安徽省阜阳市第三中学2024-2025学年高二实验班竞培班上学期数学周考试卷（11月23日）

实验班竞培班周考数学试卷 一、单选题 1．等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．若直线经过两点，且其倾斜角为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 3．若双曲线的实半轴长、虚轴长、半焦距成等差数列，则这个双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．直线与圆交于、两点，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 5．已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．7 B． C．4 D． 6．希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的圆锥曲线为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 7．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，线段的中点为，过作线段的中垂线交轴于点，过两点分别作的准线的垂线，垂足分别为．线段的中点为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 8．已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图所示的几何体出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（   ） A． B． C． D． 10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 11．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有公共焦点，，与在第一象限的交点为，且，记，的离心率分别为，．下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．的最小值为1 D．记的内心为，的右顶点为，则轴 三、填空题 12．抛物线的焦点坐标为 . 13．已知是数列的前项和，，且对于任意，有，则 . 14．已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为； ②的取值范围为； ③不存在点，使得； ④的取值范围为. 则上述命题正确的序号是 ． 四、解答题 15．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)若的面积为，求的周长. 16．已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 17．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)已知椭圆的右顶点为，过作直线与椭圆交于另一点，且，求直线l的方程． 18．如图，圆柱的轴截面是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦交于点，其中． (1)证明：平面平面; (2)判断上底面圆周上是否存在点，使得二面角的余弦值为．若存在，求的长;若不存在，请说明理由． 19．设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足为线段的中点，且. （1）求椭圆的离心率； （2）若过、、三点的圆与直线相切，求椭圆的方程； （3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C A B A A BCD BD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】首先由等差数列的通项公式求出公差d，则可求. 【详解】设等差数列的公差为d， 则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 2．D 【分析】根据直线的斜率公式即可求解． 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，解得. 故选：D. 3．A 4．C 【分析】求出圆心到直线的距离及弦长即可求出三角形面积. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 则，所以的面积为. 故选：C 5．A 【分析】先根据根与系数之间的关系得到两根的和，再根据等差中项的概念可得到结果. 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴， ∵是的等差中项， ∴， 故选：A. 6．B 【分析】将方程转化为方程判断. 【详解】解：方程即为方程表示： 动点到定点的即可与到定直线的距离的比为5且大于1， 所以其轨迹为双曲线， 故选：B 7．A 【分析】设直线，与抛物线联立方程组，求得的坐标，可得到．进而求出的值． 【详解】 设直线，联立， 所以则， 得线段的中点为，即， 线段的中垂线方程为， 令，得．所以，所以， 又， 所以．又，所以四边形为平行四边形，因此，所以． 故选：A． 8．A 【分析】先根据，确定点轨迹，再由点轨迹与直线有公共点求参数的取值范围. 【详解】由题意可知:圆的圆心为，半径， 设中点为，则，且，可得， 又因为，可知为等腰直角三角形， 则，可得， 故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 因为直线上存在点使得， 即直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得或.    故选：A 9．BCD 【分析】由已知题意，探索的递推规律，由规律得通项，由此判断各选项. 【详解】由题意得，，，，，，故B正确； 而，，，，故C正确； 则，故A错误； ，故D正确. 故选：BCD. 10．ABD 【分析】根据题意，结合条件即可得到，即可判断AC，结合等差数列的求和公式即可判断B，再由，或时，；时，即可判断D, 【详解】根据题意：，即， 两式相加，解得：，当时，最大，故A错误 由，可得到，所以， ， 所以，故C错误； 由以上可得：， ，而， 当时，；当时，； 所以使得成立的最小自然数，故B正确. 