精品解析：内蒙古赤峰市2024-2025学年高三11月模拟考试数学试卷

赤峰市高三年级11·20模拟考试试题 数学 2024.11 本试卷共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名和准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知，是两个实数，，，则是的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求对应的x范围，结合对应的范围，判断、的充分、必要关系. 【详解】因为，解得， 又因为， 因为成立不能得到成立；由成立能推出成立， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 2. 下列说法正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，，可得，故C正确； 对于D，若，，，则，故D错误. 故选：C． 3. 已知，，，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数及运算性质可得，，再由基本不等式即可求解. 【详解】，所以，且， 所以，即， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由两角和差正弦公式展开求得，即可求解. 【详解】因为 两式联立可得： ， 所以， 故选：A 5. 已知集合，集合，集合，则以下元素属于集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的运算求得，各选项逐个验证即可. 【详解】，则， 又，则. 对于A，元素，不符合，故不属于集合，故A错误； 对于B，元素，不符合，故不属于集合，故B错误； 对于C，元素，符合所有条件，故属于集合，故C正确； 对于D，元素，不符合，故不属于集合，故D错误. 故选：C. 6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，，可得结论. 【详解】因，所以， 又，所以， ，则，， 所以，所以 故选：A. 7. 已知函数在区间上存在极值点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意在有解，转化为直线与有交点即可. 【详解】函数在区间上存在极值点， 意味着其导数在该区间内存在零点， 令,解得，考虑函数在区间上的值域， 由于，所以在该区间上单调递减， 计算和,可知在上的值域为， 因此的取值范围为. 故选：B. 8. 在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法运算及数量积模运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围． 【详解】由是边上的中线，得， 则， 由正弦定理得，得，， 则， 而， ， 于是 ， 由为锐角三角形，，得，即， 则，，因此，即， 所以的取值范围为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在同一直角坐标系中，函数，可能的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对分类讨论，结合指数函数与对数函数的图象与性质判断. 【详解】由题意，且， 的定义域为，的定义域为. 当时，， 函数在上单调递减，且过； 在上单调递减，且过， 所以函数，可能的图象是D； 当时，， 函数在上单调递增，且过； 在上单调递减，且过， 所以函数，可能的图象是B； 当时，， 函数在上单调递增，且过； ，其图象是直线，选项中没有符合要求的； 当时，， 函数在上单调递增，且过； 在上单调递增，且过， 所以函数，可能的图象是A. 综上，函数，可能的图象是ABD. 故选：ABD. 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，则（ ） A. 当时， B. C. 函数是增函数 D. 函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，利用，得到A正确；B选项，举出反例；CD选项，画出的图象，得到函数单调性和值域，得到D正确. 【详解】A选项，时，，故，A正确； B选项，当时，，， 故此时，B错误； CD选项，的图象如下： 可以看出在R上不单调递增，且值域为，C错误，D正确. 故选：AD 11. 已知函数的周期为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 直线是函数图象的对称轴 C. 在区间上有两个对称中心 D. 若在区间上有2024个根，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用周期求得，利用对称中心可求得，逐项计算可判断其正误. 【详解】因为函数的周期为，所以，解得， 因为，所以函数关于点对称， 所以，所以，又， 所以，所以， 当，所以，所以在区间上单调递减，故A正确； ，所以直线不是函数图象的对称轴，故B错误； 当，，所以在区间上有两个对称中心，故C正确； 由，可得， 解得或， 所以或，同一周期内，两个解的最近距离为， 因为一个周期内有两个根，又在区间上有2024个根， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知函数，则不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得时，是增函数，可解不等式. 【详解】当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 综上所述：，恒成立，所以函数是偶函数， 又时，是增函数， 由，得，得， 两边平方得，整理得，解得， 不等式的解集是. 故答案为： 13. 函数在上的导数为，若，且，则________. 【答案】2025 【解析】 【分析】由题意构造函数，利用导数研究其单调性，整理方程，可得答案. 【详解】令，由，且，则， 所以在上单调递增，由不等式，则， 可得，解得. 故答案为：. 14. 在半径为1，圆心角为的扇形中，是弧上的动点，是扇形的内接矩形，则矩形面积的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先结合几何图形，利用三角函数表示和，再求面积，根据三角函数恒等变换，结合函数的定义域，即可求解函数的最大值. 【详解】作出示意图如图所示，扇形中，，连结， 设，则，， ， 矩形的面积 ， 因为，则， 当，即时，面积取得最大值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：重点在于用三角函数表示和，进而表示出矩形的面积，通过三角恒等变换求得面积的最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求，. 【答案】（1） （2），或， 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式化简，再利用辅助角公式即可化简求值； （2）由三角形的面积公式及余弦定理可列出两个方程，联立求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可将 化为， 其中， 可得， 在中，，可得， 由辅助角公式可得， 因为，所以， 所以，可得. 