12.3 角的平分线的性质 同步练习 2024--2025学年人教版八年级数学上册

12.3 角的平分线的性质 一、选择题： 1.到三角形三边距离相等的点是(    ) A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条高线的交点 C. 三条边的中线的交点 D. 三条角平分线的交点 2.如图，在中，，于点，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是(    ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 4.如图，是中的平分线，于点，，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 5.如图，点在内，且到三边的距离相等，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 6.如图，的三边，，的长分别为，，，是三条角平分线的交点，则等于(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是(    ) A. B. C. D. 8.如图，是中的平分线，于点若，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，，是的角平分线，于点，若，则的周长是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在和中，，，，连接，交于点，连接下列结论： ，，平分，平分其中正确的结论个数有个． A. B. C. D. 二、填空题： 11.如图，是的平分线，是上一点，于点，，则点到边的距离为____________． 12.如图，点在的平分线上，于点，点在上，若，，则______． 13.如图所示，在中，，平分，，，那么点 到直线 的距离是________________． 14.如图，，，若，，则到的距离为____． 15.如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是________． 16.如图，在中，，，平分交于点，于点，若的周长是，则的长为______． 17.如图，在中，，，的平分线交于点，，交的延长线于点，若，则______． 18.如图，已知钝角三角形的面积为，最长边，平分，点、分别是、上的动点，则的最小值为____． 三、解答题： 19.如图，是中的角平分线，于点，，，，求长． 20.已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，若， 求的度数； 写出与的数量关系______，并证明你的结论． 21.如图，点，分别在的两边上，点是内一点，，，垂足分别为，，且，求证：． 22.已知，如图，，，于点，于点，求证：． 23.已知，如图所示，与，与，且。 求证：≌； 点在的角平分线上。 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质；要对选项逐个验证．题目要求到三边的距离相等，观察四个选项看哪一个能够满足此要求，利用角的平分线的性质判断即可选项D是可选的． 【解答】 解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知： 三角形中到三边的距离相等的点是三条角平分线的交点． 故选D． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了角平分线的判定，直角三角形的性质． 利用角平分线的判定定理得到平分，则，然后利用互余计算的度数． 【解答】 解：，，， 平分， ， ． 故选C． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【解答】 解：观察图形可知点在的角平分线上，点到两边距离相等． 故选A 4.【答案】  【解析】解：作于，如图， 是中的平分线，，， ， ， ， ， 故选D． 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，作于，根据角平分线的性质得出，再利用三角形的面积等于，解答即可． 5.【答案】  【解析】解：到三边的距离相等， 平分，平分， ， ， ， ， 故选：． 由条件可知为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知，在中利用三角形的内角和定理可求得． 本题主要考查角平分线的定义和三角形内角和定理，掌握三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是，，，所以面积之比就是：：． 【解答】 解：过点作于，于，于， 点是内心， ， ：：：：：：：：：：， 故选C． 7.【答案】  【解析】解：如图，过点作于， ，， 是的角平分线，， ， 的面积． 故选：． 过点作于，先求出的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线得到边上的高是解题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据列出方程求解即可． 【解答】 解：如图，过点作于， 是中的角平分线，， ， 由图可知，， ， 解得． 故选B． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，关键是证明≌先利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求出，进而可得的周长． 【解答】 解：， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 所以，的周长为． 故选B． 10.【答案】  【解析】【分析】      本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 由证明≌得出，，正确； 由三角形的外角性质得：，得出，正确； 作于，于，则，由证明≌，得出，由角平分线的判定方法得出平分，正确； 假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得≌，得，而，所以，而，故错误；即可得出结论． 【解答】 解：， ， 即， 在和中，， ≌， ，，故正确； 由三角形的外角性质得： ， 得出，故正确； 作于，于，如图所示， 则， 在和中， ， ≌， ， 平分，故正确； 假设平分，则， 在与中， ≌， ， ， ， 而，故错误； 正确的个数有个； 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，过点作于点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【解答】 解：如图，过点作于点， 是的平分线，于， ， ， ， 即点到的距离是． 故答案为． 12.【答案】  【解析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线的性质求得的长，难度不大． 作于点，根据角平分线的性质求得的长，然后利用直角三角形中的直角边等于斜边的一半求解即可． 解：如图，作于点． 点在的平分线上，，， ． ， ． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了角平分线的性质；知道并利用是点到线段的距离是正确解答本题的关键．求点到线段的距离，由于在的平分线上，只要求出到的距离即可，由已知可用减去可得答案．  【解答】 解：， ， ， 到的距离为， 平分， 点到线段的距离为． 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等得到答案． 【解答】 解：作于， ，， ， ，，， ． 故答案为． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．作，由角平分线的性质知，再根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】 解：如图，过点作于点， 由作图知是的平分线， ，， ， ， ， 故答案为． 16.【答案】  【解析】解：，平分交于点，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 设，则，， 的周长是， ， 解得， ， ． 方法：：，平分交于点，于点， ，， 的周长． 故答案为：． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再判断出是等腰直角三角形，设，然后根据的周长列方程求出的值，再分别求解即可． 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形周长的定义，等腰直角三角形的判定与性质，根据三角形的周长列出方程是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：如图，延长、相交于点， 平分， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ． 故答案为：． 延长、相交于点，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，根据等角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求解即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形并得到与相等的线段． 18.【答案】  【解析】解：过点作于点，交于点，过点作于， 平分，于点，于， ， 的最小值． 三角形的面积为，， ， ． 即的最小值为． 故答案为． 过点作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目 19.【答案】解： 过作于， 是中的角平分线，于点，， ， ， ， ， ， 解得：．  【解析】过作于，根据角平分线性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 本题考查了角的平分线性质，三角形面积公式的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 20.【答案】解：，，， ． 是的角平分线， ． 为的外角， ． 是的高， ． ． 证明如下： 由知，   又． ， ．  【解析】先根据三角形内角和可得到，再根据角平分线与高线的定义得到，，则，然后利用计算即可． 根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系． 本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 21.【答案】证明：连接， ，，， ， 在和中 ， ≌，， ．  【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 根据，，，可知，然后根据证明≌即可证明结论． 22.【答案】证明：如图，连接， 在和中，， ≌， ， 又，， ．  【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键 连接，利用“边边边”证明和全等，然后根据全等三角形对应角相等可得，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可． 23.【答案】证明：， 在和中， ≌ 如图，连接， 由知，≌ 又 是的角平分线，即点在的平分线上。  【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质。常用的判定方法有：，，，，，做题时需灵活运用。 根据全等三角形的判定定理证得≌； 连接，利用中的≌，推知全等三角形的对应边因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点在的平分线上。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$