当，或时，；当时，； 由， 所以中最小项为，故D正确. 故选：BD. 11．ABD 【分析】运用椭圆与双曲线的定义、离心率、焦点三角形等知识，通过利用椭圆和双曲线的定义以及勾股定理求出相关量，再根据离心率的定义对各选项进行判断. 【详解】对于选项A，根据椭圆定义，已知，， 则，所以. 根据双曲线定义，则， 所以. 因为，根据勾股定理，将， 代入得，即，，解得. 双曲线的离心率，因为，，所以，故选项A正确.   对于选项B，设，，由椭圆定义，由双曲线定义， 解得，. 因为，所以，即，化简得. 已知，设，，代入得，解得. 双曲线的离心率，故选项B正确.   对于选项C，由，则. 根据均值不等式，所以，当且仅当时取等号， ，椭圆和双曲线离心率不可能取等，故选项C错误.   对于选项D，设的内切圆半径为. 根据三角形面积公式，. 又，，可得，，. ，. 设，的横坐标为，（，为，的横坐标）， 因为，，，所以轴，选项D正确. 故选：ABD. 12．/(0,-0.03125) 【分析】写出抛物线标准形式，即可得焦点坐标. 【详解】由题设得：，则焦点坐标为. 故答案为： 13．550 【分析】分析可知数列是以首项和公差均为的等差数列，根据等差数列的求和公式以及性质运算求解即可. 【详解】因为对于任意，有， 令，则，即， 可知数列是以首项和公差均为的等差数列， 所以. 故答案为：550. 14．②③④ 【分析】分段化简方程画出图形，数形结合得到判断①；数形结合，结合椭圆性质判断②；由双曲线渐近线性质及图形判断③；利用的几何意义，结合三角换元得到求出取值范围判断④. 【详解】曲线化为， 画出图形如下，其中直线为曲线对应双曲线的渐近线，    对于①，当时，，①错误； 对于②，当时，；当时，， 当时，，因此的取值范围为，②正确； 对于③，直线与直线平行且在该直线左侧，曲线在直线的右侧， 因此直线与曲线无公共点，不存在点，使得，③正确； 对于④，表示点到直线的距离的倍， 又直线与直线平行且在该直线左侧，且距离为， 于是，随着的增大，值无限接近于， 当在上时，该点到直线的距离可取得最大值， 设，则到直线的距离为 ，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为，④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 15．(1) (2)15 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式求得，可求角； （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答． 【详解】（1）中，， 由正弦定理得， 又， 则有，由，， 则，得， 由，则，得. （2），则，由，得， 由余弦定理， 得，得， 所以的周长为. 16．(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到，再利用累加法，即可求出结果； （2）由（1）得，再利用数列是递增数列，得到对恒成立，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以为常数， 又，所以数列是公差为，首项为的等差数列. 所以， 当时，， 所以，又，所以，又，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，因为数列是递增数列， 所以，对恒成立， 得到对恒成立，所以. 17．(1) (2) 或. 【分析】（1）利用给的条件列方程求得的值，进而得到椭圆的标准方程； （2）联立圆与椭圆的方程，先求得点的坐标，进而得到表达式，再化简即可求得． 【详解】（1）由题可知，其中，所以, 又点在椭圆上，所以，即，解得， 所以椭圆E的方程为． （2）由椭圆的方程，得， 所以， 设，其中，因为， 所以， 又点在椭圆上，所以， 联立方程组，得， 解得或（舍）， 当时，，即或． 所以当的坐标为时，直线的方程为； 当的坐标为时，直线的方程为． 综上，直线的方程为或.    18．(1)证明见解析 (2)存在点，的长为． 【分析】（1）将面面垂直转化为平面，根据圆和圆柱的性质可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量可解. 【详解】（1）证明：由题意可知：在下底面圆中，为直径． 因为 所以为弦的中点，且． 因为平面． 所以平面． 因为平面． 所以平面平面． （2） 设平面交圆柱上底面于，交于点． 则二面角的大小就是二面角的大小． 分别以下底面垂直于的直线、为轴建立空间直角坐标系如图所示． 因为，底面圆半径为3，所以． 则，设． 所以， ．设平面的一个法向量为． 由得：即： 令则． 设平面的一个法向量为． 由得：即： 令可得 所以 化简得，解得：或(舍)． 即：．又因为平面平面，平面平面 所以，且为的中点． 所以． 所以存在点，使得二面角的余弦值为的长为． 19．（1）；（2）；（3）存在，且实数的取值范围是. 【分析】（1）设椭圆的焦距为，根据为线段的中点，求出点的坐标，然后由，可得出、、的等量关系，由此可计算出椭圆的离心率； （2）由（1）可知点，圆的半径为，利用点到直线的距离为求出的值，进而可得出与的值，由此可得出椭圆的标准方程； （3）由（2）可知，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据菱形的对角线相互垂直的性质可得，代入化简即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则、， 为线段的中点，则点，且点的坐标为， ，，，， 即，可得，因此，椭圆的离心率为； （2），的外接圆圆心为点，半径为， 由于直线与该圆相切，则，解得，则，， 因此，椭圆的标准方程为； （3）由（2）可知，设点、，直线的方程为， 当时，直线与轴重合，此时，、、三点共线，不合乎题意，则， 联立，消去，化简得， 由韦达定理得，， ，， ， 根据菱形对角线相互垂直的性质可得， ，即， 即，整理得. 综上所述，在轴上存在点使得以、为邻边的平行四边形是菱形，且实数的取值范围是. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、菱形的对角线的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 答案第2页，共13页 答案第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $$