安徽省阜阳市第三中学2024-2025学年高二上学期强基数学周考试卷

强基数学周考试题 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.已知数列的通项公式为若数列的前项和为，则取得最大值时的值为(    ) A. B. C. D. 3.已知是曲线：上一点，直线：经过点，且与曲线在点处的切线垂直，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 4. 高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ） A. 462 B. 465 C. 468 D. 475 5. 甲乙丙丁四个人站一排，甲不能在排头，乙不能在排尾，则不同的站法共有（ ） A.6种 B. 8种 C. 14种 D. 20种 6. 已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（ ） A. 是函数的最小值 B. 是函数极小值 C. 在区间上单调递增 D. 在处的切线的斜率大于0 7. 已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为函数的零点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 向量与向量垂直 10. 如图，在正三棱柱中，M，N，D，Q分别为棱的中点，，则以下结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 点Q到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球表面积为 11. 已知抛物线的焦点为F，A，B，P为抛物线C上的点，，若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为，且两切线交于点M．N为抛物线C的准线与y轴的交点．则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 直线PN的倾斜角 C. 若，则直线AB的方程为 D. 的最小值为2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知等差数列满足，则的值为_________. 13. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为_______． 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率，和是椭圆上的点，且，的面积为，是坐标原点，则的最小值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数，若有极大值，且极大值为2． （1）求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 16. 如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 17. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为福清人喜爱的交通工具据预测，福清某新能源汽车店从年月份起的前个月，顾客对比亚迪汽车的总需量单位：辆与的关系会近似地满足其中且，该款汽车第月的进货单价单位：元与的近似关系是． 由前个月的总需量，求出第月的需求量单位：辆与的函数关系式； 该款汽车每辆的售价为元，若不计其他费用，则这个汽车店在年的第几个月的月利润最大，最大月利润为多少元？ 18. 已知在平面直角坐标系中，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，点是椭圆上任意一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且的最大值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过抛物线上在第一象限内的一点作抛物线的切线，交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为，过点作垂直于轴的直线，与直线OG交于点，求证：点在定直线上． 19. 密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学．研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学．20世纪70年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离．加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的．这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨．某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数n，将小于等于n且与n互质的正整数从小到大排列，即为密码．记符合上述条件的正整数的个数为． （1）求数列的前5项和； （2）求的表达式和的值； （3）记，数列的前n项和，证明． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 强基数学周考试题 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的除法及乘法化简,得出复数即可求出对应点,进而得出所在象限即可. 【详解】， 复数在复平面内对应的点为,点位于第四象限. 故选：D． 2. 【答案】  【解析】【分析】 本题考查数列的求和，数列的单调性，将数列的通项公式与二次函数建立联系是解题的关键，考查逻辑推理能力，属于基础题． 将数列的通项公式看成二次函数，结合二次函数的单调性，找出所有的项，即可得解． 【解答】 解：因为， 所以，且数列是一个首项为正，先增后减的数列， 令，则或， 因为，所以从开始，， 所以前项的和最大． 故选：． 3. 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，是基础题． 先设，由已知切线与直线 垂直可得切线斜率，利用在点处的切线斜率为该点导函数值，得到坐标，代入直线方程即可得出结果． 【解答】 解：设， 因为直线：与曲线在点处的切线垂直， 所以切线斜率， 因为 ， 所以 ，解得，所以， 即，代入直线， 所以． 故选：． 4. 高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ） A. 462 B. 465 C. 468 D. 475 【答案】B 【解析】 【分析】记第n层有个球，则根据题意可得，再根据累加法与等差数列的求和公式即可得解. 【详解】记第层有个球，则，，，， 结合高阶等差数列的概念知，，，，， 则第30层的小球个数为 . 故选：B 5. 甲乙丙丁四个人站一排，甲不能在排头，也不能在排尾，则不同的站法共有（ ） A.6种 B. 8种 C. 14种 D. 20种 【答案】C 【解析】 【分析】先分类计算，再结合分步计数原理计算即可. 【详解】甲在排尾：，甲不在排尾：，所以共14种 故选:C. 6. 已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（ ） A. 是函数最小值 B. 是函数的极小值 C. 在区间上单调递增 D. 在处的切线的斜率大于0 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象得到的单调性，并结合极值的定义和导数的几何意义求出答案. 【详解】C选项，由图象可看出当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，C错误； A选项，是函数的极小值，但无法确定是不是最小值，A错误； B选项，是函数的极大值，B错误； D选项，由于，故在处的切线的斜率大于0，D正确. 故选：D 7. 已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用几何关系得到，又，得到，再结合双曲线的定义得到，即可求解. 【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接， 因为为正三角形，，所以为的中点，所以， 故，易知，所以， 由双曲线的定义知， 即，得. 故选：D． 8. 已知为函数的零点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意确定为方程的根，构造函数，由其单调性即可求解. 【详解】由得，即，即， 因为，所以，所以为方程的根， 令，则，所以在上单调递增， 又，所以， 即，即， 故选：B． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，则 D. 向量与向量垂直 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，根据条件，利用数乘向量的定义得到，即可判断选项A的正误；选项B，根据条件，利用数量积的运算及模的定义，即可判断选项B的正误；选项C，根据条件，利用数量积的定义，得到，即可求解；选项D，根据条件，结合数量积的运算律，得到，即可求解. 【详解】对于选项A，因为为非零向量，若，则，故，所以选项A正确， 对于选项B，若，故，所以选项В正确， 对于选项C，若，则， 得到，不能确定，所以选项C错误， 对于选项D，， 故，所以选项D正确， 故选：ABD． 10. 如图，在正三棱柱中，M，N，D，Q分别为棱的中点，，则以下结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 点Q到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】应用线面平行判定定理判断A,应用勾股定理计算判断B,应用等体积求出点Q到平面的距离判断C,利用补形及直三棱柱的外接球公式计算外接球半径即可判断D. 【详解】由题，，所以平面,不在平面内，故平面，A正确； 由题可得，， 设，易得，， 因为，即，解得，故，B错误； 因为，所以， 所以平面,平面,得出平面， ， 所以， 又， 设点Q到平面的距离为d，则，得，C正确； 将三棱锥补成以为底面的直三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球， 其球心O位于上下底面外心的中点，， 故的外接圆半径， 设外接球半径为R，则， 所以三棱锥的外接球表面积，D错误． 故选：AC． 11. 已知抛物线的焦点为F，A，B，P为抛物线C上的点，，若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为，且两切线交于点M．N为抛物线C的准线与y轴的交点．则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 直线PN的倾斜角 C. 若，则直线AB的方程为 D. 的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据向量夹角设直线再结合抛物线定义得出焦半径公式即可判断A,设点，分两种情况讨论判断B,求导函数得出直线的斜率即可得出直线方程判断C,先写出切线再联立得出，结合焦半径公式计算最小值判断D. 【详解】由题，则向量的夹角为，故F，A，B三点共线， 设，与C的方程联立得，设， 则，，故， 由抛物线的定义得， 故，，所以A错误； 设，，当时，直线PN倾斜角大于等于， 当时，，所以直线PN的倾斜角，B正确； 记直线AB的斜率为k，令，则，则， 又，所以，所以，又直线AB过点，故直线AB的方程为正确； ，又，所以， 同理，联立解得，即，又， 所以，当时，等号成立，所以的最小值为2，D正确； 故选:BCD. 【点睛】关键点点睛：解题关键点是应用导数求出切线斜率进而得出切线方程，再分别得出直线方程及焦半径的最小值. 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知等差数列满足，则的值为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】由等差数列通项公式得，即，进而求出 【详解】由等差数列通项公式得， 即，故， . 故答案为：3 13. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】即在区间上，转化为，求出的范围可得答案. 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上， 即在区间上恒成立， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率，和是椭圆上的点，且，的面积为，是坐标原点，则的最小值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】设，由的面积，解出，在中利用余弦定理，结合离心率，求出，得椭圆方程，设，表示出，利用二次函数的性质求最小值. 