，投入50万元作为固定宣传费用. 试问：该商品明年的销售量 至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于 原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价． 【答案】由题意得，当时， 有解，等价于当 时， 有解， 又，当且仅当，即时等号成立， . 故当该商品明年的销售量 至少达到10万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收 入与总投入之和，此时每件商品的定价为30元． 73 感谢观看 $$