河南省郑州市2024-2025学年九年级上学期期末数学复习（图形的相似近三年组题汇编）

河南省郑州市2024-2025学年九年级上学期期末数学复习（图形的相似章节重难点近三年组题汇编） 一、单选题 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．1或 D．2 2．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，中，为边上的点，且，已知的面积为4，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 3．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点均在格点上，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，，，，则长为（    ） A． B． C．2 D． 5．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，已知．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，测得边离地面的高度，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·河南郑州·期末）采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在截取，点就是线段的黄金分割点．若，则（　　） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，已知直线，相邻两条平行线间的距离都等于1，若矩形的四个顶点分别在三条直线上，且，则矩形的面积等于（    ） A． B． C．2 D． 9．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，小明探究“利用镜子反射测量旗杆的高度”．小明作为观测者，在旗杆和小明之间的地面上平放一面镜子，在镜子上作一个标记，小明看着镜子来回移动，当看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，通过测量得到以下数据：小明的眼睛到地面的距离为，小明的站的位置到镜子上标记的距离是，旗杆的底部到小明的位置是，则旗杆的高度为（    ） A． B．16 C．9 D． 10．（21-22九年级上·河南郑州·期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点 D、E 为 AC、BC 上两个动点， 若将∠C 沿 DE 折叠，使点 C 的对应点 C′落在 AB 上，且△ADC′恰好为直角三角形， 则此时 CD 的长为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，，它们依次交直线于点和点与相交于点．若，则 ．    12．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，点，，分别在，，上，，．若，，，则的长为 ． 13．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影，蹲下来，则身影，已知小明的身高，蹲下时的高度等于站立高度的一半，则灯离地面的高度为 ． 14．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，平分，于点F，D为的中点，连接延长交于点E．若，，则线段的长为 ． 15．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，对角线与相交于点O，点E在直线上运动，连接交直线于点F，当时， ． 16．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在矩形中，，，是的中点，连接，P是边上一动点，过点P的直线将矩形折叠，使点D落在上的处，当是以为腰的等腰三角形时， 17．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，等腰三角形中，，该三角形的两条高与交于点，连接，点为射线上一个动点，连接，若，当与相似时，的长为 ． 18．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，矩形中，，点E为的中点，点P为边上一个动点，连接，过点P作于点Q，当与相似时，的长为 ． 19．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，、分别是的边、上的点，，，且，则的长为 ． 20．（21-22九年级上·河南郑州·期末）如图，阳光通过窗口照到房间内，竖直窗框在地面上留下的影子m．已知点到窗下墙角的距离m，窗口底边离地面的距离m，窗口的高度 m． 三、解答题 21．（23-24九年级上·山西临汾·期中）在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)向下平移3个单位长度得到，点的对应点的坐标是________． (2)以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为，点的对应点的坐标是________． (3)的面积为________． 22．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，点，是中边上的点，． (1)求证： (2)若、，，求的长． 23．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在边长为3的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 24．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图（1），在中，，，，动点从点开始沿边匀速向运动，动点从点开始沿边匀速向运动，它们的运动速度均为1cm/s．点和点同时出发，设运动的时间为，． (1)用含的代数式表示； (2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值； (3)如图（2），延长、，两延长线相交于点，当为直角三角形时，直接写出的值（不用写过程）． 25．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，为边上的高，点为上不与，重合的一个动点，点为的中点，过点作，交于点，交于点，射线交于点，射线交于点．连接，． (1)如图1，若为等腰直角三角形，，则四边形的形状为______； (2)如图2，若为一般三角形，判断四边形的形状并说明理由； (3)在（2）的情况下，若，当四边形的面积与的面积相等时，求出的长． 26．（23-24九年级上·河南郑州·期末）综合与实践：    在综合与实践课上，刘老师引导学生探究矩形的折叠． 矩形纸片中，点为射线上一点，小明沿折叠得到，点的对应点为，分别延长，交直线于点，N． 【问题提出】 （1）如图1，若点与点重合，请判断与的数量关系为______； 【再次探究】 （2）如图2，当点与点不重合时，（）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若，，当时，直接写出的长． 27．（22-23九年级上·河南郑州·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： [观察与猜想] (1)如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，的值为 　 　； (2)如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 　 　； [类比探究] (3)如图3，在中，，， ，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，． ①求的值． ②连接，若，直接写出的长度． 28．（23-24九年级上·河南郑州·期末）综合与实践 【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接． 通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想： 猜想①：； 猜想②：； 猜想③：点E在上运动的过程中，四边形的面积不变． （1）上述猜想中正确的有______（填序号）． 【类比探究】 （2）兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究． 如图2，已知矩形，，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接． ①请判断线段与的数量关系，并说明理由； ②点E在上运动时，四边形的面积______（填“不变”或“改变”）． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 29．（23-24九年级上·河南郑州·期末）折纸是--种常见的游戏，九年级兴趣小组以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 如图1，在矩形纸片中，，首先沿过点B的直线翻折，使点A落在边上的点E处，折痕为，连接；此时，就可以得到一个四边形，则四边形的形状是哪种特殊的四边形?答：______． （2）深入探究 继续沿过点E的直线翻折，使点C落在边上的点G处，折痕为，连接，，延长交于点M，连接． ①的度数为______； ②猜想线段和的数量关系，并证明： 拓展应用 延长交矩形的边于点N，若，，直接写出的值． 30．（23-24九年级上·河南郑州·期末）综合实践课上，数学老师带领学生探究矩形的旋转． 【动手操作】 如图1，四边形是一张矩形纸片，，．先将矩形对折，使与重合，折痕为，沿剪开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为，所在直线与所在直线交于点． 【探究发现】 （1）连接，，，根据______（填选项），证得，； A．；B．；C．；D． （2）数学老师让学生动手操作后提出问题： ①“勤奋”组发现，如图2，当点落在边上时，边恰好经过点，提出问题：求两个矩形重叠部分四边形的面积；请你直接写出四边形的面积_______； ②“好学”组提出问题：如图3，当落在上时，连接，，发现，请你尝试证明； 【引申探究】 （3）当点落在矩形中的平分线所在直线上时，请直接写出线段的长． 参考答案： 1．C 【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当时，根据等比性质计算得出结果；②当时，则，代入计算得出结果． 【详解】解：分两种情况： ①当时，得； ②当时， 则，； 综上所述，k的值为1或． 故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先由平行四边形的性质得到，再证明得到，接着根据已知条件得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为9， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可得，，，， ∵， ∴， 即， ∴， 故选：． 4．B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，构建方程即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理写出比例式是解题的关键． 5．D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系． 由相似可得，利用三角形的外角性质可求得，从而可求的度数． 【详解】解：∵， ， 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先利用勾股定理求出长，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：在直角三角形纸板中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查黄金分割，熟知黄金分割的定义及巧妙运用勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，， ． 又， ． 又， ， 则， ． 故选：C． 8．D 【分析】通过证明，可求，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：过点A作于E，过点C作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 9．D 【分析】如图，，利用题意得，则可判断，然后利用相似比计算出的长． 【详解】解：如图，， ∴ 由题意得， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 即旗杆的高度为． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 10．C 【分析】依据△ADC′恰好为直角三角形，分两种情况进行讨论：当∠ADC'＝90°时，当∠DC'A＝90°时，分别依据相似三角形的对应边成比例，列方程求解，即可得到CD的长． 【详解】解：①如图，当∠ADC'＝90°时，∠ADC'＝∠C， ∴DC'CB， ∴△ADC'∽△ACB， 又∵AC＝3，BC＝4， ∴， 设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x， ∴， 解得x， 经检验：x是所列方程的解， ∴CD； ②如图，当∠DC'A＝90°时，∠＝90°， 由折叠可得，∠C＝∠DC'E＝90°， ∴C'B与CE重合， ∵∠C＝∠AC'D＝90°，∠A＝∠A， ∴△ADC'∽△ABC， Rt△ABC中，AB＝＝5， ∴， 设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x， ∴， 解得x， 经检验：是方程的解， ∴CD； 综上所述，CD的长为或． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了折叠问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，利用相似三角形的性质得到比例式列方程是解题的关键． 11． 【分析】本题考查平行线分线段成比例求线段长，由题意，数形结合得到，代值求解即可得到答案，熟记平行线分线段成比例是解决问题的关键． 【详解】解：， 由平行线分线段成比例可得， ， ，即，解得， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键，根据，，得，代入，，，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为． 13． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．设与相交于点，根据题意可得：，，，从而可得，然后证明字模型相似，，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：设与相交于点， 由题意得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 解得：， 灯离地面的高度为， 故答案为：． 14． 【分析】根据直角三角形斜边中线性质得到，结合角平分线推出，得到，进而证得是的中位线，求出即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵于点F，D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的应用，正确理解直角三角形斜边中线的性质及三角形中位线性质定理是解题的关键． 15．或 【分析】首先过点O作，交于点M，易得，求得，，再分点E在线段上和点E在射线上时两种情况讨论，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案． 【详解】解：过点O作，交于点M， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 当点E在线段上时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 当点E在射线上时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴； 综上，或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 16．3或/或/或/或 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：在矩形中， ∵，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， 当时，过点作于H．设，则，， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时， ． 综上所述，满足条件的的值为3或． 17．或 【分析】本题考查了相似三角形的性质；分两种情况讨论，①时，；②时，，分别根据相似三角形的性质，构造方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵，该三角形的两条高与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，设， 在中，， 解得：，即， 又， 如图所示， ①当时，； ∴， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，或， 故答案为：或． 18．或4 【分析】根据矩形性质得出，，，，，分时，，或时，，求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； 当时，，如图所示： 过点E作于点F， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中， 即， 解得：； 综上分析可知，或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是根据题意作出图形，并注意分类讨论． 19． 【分析】 求得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 20． 【分析】根据相似三角形的判定得出，再根据相似三角形的性质建立等式进行求解即可得出结果． 【详解】阳光是平行线，即， ． （公共角）， ． m，m， m． ， ，m． 故答案为：1.4． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的理解与实际应用能力．相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例；相似三角形的一切对应线段的比等于相似比．相似三角形的判定定理：两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似．明确对应边成比例是解本题的关键． 21．(1) (2)图见解析， (3)10 【分析】本题考查作图平移变换、位似变换、三角形的面积，熟练掌握平移和位似的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质即可得出答案； （2）根据位似的性质作图，即可得出答案； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）向下平移3个单位长度得到，点的对应点的坐标是． 故答案为：． （2）如图，即为所求． 点的坐标是． 故答案为：． （3）的面积为． 故答案为：10 22．(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据得到对应角相等，从而证明所求的两三角形相似； （2）根据相似三角形的性质，得到比例式，代入数据即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵、，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 23．(1) (2)详见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）通过证明，由相似三角形的性质可求解； （2）通过证明，可得，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， ， ， ， （2）证明：， ， 又， ， ， ． 24．(1)； (2)以点、、为顶点的三角形与相似时，或； (3)当为直角三角形时，的值为或． 【分析】（1）直接写出即可； （2）分当和时，利用相似三角形的性质，列式计算即可求解； （3）分当时，作于点D，则，利用平行线分线段成比例定理列式计算即可求解；当时，作于点N，利用相似三角形的判定和性质，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：，，， 由（1）得， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 综上，以点、、为顶点的三角形与相似时，或； （3）解：作于点D， ∵，，， ∴，， 当时，则， ∴，即， 解得； 当时，作于点N， ， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，，则， ∴， 解得； 综上，当为直角三角形时，的值为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 25．(1)矩形； (2)平行四边形，理由见解析； (3)4 【分析】本题考查了相似三角形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质与判定； （1）先证是等腰直角三角形，可得，，由线段垂直平分线的性质可得，由平行线分线段成比例可证，由矩形的判定可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质可得，由平行四边形的判定可得结论； （3）设，则，，根据题意建立方程，即可求解． 