精品解析：江苏省盐城市东台市2024-2025学年高一上学期期中学业水平考试数学试卷

2024-2025学年度第一学期期中学业水平考试 高一数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、座号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上. 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 1. 下列各式中，正确的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 设函数，若，时，有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 设正数，满足，则有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是（ ） A. 当时， B. C. 不等式的解集为 D. 函数的图象与轴有4个不同的交点，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.） 12. 已知，，则______.（用数字作答） 13. 已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为__________． 14. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则______. 四、解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.） 15. （1）已知正数满足，求下列各式的值： ①；②. （2）求值：. 16. 已知全集，集合，集合. （1）当时，求，； （2）已知是的子集，求实数的取值范围. 17. 某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ （3）若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 18. 已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为. （1）求此二次函数的解析式； （2）关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围； （3）对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. （1）函数是否是在上的“美好函数”，并说明理由； （2）已知函数是在上的“美好函数”，求的值； （3）已知函数是在上的“美好函数”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中学业水平考试 高一数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、座号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上. 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 1. 下列各式中，正确的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断各命题. 【详解】因为，故①错； 因为，故②对； 因为，故③对； 因为且，故④错； 因为，故⑤错； 因为，又且，故⑥错； 所以正确的个数为个，故B正确. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，即可直接写出答案. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是， 故选：B. 3. 函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用配凑法，求出，令，代入计算可得答案. 【详解】因为函数 ， 所以， 则. 故选：A. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由且，求交集即可求得结果. 【详解】因为函数的定义域为， 则，解得， 故函数的定义域为. 故选：C. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】若“”则是的充分条件；若“”则是的必要条件. 【详解】当时，则无意义；当时，或， ∴则“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6. 已知函数，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，根据分段函数分类讨论计算推得，再由，同法讨论计算即得的值. 【详解】设，则， 当时，，不合题意； 当时，由，解得，不合题意； 当时，由，解得，因，则， 即，若，则，不合题意； 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得，不合题意. 综上，可得. 故选：D. 7. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】， 所以 ， 当且仅当，且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 8. 设函数，若，时，有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到，根据，，得到，求出解集. 【详解】由得， 即，变形为， 因为，所以， 因为，所以，解得. 故选：C 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，解方程，即可判断C. 【详解】对于A，B，当时，，故A正确，B错误； 对于C：由，解得，所以不存在，使得，故C错误； 对于D：因为，所以，所以，，故D正确. 故选：AD 10. 设正数，满足，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知条件结合基本不等式及其相关变形，分别检验各个选项即可判断正误. 【详解】因为正数，满足， 对于A，， 当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以， ， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，由B知，，则，故C错误； 对于D，因为，则， 所以 ， 令，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列正确的是（ ） A. 当时， B. C. 不等式的解集为 D. 函数的图象与轴有4个不同的交点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】函数奇偶性求出函数解析式，分段解决分段函数有关的不等式，由函数图像找到交点为4个点的的取值范围. 【详解】当时，，由题意可知，A选项正确； 由题意可知：，B选项错误； ∵，令，则或；令，则或； ∴，即或，即或，C选项正确； 令，即 函数的函数图像如下： 由图像可知，当和存在4个交点时，，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛，本题已知分段函数的奇偶性和其中某个区间的解析式，通过奇函数的性质可以求出整个函数的解析式，由此可以借助函数图像来解决一些函数相关的问题. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.） 12. 已知，，则______.（用数字作答） 【答案】45 【解析】 【分析】利用指对数互化和指数幂的运算法则计算即得. 【详解】由，可得， 又，则. 故答案为：45. 13. 已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围． 【详解】对任意的实数，都有，即成立， 可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数； 可得：， 解得， 故答案为：． 14. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】解方程得到，由定义知道的值，再分类讨论得出结果. 【详解】解得或，即， ∵，∴或， 方程可整理为， ①当时，即方程组只有一个解，则，即， ②当时，即方程组只有三个解， 显然时不成立，∴，即方程有两个不同的解， ⑴当方程只有一个实根时，，， ⑵当方程有二个不同实根时，，或， 显然不是的实根，则是方程其中一个实根， 则，解得， 综上所述：，∴. 故答案为：5 【点睛】方法点睛，在讨论含参方程的根的个数时，需要分类讨论.而本题集合是由两个二次方程相乘得到的方程，第一步需拆分，分别讨论根的个数，注意两个方程可能出现相同的实数根. 四、解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.） 15. （1）已知正数满足，求下列各式的值： ①；②. （2）求值：. 【答案】（1）①；②；（2） 【解析】 【分析】（1）利用指数的运算性质找到目标式与条件的关系求值. （2）由对数运算性质化简求值即可； 【详解】（1）因为正数满足， 所以①； ②， 又，所以. （2） . 16. 已知全集，集合，集合. （1）当时，求，； （2）已知是的子集，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）解分式不等式求得集合，因为求得，进而可求，； （2）因为是的子集，分与两种情况讨论可求得的取值范围. 【小问1详解】 由，得，解得， 所以，当时，， 所以或， 所以， 或； 【小问2详解】 当时，得，解得， 当时，由是的子集，则，解得， 综上所述：实数的取值范围为 17. 某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ （3）若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】（1） （2）元，元 （3） 【解析】 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【小问1详解】 设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. 【小问2详解】 若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. 【小问3详解】 由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 18. 已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为. （1）求此二次函数的解析式； （2）关于的不等式的解集中恰有一个正整数，求实数的取值范围； （3）对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，可得，是方程的两个根，写出解析式，再结合顶点坐标求解即得. （2）由（1）的结论，分类求解不等式，进而确定的范围. （3）依题意可得对，不等式恒成立，令，，则，解得即可. 【小问1详解】 由不等式的解集为，得且是关于的方程的两个根， 因此， 所以函数的图象开口向上，其对称轴为， 而该图象与直线有且仅有一个公共点，则图象的顶点为， 于是，解得， 所以此二次函数的表达式为，即. 【小问2详解】 由（1）知不等式为， 整理得，即， 依题意，不等式的解集中恰有一个正整数，则， 当时，解得，即不等式的解集为，此时解集中不含正整数，故舍去； 当时，解得，不等式的解集为，要使解集中恰有一个正整数， 则， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 对，不等式恒成立， 即对，不等式恒成立， 令，，则，解得， 即实数的取值范围为. 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. （1）函数是否是在上的“美好函数”，并说明理由； （2）已知函数是在上的“美好函数”，求的值； （3）已知函数是在上的“美好函数”，求的值. 【答案】（1）不是，理由如下： 因为， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，， 则， 所以不是在上的“美好函数”； （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）求出函数的最值，即可判断； （2）首先判断函数的单调性，即可求出函数的最值，从而得到方程，解得即可； （3）结合函数单调性的定义及对勾函数的性质得到函数的单调性，再对分类讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 则在上单调递减，所以，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以，解得. 【小问3详解】 函数的定义域为， ，所以为奇函数， 根据对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减， 其中在上单调递减的证明如下： 设， 则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数在上单调递减. 当，即时在上单调递减，则，， 所以，解得或（舍去），所以， 即在上为“美好函数”； 当时在上单调递增，则，， 所以，方程无解，故舍去； 因为，令，即，解得 或， 因为，， 所以当时，在的最小值为，最大值不可能为，故不符合题意； 当，即时在上单调递减，则，， 所以，解得（舍去）或，所以， 即在上为“美好函数”； 当时，即时，在上单调递增，则，， 所以，方程无解，故舍去； 因为，令，即，解得 或， 因为，， 所以当时，在的最大值为，最小值不可能为，故不符合题意； 综上可得或. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解所给“美好函数”的定义，结合函数的单调性求出函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $