河南省郑州市2024-2025学年九年级上学期期末数学复习（一元二次方程近三年组题汇编）

河南省郑州市2024-2025学年九年级上学期期末数学复习（一元二次方程章节重难点近三年组题汇编） 一、单选题 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为（   ） A．且 B． C．且 D．且 3．（23-24九年级上·河南郑州·期末）方程解的情况为（      ） A．没有实数根 B．有两个相同的实数根 C．有两个不同的实数根 D．只有一个实数根 4．（23-24九年级上·河南郑州·期末）下面是小明用配方法解方程：的过程的一部分，横线上应填写（      ）． 第一步：把常数项移到方程的右边，得： 第二步：两边都加____________ A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·河南郑州·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．（22-23九年级上·河南郑州·期末）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是（    ） A．9 B． C．11 D． 7．（22-23九年级上·河南郑州·期末）若方程有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．（22-23九年级上·河南郑州·期末）某药店营业员在卖布洛芬时发现，当布洛芬以每盒元销售时，每天销售是盒，若单价每降低1元，每天就可以多售出4盒，已知布洛芬的成本是每盒30元，设每盒布洛芬降低x元，如果药店一天能赢利元，可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23九年级上·河南郑州·期末）要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．计划安排28场比赛，设应邀请x个队参赛，则根据题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·河南郑州·期末）为加快推动生态巩义建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，林路相随”的生态格局，市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建草坪，如图，矩形长为40m，宽为30m，在矩形内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为，道路的宽度应为多少?设矩形地块四周道路的宽度为xm，根据题意，下列方程不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（22-23九年级上·河南郑州·期末）当 时，一元二次方程（m为常数）有两个相等的实数根． 12．（21-22九年级上·河南郑州·期末）已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1＝0的根，求代数式a2﹣2015a﹣的值为 ． 13．（23-24九年级上·河南郑州·期末）若是方程的一个根，则 ． 14．（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知一元二次方程有两个不同的实数根、，则的值为： ． 15．（23-24九年级上·河南郑州·期末）“感受绿茵魅力，传播足球文化”，2023河南省校园足球文化节隆重举行．本次采用单循环赛制（每两队之间赛一场），若计划安排36场比赛，则需要邀请 个球队参加． 16．（22-23九年级上·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数a的最大值是 ． 三、解答题 17．（23-24九年级上·河南郑州·期末）解下列一元二次方程： (1) (2) 18．（22-23九年级上·河南郑州·期末）已知关于的方程． (1)若此方程的一个根为，求它的另一个根及的值； (2)求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 19．（23-24九年级上·河南郑州·期末）在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个一元二次方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①；②；③；④． （注意：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．） 20．（21-22九年级上·河南郑州·期末）年某市商品房的销售均价为元，根据国家房地产市场宏观调控政策，经过两年下调后，到年商品房的销售均价为元．求该地市从年到年平均每年商品房下调的百分率． 21．（20-21九年级上·河南郑州·期末）已知关于的方程． （1）当取何值时，原方程没有实数根？ （2）对选取一个合适的非零整数，使原方程有两个不相等的实数根，并求此时这两个实数根． 22．（22-23九年级上·河南郑州·期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由． 23．（23-24九年级上·河南郑州·期末）第届亚运会于年月日至月日在杭州举行．某商店以每件元的价格购进亚运会吉祥物挂坠，以每件元的价格出售．据统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． (1)求该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率； (2)经市场预测，该吉祥物挂坠月份的销售量将与月份持平，商店为回馈顾客，决定降价促销，调查发现，该吉祥物挂坠的售价每降价元，月销售量就会增加件．那么每件售价定为多少元时，该吉祥物挂坠月份的销售利润可达到元． 参考答案： 1．A 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．通过定义判断即可． 【详解】解：A．符合一元二次方程的定义，故A符合题意； B．含有两个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意； C．等式左边含有分式，不是一元二次方程，故C不符合题意； D．中应该才是一元二次方程，故D不符合题意． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：C． 3．A 【分析】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式的范围进行解答即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴方程没有实数根， 故选：A 4．B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，观察题目所给方程，结合完全平方式的特征可知，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 把常数项移到方程的右边，得：， 两边都加，得：，即． 故选：B． 5．C 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行计算即可． 【详解】解：根据一元二次方程一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得：， 根据二次项系数 可得： 故选：C． 【点睛】考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 6．C 【分析】根据根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系式：，熟记两个关系式是解题的关键． 7．B 【分析】直接分方程为一次方程和二次方程时分别讨论即可． 【详解】当方程为一次方程时， ， 解得， 当方程为二次方程时，此时，即， ∵方程有解， ∴， 解得， ∴且， 综上所述，m的取值范围是， 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题时注意不要忘记方程为一次方程的情况． 8．C 【分析】设每盒布洛芬降低x元，根据单价每降低1元，每天就可以多售出4盒，药店一天能赢利元，列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设每盒布洛芬降低x元，根据题意得，， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 9．A 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：由题意可得，有x个队参赛，则每个队参加场比赛，且两队之间只有1场比赛， ∴方程为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键． 10．B 【分析】根据要使草坪的面积为，列一元二次方程，进一步判断即可． 【详解】解：可列方程， 故C选项不符合题意， 变形后，可得或， 故A选项不符合题意，D选项不符合题意， 不能得到， 故B选项符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键． 11． 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得到∆，计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程（m为常数）有两个相等的实数根， ∴∆，即， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键． 12． 【分析】利用方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：是方程的根， ， ， 原式 ． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 13． 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入得：， 解得． 故答案为：． 14．3 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．先利用根与系数的关系得到即可． 【详解】解：一元二次方程有两个不同的实数根、， ∴， 故答案为：3 15．9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设需要邀请个球队参加，利用比赛的总场数参数队伍数（参赛队伍数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设需要邀请个球队参加， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 需要邀请9个球队参加． 故答案为：9 16．1 【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 则a的最大整数值是1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根． 17．(1)，； (2)． 【分析】本题考查解一元二次方程．掌握因式分解法解方程是解题关键． （1）根据因式分解法解方程即可； （2）先整理，移项，再根据因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ∴或 解得：，； （2）解： 即 ∴． 18．(1)方程的另一个根为，的值为 (2)证明过程见详解 【分析】（1）把代入方程，可求出的值，从而得出方程的一般式，根据解一元二次方程的方法，即可求解； （2）根据方程根的判别式，恒大于零，则方程有两个不相等的实数根，即可求证． 【详解】（1）解：把代入方程得，， ∴， ∴关于的方程， 去分母得，， 因式分解得，， ∴原方程的解为：，， ∴方程的另一个根为，的值为． （2）解：关于的方程，，，， ∴， 令， ∵，即原方程的判别式恒大于零， ∴关于的方程，不论取何实数，方程有两个不相等的实根． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”． 19．选择③；选择④ 【分析】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0.方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解，选择条件时要先判断方程是否成立，再求解即可． 【详解】解：选①时，， ，方程有两个相等的实数根， 故①不符合题意； 选②时，， ，方程没有实数根， 故②不符合题意； 选择③时，， ， ， ； 选择④时，， ， 20． 【分析】利用平均增长率问题求解即可． 【详解】解：设这两年平均每年商品房下调的百分率为， 根据题意，得 解这个方程，得，． （不符合题意，舍去） 所以，平均每年商品房下调的百分率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，平均增长率问题，熟练掌握解题的基本思路是解题的关键． 21．（1）；（2），， 【分析】（1）根据方程没有实数根，，列关于的不等式，解不等式即可． （2）由（1）可得时，原方程没有实数根，则当时，方程有两个不相等的实数根，在范围内，任取一个非零的整数代入原方程，解一元二次方程即可． 【详解】（1）∵方程没有实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，原方程没有实数根． （2）由（1）可知，当时，方程有两个不相等的实数根，且为非零整数， ∴选取（不唯一），此时原方程变为， ∵， ∴， ， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，同时也考察了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法是解题关键． 22．(1)， (2)每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元； (3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析 【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答； （3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答． 【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元． 故答案为：，． （2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要让利于顾客， ∴． 答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元． （3）解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下： 设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元． 23．(1)； (2)元． 【分析】（）设该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （）设每件售价定为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率为， 根据题意得，， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：该吉祥物挂坠两个月销售量的月均增长率为； （2）解：设每件售价定为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得，， 整理得，， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：每件售价定为元时，该吉祥物挂坠月份的销售利润可达到元． 学科网（北京）股份有限公司 $$