1.3集合的基本运算课件-2025届高三数学一轮复习

第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算 2025年高考数学一轮基础知识复习 1 必备知识解读 知识点1 并集 例1-1 ［教材改编P10例1］(2024·四川省德阳市期末)集合，0， ，集合 ，2，，则集合 ( ) D A.， B.，0，1， C.，0，2， D.，0，1，2， 【解析】由题意知，，0，1，2， ． 2 例1-2 ［教材改编P10例2］(2024·黑龙江省绥化市肇东四中期末)设集合 ,，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】在数轴上表示出集合A,B，如图1.3-5所示，则 . 图1.3-5 3 知识点2 交集 例2-3 ［教材改编P12 T1］(2024·北京市海淀区期中)已知集合 ，0，1，2， ，，，1，3，，则 ( ) C A.， B.，1， C.，1， D.，0，1，2，3， 【解析】由题意可知，找到集合A，B中的公共元素 ，1，3， 可知，1， ． 4 例2-4 (2024·安徽省合肥市期中)已知集合, , 则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】在数轴上表示出集合， ,如图1.3-6所示， 图1.3-6 由图知 . 5 知识点3 全集与补集 例3-5 ［教材改编P13例5］(2024·湖南省永州市期末)设集合，1,2,3,4, , ,3，,则 ( ) C A. B. C.，2, D.,1，2,3,4， 【解析】因为集合,，3,，所以 . 6 例3-6 (2024·北京市东城区期末)若全集 ，则集合 的补集 为( ) C A. B. C. D. 【解析】借助数轴（如图1.3-7）易得 . 图1.3-7 7 知识点4 德·摩根定律与容斥原理 例4-7 ［教材改编P13 T1］(2024·河南省部分学校质检)设集合,2，3,4，5, ， ，2，,，4，，则 ( ) D A.，3，4， B.，2，4，5， C. D. 【解析】方法1，5， ， ，2，，故 . 方法2 根据题意易得,故 . 8 例4-8 为了解某市市民在阅读报纸方面的情况，某单位调查了500位市民，调查结果 显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两种都订的有150人 （假定只有这两种报纸）.则至少订一种报纸的有_____人，有____人不订报纸. 481 19 9 【解析】方法1 设是调查的500位市民，是订阅日报的人 ， 是订阅晚报的人，则,, . 是至少订一种报纸的人 ， 则 . 是不订报纸的人 ， 则 . 10 方法2 设不订报纸的有 人，如图1.3-8所示， 图1.3-8 则由图可得，，解得 , ,则至少订一种报纸的有481人. 11 关键能力构建 题型1 集合间的运算 例9（1） (2024·天津市宁河区期末)设集合，，，0，， ， 0，，，则 ( ) D A. B.， C.，， D.，，0， 【解析】由题易得， ， 则，，0， ． 12 （2）(2024·山东省滨州市期末)设全集，，0，1，2，3， ，集合 ，，，则 ( ) A A.，2， B.，，2， C.，，0，2， D. 【解析】集合，0，1，2，3，，所以 ， 则，2， ． 13 例10 ［教材改编P14 T4］已知全集，集合 , ，求,,, . 14 【解析】如图1.3-9，在数轴上表示集合，， . 图1.3-9 易得, , 或 ， 或 . 或 ， , 或 . 15 例11 ［教材改编P14 T6］已知全集取不大于20的质数，，是 的两个 子集，且，，，，， ， 则集合________________， _________________． ，5，11， ，11，13， 【解析】全集取不大于20的质数，3，5，7，11，13，17， ， 由，，可知，，这说明元素2,17既不属于 ， 又不属于 ， 由，，可知元素3,5属于集合，但不属于集合 ， 由，，可知元素7,19属于集合，但不属于集合 ， 元素11,13既属于集合，又属于集合 ，检验可知符合题意. 16 画出 图，如图1.3-10所示. 图1.3-10 故由图可知，5，11，，，11，13， ． 17 【学会了吗|变式题】 1.(2024·浙江省杭州二中期末)已知全集，1，2，3，，集合，1， ， ，，则集合 ( ) C A. B. C. D. 【解析】方法1 因为，，1， ，所以A错误；因为 ，1，3，，所以B错误；因为，， ， 所以C正确；因为，1，，1，， ，所以D错误． 18 方法2 画出图，如图D 1.3-1所示， . 图D 1.3-1 19 2.(2024·湖南师大附中期末)已知全集为，集合，满足 ，则下列运算 结果为 的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 ，故A不符合题意； ，故B不符合题意；画出 图，如图D 1.3-2，， ，故C不符合题意，D符合题意． 图D 1.3-2 20 题型2 集合运算的参数问题 例12 (2024·北京市海淀区期中)若,,，,, ， ，则 ____. 【解析】由可知，则或，解得或 . （【明易错】必须检验集合元素是否满足互异性） ①当时， , 集合中元素不满足互异性，故舍去 ; ②当时，,,，,4, ，满足题意; ③当时，,9,，,,，此时， ，这与 矛盾，故舍去 . 综上可知， . 21 例13 (2024·广东省惠州市期中)设集合 , ,则使成立的实数 的取值集合为( ) C A. B. C. D. 【解析】由，得 ，则 （1）当 时，，解得 ； （【明易错】虽然集合A表示一个明确的不等式解集，但它仍有可能为空集，不能 漏解） （2）当 时，解得 . 综合（1）（2）可知,使成立的的取值集合为 . 22 例14 (2024·福建省福州屏东中学月考)设集合 ， ，全集，且 ，求实数 的取值范围为 ___________. 【解析】方法1 （直接法） 由 ，得 ， 因为， ， 结合数轴（如图1.3-11）得，即 ． 图1.3-11 所以实数的取值范围为 . 23 方法2 （转化法） 由 可知 . 又， ，结合数轴（如图1.3-12） 得，即 ． 图1.3-12 所以实数的取值范围为 . 24 【学会了吗|变式题】 3.(2024·天津市河西区新华中学)设集合 ， . 【答案】集合， . （1）若，求实数 的值; 【答案】，，将代入 中的方程， 得，或 . 当时，， ，满足条件； 当时， ，也满足条件. 综上可得，的值为或 . 25 （2）若，求实数 的取值范围； 【答案】， . 对于集合中的方程，当，即 时， ,满足条件； 当，即时， ,满足条件； 当，即时， 才满足条件， 即此时 值不存在. 综上可知，的取值范围是 ． 26 （3）若，，求实数 的取值范围. 【答案】,, . ①当，即时， ，满足条件; ②当,即时，, ，不满足条件； ③当,即时，此时只需且 即可, 将代入中的方程，得 ， 将代入中的方程，得 ， 且且 . 综上可知，的取值范围是或或 或 或 }. 27 题型3 补集思想的应用——正难则反 例15 若三个关于的方程， ， 中至少有一个方程有实根，则实数 的取值范围为_______________ ________． 或} 28 【解析】方法1 若方程 有实根， 则，解得 , 故方程有实根时的取值集合 }． 若有实根，则,解得 ， 故方程有实根时的取值集合 ． 若有实根，则,即，解得或 ， 故方程有实根时的取值集合或 ． 综上所述，满足题意的的取值范围是或 }. 29 方法2 设已知的三个方程都无实根，此时的取值范围为集合 ． 则解得 . }. 三个方程中至少有一个有实根的的取值范围为的补集，即 或 }． 30 【学会了吗|变式题】 4.已知集合或,，若 ，则实数 的取值范围为_________________________. 或} 31 【解析】已知或, ,我们不妨考虑当 时的取值范围，在数轴上表示出集合， ，如图D 1.3-3所示. 图D 1.3-3 由得 故或 ， 即 时，的取值范围为或 . 故 时，的取值范围为或 }. 32 题型4 集合运算中的创新型问题 图1.3-13 例16 (2024·河北省石家庄市期中)对于集合， ，定义 的运算结果为图1.3-13中阴影部分表示的集合，定义 .若， ， ，，则 ( ) C A. B. C.或 D.或 【解析】因为 ，所以 ， ， 所以或 . 33 例17 (2024·广东省佛山市期中)在，， 这 三个条件中任选一个，补充到下面问题中.若问题中的实数存在，求 的取值范围； 若问题中的实数 不存在，请说明理由. 已知集合，，是否存在实数 ，使得__ ______？ 34 【解析】选①. 或 ， 由 得， 当 时，，解得 ； 当 时，或 解得 . 综上，存在实数，使得，且的取值范围为或 . 选②. 35 或，由，得 ，所以 该不等式 组无实数解， 所以不存在实数，使得 . 选③. 由可知 ， 当 时，，解得 ； 当 时，解得 . 综上，存在实数，使得，且 的取值范围为 }. 例18 (2024·河南省开封市月考)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组， 每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15， 13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时 参加数学和化学小组的有___人． 