天津市第一中学2024-2025学年高三上学期数学统练9

天津一中 2024-2025-1 高三年级数学统练 9 一、选择题 1.已知集合  0,1,2,3,4,5U  ，  1,2, 4A  ，  0,3,4B  ，则  UA B  ð A. 2,4 B. 2,5 C. 1,2 D. 0,2,4 2.对于任意实数 a，b，“ 2 2 2a b ab  ”是“ 2 2a b ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列四个函数中，既是偶函数又在区间 0, 2       上为增函数的是 A. siny x x B. sin2y x C. tany x D. cos 2 xy  4.已知函数   21 cos 4 f x x x  ，则曲线  y f x 在点 , 2 2 f         处切线的斜率为 A. 1 4   B. 1 4   C. 4  D. 1 2   5.设 0.13a  ， sin3b  ， 0.1log 3c  ，则 A. c b a  B.a b c  C.b a c  D.a c b  6.已知函数   4f x x x   ，   2xg x a  ，若  1 2,3x  ，  2 2,3x  ，使得    1 2f x g x… ， 则实数 a的取值范围是 A. 11, 3      B.  ,0 C. 1, 3     D.  , 4  7.已知函数   2cos ( 0) 6 f x x         在  0, 有且仅有 2个极小值点，且在 , 3 2        上单调 递增，则的取值范围为 A. 5 29, 2 6      B. 5 11, 2 3      C. 17 29, 6 6      D. 17 11, 6 3      天津一中 2024-2025-1高三年级数学统练试卷 第 1 页 共 2 页 8.在 ABC△ 中， 4AB  ， E是 BC边中点，线段 AE长为 3， 120BAC  ，D是BC边上 一点， AD是 BAC 的角平分线，则 AD的长为 A. 2 3 B. 4 3 C.2 D. 8 3 9.某牧场今年年初牛的存栏数为 1100头，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖 出 100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列 nc ， 1 1100c  ，则 11c 大约为（参 考数据： 81.1 2.1 ， 91.1 2.4 ， 101.1 2.6 ， 111.1 2.9 ） A.1240 B.1260 C.1280 D.1290 二、填空题 10.已知 i为虚数单位，则 1 i   1 2i    ______________. 11.设 3 4 8 1 3 log 4 log 8 log log 7m   ，那么  m  ______________. 12.已知向量 a，b  满足 2a  ，  3,0b   ，则向量a在向量b  方向上的投影向量的坐标为  1,0 ， 则  a b   ________. 13.已知 0a b  ， 6 2 1 a b a b     ，则3a b 的最小值为________. 14.在 ABC△ 中， 60A  ， 3BC   ，点D为 AB的中点，点E为CD的中点，若设 AB a   ， AC b   ，则 AE  可用 a，b  表示为________；若 1 3 BF BC   ，则 AE AF   的最大值为________. 15.已知函数   2 1 , 0 2, 0 x a x x f x x ax x          .若 1a   ，则函数  y f x 的零点为________；若函数  y f x 的最小值为 a，则实数 a的值为________. 三、解答题 16.在 ABC△ 中，角 A， B，C所对的边分别是 a，b， c，已知  cos 2 cosb C a c B  . （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）设 2a  ， 3c  （i）求b的值； （ii）求  sin 2A B 的值. 17.设函数   2(sin cos ) 3sin 2 2 f x x x x         . （Ⅰ）求函数  f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数  f x 的单调递增区间及对称轴； 3  ，求  f B 的取值 18.已知等比数 （Ⅲ）在锐角△ABC中，内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 A  范围. 关注天津考生公众号获取最新试卷 列 na 的公比 1q  ， 1 2 3 14a a a   ， 2 1a  是 1a ， 3a 的等差中项.等差数列 nb 满足 1 22b a ， 4 3b a . （Ⅰ）求数列 na ， nb 的通项公式； （Ⅱ）  nn n bc n a  Nå ，求数列 nc 的前 n项和； （Ⅲ）将数列 na 与数列 nb 的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的 前 2n 项和. 天津一中 2024-2025-1高三年级数学统练试卷 第 2 页 共 2 页 19.已知函数   ln e 1f x mx x    . （Ⅰ）讨论  f x 的单调性； （Ⅱ）当 1m  时，求函数  f x 的最小值，并证明  * 2 1 1 2, ln n k n n n k n     N ； （Ⅲ）当 0m  时，若关于 x的不等式   emxxf x  在区间  0, 上有解，求m的取值范围. 20.给定数列 nA ，若对任意m， *nN 且m n ， m nA A 是 nA 中的项，则称 nA 为“H 数 列”；若对任意m， *nN 且m n ， m nA A 是 nA 中的项，则称 nA 为“ J 数列”. （Ⅰ）设数列 na 的前 n项和为 nS ，若 2 1nnS   ，试判断数列 na 是否为“ J 数列”，并说明理 由； （Ⅱ）设数列 nb 既是等比数列又是“ J 数列”，且 1 8b  ， 2 16b  ，求公比 q的所有可能值； （Ⅲ）设等差数列 nc 的前 n项和为 nT ，对任意 *nN ， nT 是数列 nc 中的项，求证：数列 nc 是“H 数列”. 统练9答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 6 7 8 5 9 答案 C D B B A B B A B 二、填空题 12.7 14.+6,39 13.46+10; 4 8 一; 2 15.1(写x=1也给分,写(1.0)不给分),-23-2或2 三、解答题 16.(本小题满分14分) (D)因为bcosC=(2a-c)cosB, 由正弦定理可得:sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB ............................分... 则sin B+C)=2sinAcosB 因为在△ABC中,A+B+C=π. 所以sin(B+C)=sin(π-A)=sinA. 则有sinA=2sinAcosB, ............................ ..................... 因为A,Be(0.x),所以sinAx0,cosB-1 2 写A、B的范围扣一分) 3' 在△ABC中,因为a=2,c=3. 则-7 # (iì)在△ABC中,由正弦定理可得: _sin 因为a<b,所以A<B,则A为锐角,(注:无A范围扣1分) 27 所以cosA=1-sin2A- 7 43 则sin2A=2sinAcosA=- ) 4V3 11333 所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB= 7 27×214 ...............分... 17.(本小题满分15分) 解:(I)f(x)=sinx+cos{x+2sinxcosx+3cos2x -sin2x+3cos2x+1 2r 所以函数f(x)的最小正周期为T= l{ (II)令2kr- 2 3 5π #2# 7 得kπ- #2# <x<kr+ ,ke乙, 所以函数f(x)的单调递增区间是 令2r+ kE乙, ##.knr (kez) 所以函数f(x)的对称轴为x= 2 2 ..............................1.分. 3' 过#:2214 .0<B 2 。 ./(B)=2sin2B+)+1=(1-3,1+3). 所以f(B)的取值范围是(1-3,1+3) (注:解答过程中没写keZ不扣分,求解f(B)时没讨论单调性不扣分) 18.(本小题满分15分) a.+a+a=14 fa+aq+aq②}=14 ()依题有 2(a+1)=a+a . l2(a+1)=a+aq?' [26=4 ·数列!b是等差数列,设其公差为d #l#+3d-8' 解得: (II)数列{c.的前n项和记为S.,则S.=C.+c..C。 2 d. 1 所以$。-2 2 -... 2~7 1 2 7 2“ 两式相减有 1 10 7 2+ +过..- 2-1 2” 1 -2+2 2- 2* 2。 所以S.-4- +2 2~... (注:用裂项相消的方法求解平行给分,如果直接写结果只给结果分.) (III) 因为a,=2”,b.=2n,设新数列为(e。},因为数列{a.)与数列(b.都是递增数列,且a.=b=2” =b_=2*, 又因为2-n)-2“=2”-n>0,所以数列{e的前2”项由a中的前n项和 b中的前2”-n项构成, =(2+4+8+.+2”)+(2+4+..+2“1-2n) =(2-1-2)+(2+4+.+2-1-2n) -2“1-2+4-n2”*+n2+2-n 19.(本小题满分15分) (1)f(x)的定义域为(0,+o) f"(x)=m-1mx-1 ①当m<0时,f’(x)<0恒成立,f(x)在(0.+oo)上单调递减. ②当m>0时,当x>一时,/'(x)>0,当0<x<一时,f”(x)<0, , n ·/(1)在(0)上单调减,在()上单调增。 综上可得:当m<0时,f(x)在(0,+o0)上单调递减; (1)(0_)单在)单道增 当m>0时, (1)当m=1时,/f(x)-x-lnx+e-1. 由(1)可知f(x)在(0.1]上单调递减,在[1,+oo)上单调递增, 故f(x)>/(1)-e, 所以当m=1时,函数f(x)的最小值为e. 因为x-lnx+e-1>e,即lnx<x-1, 当x>2时,0<lnx<x-l<x(x-l),即0<lnx<x(-l). lnxx(x-1) ->0 11-1. 令x=n,则- .n>2 lnn nn-1)n-1 n 2........ 111111 1 1 1n-1 ____ -+...- +... ln12+23+34 -=1--= ln2 ln3 n-1 n 77 7 1 故当n>2时, -1 一+...+- ln2 In3 lnn _ 即#n-1(n2neN) 二lnk 。 (注:其他方法平行给分) (III)关于x的不等式xf(x)>e”在区间(0,+oo)上有解, x 即ewx-lnx-(mr-lnx)-(e-1)<0在(0,+co)上有解, ......................................1分 n 令1=mx-lnx,则t>1+lnm 则e-1-(e-1)<0在te1+lnm,+oo)上有解, ...........................1.分 令h(t)=e'-t-(e-1),则h'(t)=e -1, 令'(t)-0,得t-0, 所以,当t<0时,'(t){<0,当t>0时,(t)>0, 即h(t)在(-o0,0)上单调递减,在(0,+00)上单调递增, $$#$($)=0,()=2-e<0,-2)=e^{}+3- $ 所以存在t。E(-2.0)使得h(to)-0, 所以,当t→1或t<t.时,h(t)>0,当t。<1<1时, h(t)<0, 所以只需1+lnm<1,即0<m<1时满足题意 所以m的取值范围为(0.1) (注:其他方法平行给分) 20.(本小题满分16分) (D)因为S.=2"-1, 当n>2时,a.-S.-S.=2“-, 当n=1时,a.=S=1也成立, 对任意m,neN 且m≠n,aa.=2”-x2”=2*n-2=damn-1' .a.是“J数列” (II) 因为b=8,b.>16,数列{b.是等比数列 由已知得bb=8q”x8q”-=64q“-}也为数列中的项, 令b.b.=b(keN),得8q"-\x8q”-=8q^*-, 即64q"+n-2-8q*-, 即得8qm+n-1-^*, 关注天津考生公众号获取最新试卷 因为q>2且k-m-n+1eN' (III) 设数列{c.的公差为d,所以存在keN',对任意neN',T.=c. ,n(n-1)=c+(k-1)d. 即nc+- 2 当d=0时,则c=0,故c.=0,此时数列为“H数列”; ................. 取n=2,则k-+2,所以-1.2 ...................分... 当-1时,- n(n-3) 2+2均口........ d 2 +1.均为.............4分 ##以-1# d 设=s,sz-1,sez,即c=sd, d 所以任意m,neN*且mn,C.+c.=sd+(s+m+n-2)d, 显然s+m+n-2eN,所以c.+c.为数列中的项 .fC.是“H数列”