宁夏2025届高三上学期11月新起点调研数学模拟试卷（三）

2025届高三年级11月新起点调研模拟试卷（三） 数 学 试 题 参考答案及评分标准 2024.11 一、单项选择题：本大题共8题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A D B D C C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BD BC AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 题号 12 13 14 答案 10 0 四、解答题：本题共5小题，其共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 【答案】(1)（6分）；(2).（7分） 【详解】（1），， 1分 ， 2分 ， 3分 ，，， 5分 又，. 6分 （2）因为BD为的平分线，，所以， 7分 又，， 所以，即，① 8分 由余弦定理，得，即，② 9分 由①②可得（舍去负值），， 10分 所以a，c是关于的方程的两个实根，解得. 11分 又因为BD为的平分线，所以， 又，， 所以，， 12分 所以的周长为. 13分 16．（本小题15分） 【答案】(1)证明见解析（4分）(2)（i）；（ii）存在，（11分） 【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点， ，， 1分 ，，，， 2分 四边形是平行四边形，， 3分 又平面，平面，平面. 4分 （2），，，，， 5分 平面平面，平面平面，平面， 平面， 6分 又，平面，，，又， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：则，，，， 7分 为棱的中点，， （i），，设平面的一个法向量为， 则，令，则，，， 8分 平面的一个法向量为， ， 9分 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为 10分 （ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则，， 11分 由（2）知平面的一个法向量为， ， 12分 点到平面的距离是 , 13分 ，，. 15分 17．（本小题15分） 【答案】(1) （4分）(2)存在，,（11分） 【详解】（1）设抛物线方程为，又因为， 由抛物线的性质可知，焦点坐标，准线方程为. 1分 已知，根据抛物线的定义，点A到准线距离为，又因为，则解得p=2, 3分 所以抛物线C的解析式为 4分 （2）设， 5分 ，又 ， 6分 ， 7分 令直线，联立 ，整理得 ， 8分 且 9分 则 10分 代入（1）式得: 11分 当时， 过定点与重合，不符; 12分 当 时，过定点, 13分 直线 过定点 又 ，故 在以 为直径的圆上， 14分 而 中点为，即为定值. 15分 18．（本小题17分） 【答案】(1)答案见解析（4分）；(2)（i）；（ii）证明见解析.（13分） 【详解】（1）由题设，且， 1分 当时，在上，在上，在上， 2分 所以，在、上单调递增，在上单调递减； 2分 当时，在上恒成立，故在上单调递增； 3分 当时，在上，在上，在上， 4分 所以，在、上单调递增，在上单调递减. 4分 综上所述~（写上不给分，不写扣1分） 4分 （2）（i）由， 5分 若时，， 5分 令且，则， 6分 所以时，时， 6分 故在上递增，在上递减，则， 7分 所以， 7分 结合（1）中的单调性，易知不可能出现两个不相等的零点， 8分 又时，在上只有一个零点，不满足， 8分 所以，此时，在上，在上， 9分 故在上单调递减，在上单调递增，则， 10分 又趋向于0或负无穷时，趋向正无穷，只需成立， 10分 显然在上递减，且当时， 11分 所以，时恒成立，即所求范围为； 11分 （ii）由（i），在时，存在两个不相等的零点， 12分 不妨令，要证，即证，而， 12分 由（i）知：在上单调递增，只需证， 13分 由，则 14分 令，且， 14分 则 ， 15分 所以，在上，即在上递增， 15分 所以，即成立， 16分 所以，得证. 17分 19．（本小题17分） 【答案】(1)1，3，5，6，9（2分）(2)证明见解析（4分）(3)证明见解析（11分） 【详解】（1）由题意知，数列1，8，3，7，5，6，9的最长单调子列为递增子列， 是1，3，5，6，9； 2分 （2）设长度为，末项为的递增子列为，，，，， 3分 由，可得， 3分 因为数列的长度为的递增子列的末项的最小值为， 4分 又因为，，，，是的长度为的递增子列， 5分 所以，由此可得. 6分 （3）因为数列任意两项均不相等，现以数列的每一项为首项选取长度最大的单调子列，设其共有项，组成数列， 7分 若中有一个，那么数列存在一个长度为的递增子列， 8分 所以数列存在一个长度为的单调子列. 8分 若数列不存在长度超过的递增子列，即，. 9分 所以在中，至少有个数是相等的. 9分 取其中项，不妨设为，其中， 10分 下面证明当，且时， 11分 假设，将加到以为首项长度为的递增子列前面， 12分 构成了以为首项、长度为的递增子列， 13分 以为首项的最长递增子列的项数为矛盾，假设不成立， 14分 所以 15分 由此可知， 16分 所以构成了一个长为的递减子列. 17分 综上所述，必存在长度为的单调子列。（写了不给分，不写扣1分） 17分 注：可依照各校实际情况制定评分标准，某些情况可酌情给分或扣分 数学答案 第 2 页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三年级11月新起点调研模拟试卷（三） 数 学 试 题 2024.11 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本大题共8题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．记无穷等比数列的公比为，前项和为．设甲：且；乙：有最大值，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．在圆柱中挖去一个圆锥，该圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为圆柱上底面的中心，若圆锥的母线长为，则剩余几何体体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数图像如图所示，则该函数图像的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．先把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则函数与的图象恰有3个不同公共点的概率是（    ） A． B． C． D． 8．在中，且，若（），则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于随机事件，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），，为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．的面积为 D．直线的斜率为 11．已知向量，，O是坐标原点，若，且方向是沿的方向绕着A点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到．现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，…，如此下去，经过一次变换后得到，设，， ，下列结论中正确的是（       ）． A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知i是虚数单位，若复数z满足，则 . 13．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要 分钟.（参考数据：） A．11分钟 B．10分钟 C．9分钟 D．8分钟 14．已知数列的前项和为，满足，函数定义域为，对任意都有，若，则的值为 . 四、解答题：本题共5小题，其共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 在中，角的对边分别为. (1)求； (2)已知为的平分线，交于点，且为线段上一点，且，求 的周长. 16．（本小题15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱 的中点. (1)证明：平面； (2)若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17．（本小题15分） 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，点 是抛物线上的一点. (1)若 ，求抛物线的解析式； (2)如图，利用(1)中求得的抛物线的解析式，已知 点在抛物线上，满足 作 ，为垂足. 问：是否存在定点，使得为定值? 若存在，求出点坐标以及的值； 若不存在，说明理由. 18．（本小题17分） 已知函数，其中为常数. (1)当时，试讨论的单调性； (2)若函数有两个不相等的零点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 19．（本小题17分） 已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列 为的长度为m的递增子列，若，则称新数列为的长度为m的递减子列，递增子列和递减子列统称为的单调子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的单调子列． (1)写出数列1，8，3，7，5，6，9的最长单调子列； (2)已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为．若，求证：<； (3)若数列有项，且任意两项均不相等，证明：必存在长度为的单调子列． 第7页 共12页 ◎ 第8页 共12页 2025届高三年级11月新起点调研试卷（三）·数学试题 第 1 页 （共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$