8 37 【学会了吗|变式题】 5.［教材改编P35 T11］(2024·安徽省合肥一中期末)学校举办运动会时，高一（8） 班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣 味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有 4人，有2人同时参加三项比赛，则只参加趣味比赛一项的有___人． 6 38 【解析】因为同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，其中同时参加三项比赛的有2人， 所以有3人只参加田径与球类两项比赛， 同理有2人只参加田径与趣味两项比赛． 图D 1.3-4 因此，只参加田径比赛一项的有 （人），作 出 图，如图D 1.3-4所示， 设只参加趣味比赛的有人，只参加球类比赛的有 人，同时参 加趣味与球类两项比赛的有 人， 根据题意，可得解得 即只参加趣味比赛一项的有6人． 39 核心素养聚焦 考向1 集合间的基本运算 例19（1） (2023·全国乙卷)设集合,集合, , 则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】，所以 . 40 （2）(2023·天津)已知集合,,，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】因为,，所以,又 ，所以 . 41 （3）(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知集合，1，2，， ，则 ( ) B A., B. C. D., 【解析】由，得，解得 ， 所以，所以 ． 42 例20 (2023·全国甲卷)设全集，集合, , ，},则 ( ) A A.,} B., } C.,} D. 【解析】 ,,1,4,7,10,, ,,2,5,8,11,，所以 , ， ,1,2,4,5,7,8,10,11，,所以 ,,0,3,6,9, ，其元素都是3的倍数, 即, }. 43 考向2 由运算结果逆向求参 例21 (2020·全国Ⅰ卷)设集合， ，且 ，则 ( ) B A. B. C.2 D.4 【解析】 ， ， ，故，解得 . 44 考向3 集合运算的实际应用 例22 (2020·新高考全国Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 的学生喜 欢足球或游泳，的学生喜欢足球， 的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球 又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( ) C A. B. C. D. 【解析】假设全校有100人，设集合A表示喜欢足球的学生，则 ， 集合B表示喜欢游泳的学生， 则，则表示“喜欢足球或游泳的学生”， ， 所以“既喜欢足球又喜欢游泳的学生”是 ， ，即占该校学 生总数的比例是 . 45 高考新题型专练 1.［多选题］(2024·山东省青岛市期中)设集合 ， ，全集 ，下列说法正确的是( ) CD A. B. C. D. 【解析】，则， ，则 ，故，故C,D符合题意．故选 ． 46 2.［多选题］(2024·湖北省孝感市期中)中国古代重要的数学著作《孙子算经》中有 题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二，问 物几何？”现有如下表示：已知，， ， ，，.若 ，则下列选项中符合题意的 整数 为( ) BD A.8 B.128 C.37 D.23 47 【解析】对于A， ，故A错误; 对于B，，即，，即 ， ，即，故 ，故B正确; 对于C， ，故C错误; 对于D，，即，，即， ， 即，故 ,故D正确. 故选 ． 48 习题课 A 基础练 知识测评 建议时间：20分钟 1.(2024·陕西省宝鸡市期中)已知集合, ,那么集合 等于( ) C A. B.或 C. D. 49 【解析】在数轴上表示出两个集合，如图D 1.3-5所示，由图可知 .故选C. 图D 1.3-5 50 2.(2024·重庆市北山中学月考)设全集，，0，1， ，集合 ，，则 ( ) C A.，，1， B.，， C.， D. 【解析】，则，，，则 ， ，，1， ， ，，0，1，，， ．故选C. 51 图1.3-1 3.(2024·广东省湛江市期末)若集合，3，5， ， ，则图1.3-1中阴影部分表示的集合中的元素 个数为( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】，2，3，4，5，6，7，8， ，故题图中阴影部 分表示的集合为，4，6，8， ，共5个元素． 