【详解】（1）解：点为的中点， ， 为等腰直角三角形，，， ，， ， ，，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ∴， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是平行四边形． ∵，   ∴；，   ∴， ∵，，   ∴， ∵，   ∴， ∵，   ∴四边形是平行四边形； （3）设，则， ∵，   ∴，   ∴， ∴当时，四边形与面积相等． 26．（1）；（2）成立，证明见解析；（3）或． 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定； （1）根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，由折叠可知：， 等量代换，即可得证； （2）同（1）的方法证明即可； （3）分两种情况讨论：①当点在线段上时，证明得出，，进而证明点与点重合；即可得出；②当点在的延长线上时，由可得：， 得出，设，则，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴ ∴ 由折叠可知：，   ∴ 故答案为：． （2）证明：四边形为矩形，   ∴，   ∴， 由折叠可知：，   ∴； （3）当时，线段的长为或． ①当点在线段上时，如图1， 由可得：， ∴， ∴，， ∴， ∵ 折叠可得，又在上，则 ∴点与点重合， ∴； ②当点在的延长线上时，如图2， 由可得：，   ∴，即， 则， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：，   ∴． 综上所述：当时，线段的长为或．      27．(1)1 (2) (3)①；② 【分析】（1）利用正方形性质，证明，即可得出； （2）利用正方形性质，证明，即可得出； （3）①先做辅助线，证明，再利用等角的正切相等和等面积法求出线段的长度，即可得出；②由①得，再利用勾股定理和相似性质求出的长度． 【详解】（1）如图1，设与交于点G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴=1； 故答案为：1； （2）如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （3）①如图4，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， 在中， ， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴a=（负值舍去）， ∴AH=，DH=， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ，， ∴， 由①得， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形，矩形的性质，全等和相似的判定及性质，严格的思维逻辑和集合语言的应用是解题的关键． 28．（1）①②③；（2）①，②改变；（3）线段的长为或 【分析】（1）由全等三角形的判定与性质可得出结论； （2）①证明，根据相似三角形的性质即可解答； ②由相似三角形的性质得出结论； （3）分两种情况，①当四边形关于所在直线对称时，②当四边形为矩形时，由轴对称的性质及直角三角形的性质可求出的长． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，，， ， ， 即， ， ， ， 又， ， ， ，， 猜想①、猜想②符合题意． ， ， ， 点在上运动的过程中，四边形的面积不变， 猜想③符合题意． 故答案为：①②③； （2），理由如下： 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． ②改变． 由①可知，且相似比为2， ， ， 点在上运动时，四边形的面积改变， 故答案为：改变． （3）分以下两种情况讨论： ①当四边形关于所在直线对称时，如图，此时交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． ②当四边形为矩形时，如图所示， ，，， ， ， ，， ， ， ， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 29．（1）正方形；（2）①；②或． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． （1）可推出，，，进而得出结果； （2）①可证得，，从而，进而得出，从而点B、E、M、F共圆，进而得出结果； ②在上截取，可证得，从而，，进而，从而，进一步得出结果； 拓展应用 当交于N时，此时，可推出，，从而，，得出，，求得a的值，进一步得出结果；当N在时，延长，，交于点W，设，则，，，可推出，，从而，，得出，，求得x的值，从而求得，，由得出结果． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得， ，， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， 故答案为：正方形； （2）①∵点C落在边上的点G处， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B、E、M、F共圆， ∴， 故答案为：； ②如图1， 在上截取， 由①知：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 拓展应用 如图2， 当交于N时，此时． ∵， ∴，， ∴，， 设， ∴，， ∴， （舍去）， ∴， 如图3， 当N在时，延长，，交于点W， 设，则，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， （舍去），， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 30．（1）B；（2）①；②证明见解析；（3）线段的长为或． 【分析】（1）根据三角形全等的条件即可解答； （2）①由折叠得，，由旋转得：，运用勾股定理可得，再证得，可得，再由，即可求得答案； ②连接，利用可证得，进而得出，即可推出； （3）分两种情况讨论，过点作于点，于点，可证得是等腰直角三角形，四边形是矩形，是等腰直角三角形，即可求得答案． 【详解】（1）解：连接，在和中， ，，， ， ， 故答案为：B； （2）①解：将矩形对折，使与重合，折痕为， 如图， ，， 由旋转得：， 在中，， ， 由题意得四边形和四边形是矩形， ， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：； ②证明：如图，连接， 在和中， ， ， ，， 与重合， ， ∴； （3）过点作于点，于点， 当点落在矩形中的平分线上时， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当点落在矩形中的平分线所在直线上， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 线段的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$