上海市实验学校2024-2025学年高三上学期数学周练7

上实验2024学年第一学期高三年级数学周练7 2024.11 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知复数,则的虚部为 . 2.直线过点,法向量,则的一般式方程为 . 3.已知集合,若有两个元素,则实数的取值范围是 . 4.若,试用表示 . 5.关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解 集为 . 6.在中,内角的对边分别为,已知, ,则外接圆的半径为 . 7.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线。已知的顶点为,4),则该三角形的欧拉线方程为 . 8.设,若函数为奇函数,则 . 9.已知复数是关于的方程的一个根，若，且， 则 . 10.若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 11.已知是锐角的外心,,若,则实数 . 12.如果直线和函数的图象恒过一个定点,且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是 . 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）． 13.已知定点不在直线上，则表示一条（ ）. A.过点且垂直于的直线 B.过点且平行于的直线 C.不过点但垂直于的直线 D.不过点但平行于的直线 14.已知两条直线,其中为实数,当这两条直线的夹角在内变动时，的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 15.向量,且,则（ ）. A. B. C. D. 16.若曲线与恰有2条公切线,则（ ）. A. B. C. D.-1 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．（本题满分14分）（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图,在三棱锥中,,的中点分别为,点在上,. （1）求证:平面; （2）若,求三棱锥的体积. 18．（本题满分14分）（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数. （1）求的单调递增区间; （2）若的图象是由的图象向右平移单位长度得到的,则当,求满足实数的集合. 19．（本题满分14分）（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩作为样本，将所得数据经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题： （1）求频率分布直方图中和的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩； （2）规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率。 20．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）． 直线过点且与轴、轴正半轴分别交于两点. （1）若直线的斜率为-2，求的面积； （2）若的面积满足，求直线的斜率的取值范围； （3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点,并求出该定点坐标. 21．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）． 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请 说明理由; （3）若,求的极值差比系数的取值范围. 上实验2024学年第一学期高三年级数学周练7 2024.11 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知复数,则的虚部为 . 【答案】20 【解析】由,得,的虚部为20. 2.直线过点,法向量,则的一般式方程为 . 【答案】 【解析】设直线上的任意一点为,因为直线过点, 所以直线的方向向量为,又因为直线的法向量为, 所以,所以直线的方程为 3.已知集合,若有两个元素,则实数的取值范围是 . 【答案】或. 【解析】因为由于有两个元素， 则或，解得或, 所以实数的取值范围是或. 4.若,试用表示 . 【答案】 【解析】, 而，则，. 5.关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解 集为 . 【答案】 【解析】不等式的解集为,则不等式等价于，即 则所求不等式的解集为. 6.在中,内角的对边分别为,已知, ,则外接圆的半径为 . 【答案】1 【解析】因为,且, 所以,结合正弦定理，化简得，整理得，所以,结合,解得. 所以外接圆的半径满足,可得. 7.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线。已知的顶点为,4),则该三角形的欧拉线方程为 . 【答案】 【解析】由重心坐标公式可得：重心G,即， 设外心，因为， 所以,解得,即, 所以欧拉直线方程为:,即. 8.设,若函数为奇函数,则 . 【答案】 【解析】由可得,则时,无意义, 即有,解得,,即, 因为为奇函数，可得,即有,即, 所以, 所以为奇函数，则.故答案为：1. 9.已知复数是关于的方程的一个根，若，且， 则 . 【答案】 【解析】,可设, ,,解得,, 复数是关于的方程的一个根， 复数是关于的方程的另一个根， ,解得,.故答案为:1. 10.若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】解法1：,由题意知有实数解， ,有正的实数解. 当时，显然满足；当时,只要,综上所述，. 解法2:,由题意可知在内有实数解. 即在内有实数解.即在内有实数解. 时,. 11.已知是锐角的外心,,若,则实数 . 【答案】 【解析】锐角中,设的外接圆的半径为, 则由正弦定理可得, 又 由外接圆圆心的特点及向量数量积的几何意义可得， 由正弦定理可得 故答案为:. 12.如果直线和函数的图象恒过一个定点,且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数的图象恒过点， 代入直线可得,即(1). 