【详解】由，得．设，则， ，解得． 在中，， 解得，从而，椭圆方程为，， 设，则， 当时，的最小值是8． 故答案为：8 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数，若有极大值，且极大值为2． （1）求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）判断的极大值即可求解的值； （2）分离参数，得到，然后令，所以，则在上恒成立，求出对应的最大值，即为的最小值，然后得到范围. 【小问1详解】 易知函数的定义域为， 根据题意可得，令，得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减； 所以， 解得 【小问2详解】 由（1）知， 因为，所以可化为， 设， 所以，则在上恒成立， 即可得在上单调递减，， 因此的取值范围是 16.如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面再应用线面垂直性质得出线线垂直，即可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，应用空间向量法求线面角正弦值即可. 【小问1详解】 因为是正三角形，M为AB中点，所以， 因为平面平面ABC，所以， 又平面 所以平面 又因为平面，所以， 连接，易得， 所以，所以， 又因为，所以， 因为，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取AC中点O，连接，易知三条直线两两垂直， 以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则， 由（1）知平面的一个法向量为，又， 所以， 因为直线与平面所成的角为直线与所成角的余角， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 17. 【答案】解：当时，， 当，且时， ， 当时，符合上式， 故，且 依题意，这个汽车店在年的第个月的月利润 且， 以，且来研究，不影响结果， 令，得：或舍去， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值为． 故这个汽车店在年的第个月的月利润最大，最大月利润为元．   【解析】本题考查利用函数模型解决实际问题，考查导数在实际问题中的应用，考查利用导数求函数的最值，属于中档题． 根据当，且时，再验证满足即可求解； 依题意可得的表达式，用导数判断其单调性即可求解． 18. 已知在平面直角坐标系中，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，点是椭圆上任意一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且的最大值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过抛物线上在第一象限内的一点作抛物线的切线，交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为，过点作垂直于轴的直线，与直线OG交于点，求证：点在定直线上． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当为椭圆短轴端点时，取得最大值，据此即可求解； （2）设点，利用导数求出直线AB的方程，设，，联立求出点坐标，求出直线OG的方程，求出即可求解. 【小问1详解】 ∵，∴，则为椭圆的上顶点， ∴，由题意知：当为椭圆的短轴端点时， 取得最大值，此时在中， ，，∴， 则，∴， ∴椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 设点，对求导得， ∴直线AB的斜率，∴直线AB的方程为， 即，设，， 由得：， 由得：， ∴，， ∴， ∴，∴， 则直线OG的方程为，又过点且垂直于轴的直线的方程为， 则由得：，∴点在定直线上. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于当为椭圆的短轴端点时，取得最大值以及利用导数求出直线AB的方程的分析. 19. 密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学．研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学．20世纪70年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离．加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的．这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨．某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数n，将小于等于n且与n互质的正整数从小到大排列，即为密码．记符合上述条件的正整数的个数为． （1）求数列的前5项和； （2）求的表达式和的值； （3）记，数列的前n项和，证明． 【答案】（1） （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数列定义求出前5项即可求和； （2）先根据定义得出，再求出即可； （3）应用错位相减法计算得出即可证明. 【小问1详解】 由题，； 小于等于2且与2互质的正整数有1，所以； 小于等于3且与3互质的正整数有1，2，所以； 小于等于4且与4互质的正整数有1，3，所以； 小于等于5且与5互质的正整数有1，2，3，4，所以． 所以数列的前5项和为． 【小问2详解】 若2为质数，则小于等于的正整数中，只有2的倍数不与2互质， 又因为小于等于的正整数中，2的倍数有个， 所以． 在小于等于31×37的正整数中，31的倍数有37个，37的倍数有31个， 所以． 【小问3详解】 由（2）知，所以， 所以， 故， 作差得：， 所以． 令， 则， 作差得：， 所以， 故， 因为，所以， 所以得证． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$