第十一章 三角形 单元过关训练-2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十一章　三角形 时间：100分钟　满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，三角形的个数为（　C　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 第1题图 C 2. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这 里所运用的几何原理是（　D　） A. 垂线段最短 B. 两点之间，线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 第2题图 D 3. 关于三角形的三个内角，下列说法错误的是（　A　） A. 最多有两个锐角 B. 最少有两个锐角 C. 必有一个内角不小于60° D. 必有一个内角不大于60° A 4. 下列说法中，正确的个数是（　A　） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角 三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A 5. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线， ∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝（　A　） A. 75° B. 80° C. 85° D. 90° A 6. 如图，在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折， 使点C落在△ABC外的点C'处.若∠1＝20°，则∠2的度数为（　C　） A. 80° B. 90° C. 100° D. 110° 第6题图 C 7. 如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC ＝（　C　） A. 120° B. 60° C. 140° D. 无法确定 第7题图 C 8. 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 （　C　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 C 9. 如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分 别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是（　A　） A. 60° B. 55° C. 50° D. 45° A 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点 B1，B2，B3，…，Bn在直线y＝ x上.若点A1的坐标为（1，0），且 △A1B1A2，△A2B2A3，…，△AnBnAn＋1，都是等边三角形，从左到右的 小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn可表 示为（　D　） A. 22n B. 22n－1 C. 22n－2 D. 22n－3 D 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若三角形的三个内角度数比为2∶3∶4，则这个三角形一定是 　三角形.　 锐角 12. 若三角形的三条边长分别为5，1＋2x，8，则x的取值范围是 ⁠ ⁠. 1＜ x＜6 13. 如图，已知在△ABC中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点， 且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为 cm2. 第13题图 1 14. 三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍，我们称此三角形为 特征三角形，其中α为特征角.若一个特征三角形的特征角为110°，则 这个“特征三角形”的最小内角为 　. 15° 15. 如图，AD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点P，若∠BAC的 度数为α，∠BCA的度数为β，则∠APC的度数是 . 第15题图 α＋β 三、解答题（本大题共7个小题，共75分） 16. （10分）如图，已知△ABC. （1）画中线AD. 解：（1）中线AD如图所示. （2）画△ABD的高BE及△ACD的高CF. 解：（2）△ABD的高BE及△ACD的高CF如图所示. 17. （10分）壮壮爷爷准备用一段长30 m的篱笆围成一 个三角形形状的场地，用于饲养家兔.已知第一条边长为a m，由于受地 势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2 m. （1）请用a表示第三条边的长. 解：（1）第三条边长为30－a－（2a＋2）＝（28－3a）（m）. （2）第一条边长可以为7 m吗？请说明理由. 解：（2）第一条边长不可以为7m. 理由如下： 当a＝7时，三边长分别为7，16，7. ∵7＋7＜16， ∴不能构成三角形，即第一条边长不可以为7m. 18. （10分）如图，已知AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E， F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP. 解答请看下页 证明：∵AB∥CD， ∴∠BEF＋∠EFD＝180°. ∵EP，FP分别是∠BEF，∠EFD的平分线， ∴∠PEF＝ ∠BEF，∠EFP＝ ∠EFD. ∴∠PEF＋∠EFP＝ （∠BEF＋∠EFD）＝90°. ∴∠P＝180°－（∠PEF＋∠EFP）＝180°－90°＝90°. ∴EP⊥FP. 19. （11分）如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝5 cm，AC＝12 cm，BC＝13 cm，∠BAC＝90°.求： （1）△ABE的面积. 解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝12cm， ∴S△ABC＝ ×5×12＝30（cm2）. ∵AE是边BC的中线， ∴S△ABE＝ S△ABC＝15（cm2）. （2）AD的长度. 解：（2）在△ABC中，AD是边BC上的高， ∴S△ABC＝ BC·AD. ∵BC＝13cm，S△ABC＝30cm2， ∴ AD＝30. ∴AD＝ . 即AD的长度为 cm. （3）△ACE与△ABE的周长的差. 解：（3）∵AE为BC边上的中线， ∴BE＝CE. ∴C△ACE－C△ABE＝AC＋CE＋AE－（AB＋BE＋AE）＝AC－AB＝ 12－5＝7（cm）. 即△ACE比△ABE的周长多7cm. 20. （11分）如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC 的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F. （1）求证：∠F＋∠FEC＝2∠A. 证明：∵∠FEC＝∠A＋∠ADE， ∴∠F＋∠FEC＝∠F＋∠A＋∠ADE. ∵∠ADE＝∠BDF，∠F＋∠BDF＝∠ABC， ∴∠F＋∠FEC＝∠A＋∠ABC. ∵∠A＝∠ABC， ∴∠F＋∠FEC＝∠A＋∠ABC＝2∠A. （2）过点B作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F＋∠FEC的 数量关系，并证明你的结论. 解：∠MBC＝∠F＋∠FEC. 证明如下：∵BM∥AC， ∴∠MBA＝∠A. ∵∠A＝∠ABC， ∴∠MBC＝∠MBA＋∠ABC＝2∠A. ∵∠F＋∠FEC＝2∠A， ∴∠MBC＝∠F＋∠FEC. 21. （11分） 探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种 数量关系呢？ 如图1，已知∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与 ∠FDC＋∠ECD的数量关系. 解：探究一：∵∠FDC＝∠A＋∠ACD， ∠ECD＝∠A＋∠ADC，∴∠FDC＋∠ECD＝ ∠A＋∠ACD＋∠A＋∠ADC ＝180°＋∠A. 探究二：三角形的一个内角与另外两个内角的平分线所夹的钝角之间有 何种关系？ 如图2，已知在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探 究∠P与∠A的数量关系. 解答请看下页 解：探究二：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD， ∴∠PDC＝ ∠ADC，∠PCD＝ ∠ACD. ∴∠P＝180°－∠PDC－∠PCD ＝180°－ ∠ADC－ ∠ACD ＝180°－ （∠ADC＋∠ACD） ＝180°－ （180°－∠A） ＝90°＋ ∠A. ∴∠P＝90°＋ ∠A. 22. （12分）如图1所示，已知一个五角星ABCDE. （1）求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数. 解：（1）由图1可知∠BKF是△KCE的外角， ∴∠BKF＝∠C＋∠E. 同理∠BFK＝∠A＋∠D. ∵∠B＋∠BFK＋∠BKF＝180°. ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°. （2）如图2所示，如果B点向下移动到AC上，求∠A＋∠DBE＋∠C ＋∠D＋∠E的度数. 解：（2）如图2，∠A＋∠C＝∠DFH， ∠DBE＋∠E＝∠DHF， ∵∠DFH＋∠D＋∠DHF＝180°， ∴∠A＋∠C＋∠DBE＋∠E＋∠D＝180°. （3）如果B点继续向下，移到AC的另一侧，如图3所示，（2）中的结 果还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它的值. 解：（3）结果还成立，理由： 如图3，∠B＋∠D＝∠EGF，∠A＋∠C＝∠GFE. 由三角形内角和定理可知∠EGF＋∠GFE＋∠E＝180°， ∴∠B＋∠D＋∠A＋∠C＋∠E＝180°. 故结论成立. $$