定点始终落在圆的内部或圆上, (2).由(1)(2)可得, 令,可得. 故答案为:. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）． 13.已知定点不在直线上，则表示一条（ ）. A.过点且垂直于的直线 B.过点且平行于的直线 C.不过点但垂直于的直线 D.不过点但平行于的直线 【答案】B 【解析】定点不在直线上, 表示一条斜率与相等的直线, 又由当时,,故过点, 故表示一条过点且平行于的直线,故选:B. 14.已知两条直线,其中为实数,当这两条直线的夹角在内变动时，的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】直线的倾斜角为，令直线的倾斜角为，则有 过原点的直线的夹角在内变动时,可得直线的倾斜角的范围是.的斜率的取值范围是，即，故选:. 15.向量,且,则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为向量，且，所以， 所以,即,解得，所以, 又 所以, 所以.故选:D. 16.若曲线与恰有2条公切线,则（ ）. A. B. C. D.-1 【答案】A 【解析】设在曲线上的切点为，由，可得过点的切线斜率为，此公切线方程为,即, 设切线与曲线相交于点, 则,消去，可得， 依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点， 令,解得或, 令,解得,则函数在上单调递增,在上单调递减,故极小值极大值，且恒成立， 当且仅当时等号成立，当时，, 要使直线与函数的图象有两个不同的交点, 则需，解得.故选:. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．（本题满分14分）（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图,在三棱锥中,,的中点分别为,点在上,. （1）求证:平面; （2）若,求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）证明：在Rt中，作，垂足为，设，则, 因为,所以,所以,即,解得, 又因为,所以,且, 所以,所以,即,解得,即, 所以是的中点,是的中点,又因为是的中点,所以, 同理,,所以,又因为平面平面, 所以平面; （2）过作垂直的延长线交于点，因为是中点，所以,在Rt中,,所以, 因为,所以,又平面, 所以平面,又平面,所以, 又平面,所以平面, 即三棱锥的高为,因为,所以, 所以,的面积, 所以三棱锥的体积为. 18．（本题满分14分）（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数. （1）求的单调递增区间; （2）若的图象是由的图象向右平移单位长度得到的,则当,求满足实数的集合. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 令则 所以的单调递增区间为. （2）由题可知, 由,得,由,得, 由正弦函数的图象与性质可知，, 则,则所求实数的取值集合为. 19．（本题满分14分）（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了名学生的成绩作为样本，将所得数据经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题： （1）求频率分布直方图中和的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩； （2）规定大赛成绩在的学生为厨霸，在的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由茎叶图知，成绩在[50,60）的学生有5人，成绩在的学生有3人, ,, 此次参加厨艺大赛学生的平均成绩为：（2）由题意得厨霸有人，厨神有人， 从中任取2人，基本事件总数， "所取2人至少中有1人是厨神"的对立事件是"所取2人都是厨霸"，其包含的基本事件个数为，所以"所取2人中至少有1人是厨神"的概率. 20．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）． 直线过点且与轴、轴正半轴分别交于两点. （1）若直线的斜率为-2，求的面积； （2）若的面积满足，求直线的斜率的取值范围； （3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点,并求出该定点坐标. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析，定点 【解析】（1）由题意可得直线的方程为,即, 令,可得；令，可得,则的面积为 （2）设直线的斜率为,直线的方程为, 令,则;令,则则, 由,即,由成立; 又,解得,所以的范围是; （3）证明:点分向量所成的比的值为2,即为, 设,由,即有， 可得,,梯形的面积为, 由题意可得梯形的面积为6, 设,可得,即, 由直线的方程为, 将代入上式可得, 由解得，则直线经过定点. 21．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）． 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请 说明理由; （3）若,求的极值差比系数的取值范围. 【答案】（1）是，理由见解析 （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】（1）当时,是极值可差比函数,理由如下: 当时,,所以, 当时,;当时,, 所以在和上单调递增,在上单调递减, 所以的极大值为,极小值为, 所以,因此是极值可差比函数. （2）的定义域为,即, 假设存在,使得的极值差比系数为,则是方程的两个不等正实根，,解得,不妨设,则, 由于 所以2-，从而，得 令 所以在上单调递增,有, 因此（*）式无解，即不存在使的极值差比系数为。 （3）由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，极值差比系数可化为， 又，解得， 令 设， 所以在上单调递减，当时，从而, 所以在上单调递增,所以,即. 故的极值差比系数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$