52 4.(2024·河南省南阳市期末)已知集合，2，3，4，， ， 记，且 ．则下列等式成立的是( ) C A. B. C.， D. 【解析】，4，3，，则 ，1，2，3，4， ，故A错误； ，4， ，故B错误； ， ，故C正确； ，故D错误．故选C． 53 5.(2024·江苏省徐州市期中)某校计划面向高一学生开设“科技与创新”“人文与阅读”两 类选修课.为了解学生对这两类选修课的兴趣，对高一某班共46名学生进行调查，发 现喜欢“科技与创新”类的学生有34名，喜欢“人文与阅读”类的学生有18名，两类均 不喜欢的有6名，则只喜欢“科技与创新”类选修课的学生人数为( ) B A.34 B.22 C.12 D.6 图D 1.3-6 【解析】设两类均喜欢的有 名， 则由题意结合图D 1.3-6可得， ，解得 ，故 ．故选B. 54 6.［多选题］(2024·山东省滨州市期中)已知全集 ， ，3，5，，，8，9， ，则下列选项正确的为 ( ) CD A.， B. 的子集的个数为1 024个 C.，1，3，4，5，6， D. 的非空真子集的个数为6 【解析】，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，又 ， 3，5，，，8，9， ， 所以，4，，，1，3，4，5，6，， 的子集的个数为 ，的子集的个数为，非空真子集的个数为 ，C，D 正确．故选 . 55 7.设，，若，则实数 ____. 【解析】，， , 又,,故 . 56 8.(2024·天津市第五十七中学月考)已知集合 ， ， ． （1）求 ； 【答案】由于或 ， 所以或 ． （2）若 ，求 的取值范围． 【答案】由于 ，所以 ， 即的取值范围是 ． 57 B 综合练 高考模拟 建议时间：20分钟 图1.3-2 9.(2024·广东省珠海市斗门一中段考)用图形直观表示集合的运算关 系，最早是由瑞士数学家欧拉所创，故将表示集合运算关系的图形 称为“欧拉图”，后来，英国逻辑学家约翰韦恩在“欧拉图”的基础上 创建了世人所熟知的“ 图”．则图1.3-2中的阴影部分表示的集 合为( ) D A. B. C. D. 【解析】由题图可知，阴影部分在集合A，B的公共部分，且不在集合C中，故图中 的阴影部分表示的集合为 ．故选D. 58 10.(2024·湖南省长沙市一中月考)若集合满足： ，若，则 ，则 称集合是一个“偶集合”．已知集合， ，那么下列集合 中为“偶集合”的是( ) D A. B. C. D. 【解析】，因为，但 ，故A错误； ，因为，但 ，故B错误； ，所以 ，不符合题意，故C错误； ，所以，满足若 ，则 ，所以 是一个“偶集合”，故D正确，故选D． 59 11.［多选题］(2024·安徽省六安市质检)已知为全集，则下列可以推出 的是 ( ) AB A. B. C. D. 【解析】由可得，可得 ，故A可以推出，而C不可以 推出；当 时，如图D 1.3-7（1）所示，；当 时，如 图D 1.3-7（2）所示， ，故B可以推出，D不可以推出.故选 . 图D 1.3-7 60 12.(2024·重庆市部分学校月考)已知，，，，，， 且 ，其中，若，， ，且 的所有元素之和为56，则 ___. 8 61 【解析】由，得， ， ，即，，，， ， （1）若，， ， 此时，，，即 ， ，，从而，， ， 则 ， 即，或，与 矛盾． 62 （2）若，则，, , ，即 ， ，，从而，， ， 由题意得，，即，或 ， 而与矛盾，， ， ，，，，， ， 将，，代入上式，得到 ， 解得或（舍去）， ． 63 13.(2024·重庆市期中)已知， ． （1）若，求 ； 【答案】当时，集合，又集合，，所以 64 （2）从,, 这三个条件中任选一个，补 充在下面横线上，并进行解答． 若____，求实数的所有取值构成的集合 . 【答案】选择①,由，得 ， 当时，集合 符合题意; 当时，集合，所以或，解得或 . 所以集合，1， }. 选择②,由，得 ， 以下做法同①. 选择③,因为 ，所以 ， 以下做法同①. 65 C 培优练 能力提升 14.［多选题］(2024·四川省成都七中月考)定义集合运算且 为集合与集合的差集；定义集合运算为集合 与集 合 的对称差，则下列结论正确的是( ) ABC A. B. C. D. 66 【解析】对于A， ，故 A正确； 对于B，且且 ，同 理，则 ， 所以 表示的集合如图1.3-8（1）中的阴 影部分区域所示,同理 也表示如图1.3-8 （1）阴影部分区域，所以 ，故B正确； 对于C， ，故C正确； 67 图D 1.3-8 对于D，如图1.3-8（2）所示, ， 故D错误．故选 ． 68 感谢观看 $$