【小问2详解】 的面积为，可得①， 由余弦定理，可得②， 由①②解得，或，. 16. 已知幂函数的图象过点，. （1）求的解析式； （2）记，在区间上的值域分别为，，若是的必要条件，求实数的取值范围； （3）设，对，使得成立，求正实数的最小值. 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义结合题意即可求解； （2）由幂函数和指数函数的性质可得，，由题意可得，列出不等式即可求解； （3）由题意得，且，利用指数函数及对勾函数的性质求出最值，列出不等式即可求解. 【小问1详解】 设幂函数，由题意，即， 即函数的解析式为. 【小问2详解】 由题意在区间上的值域为， 而函数区间上的值域为， 由是的必要条件可知， 即且，解得. 【小问3详解】 由题意， 对，使得成立， 可得， 在区间上单调递减，所以， 在区间上单调递增，在上单调递增， 所以， 令，可得， 解得（舍）或，即， 即正实数的最小值为1. 17. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点为图象上的最高点，点，为图象与轴的两个相邻交点，且是边长为的正三角形. （1）求与的值； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式可得，即可根据周期个最大值求解， （2）根据函数图象的平移伸缩变换可得，即可代入得，利用同角关系，以及余弦的差角公式即可求解. 【小问1详解】 由已知可得， 故，， ， 由题图可知，正三角形的高即为函数的最大值，则. 【小问2详解】 由（1）可知， 由函数的图象向右平移个单位长度，得到 再把横坐标变为原来的，得图象可知：， 由得，， 由得，， 从而， 故 18. 某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成.已知矩形的周长为8cm，设其中较长边为，将沿向折叠，折过后交于点. （1）用表示图1中的面积： （2）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（如图2阴影部分）双面镀金（厚度忽略不计），已知镀金的价格是2元/cm2，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用. 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，可推得，再在中，由勾股定理得，解得解得解得，，再结合面积公式，即可求解． （2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【小问1详解】 因为，所以， 又因为为较长边，所以，即. 设，则 因为，， 所以，所以， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以， 所以的面积（单位：） 【小问2详解】 设一枚徽章的镀金费用为元，则 , 由基本不等式可知：，当且仅当，即时等号成立， , 所以当时，一枚徽章的镀金部分所需的最大费用为元. 19. 2024年9月25日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导弹技术先进，飞行轨迹复杂，飞行时需要导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀螺仪才能引导导弹精准命中目标.为此我们需要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度. 如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数） （1）求函数在点处的曲率； （2）已知函数，求函数的曲率的最大值. （3）设函数，，若存在，使得的曲率为0，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到，二次求导得到，代入，求出函数在点处的曲率； （2）求导，二次求导，得到，令，求导得到其单调性，求出其最大值，得到曲率的最大值； （3）二次求导，令，得，令，求导，得到其单调性和极值情况，得到有两个解，设为，，，根据变形得到，，从而所证不等式等价于，令，求导得到其单调性，求出，得证.同理可证时不等式也成立. 【小问1详解】 ， ，， ，， 所以函数在点处的曲率为. 【小问2详解】 ，，， 由定义知为非负数，由题意得， ， ， ， 令，，令， 则在上恒成立， 在上单调递增，即， ，当且仅当时取到，所以曲率的最大值为. 【小问3详解】 函数，求导得，， 由曲率为0，得，则，即，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值， 又当时，恒成立，而，因此有两个解， 当时，，则，设，， 于是，，，则，， 不等式， 令，求导得， 因此函数在上单调递增，，则； 当时，， 不等式， ，同理，函数在上单调递增， 因此，则， 所以. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 赤峰市高三年级11·20模拟考试试题 数学 2024.11 本试卷共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名和准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知，是两个实数，，，则是的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 已知集合，集合，集合，则以下元素属于集合的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A B. C. D. 7. 已知函数在区间上存在极值点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 8. 在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在同一直角坐标系中，函数，可能的图象是（ ） A. B. C. D. 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，则（ ） A. 当时， B. C. 函数是增函数 D. 函数值域为 11. 已知函数的周期为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 直线是函数图象的对称轴 C. 在区间上有两个对称中心 D. 若在区间上有2024个根，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知函数，则不等式的解集是________. 13. 函数在上的导数为，若，且，则________. 14. 在半径为1，圆心角为的扇形中，是弧上的动点，是扇形的内接矩形，则矩形面积的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求，. 16. 已知幂函数的图象过点，. （1）求的解析式； （2）记，在区间上的值域分别为，，若是的必要条件，求实数的取值范围； （3）设，对，使得成立，求正实数的最小值. 17. 已知函数在一个周期内图象如图所示，其中点为图象上的最高点，点，为图象与轴的两个相邻交点，且是边长为的正三角形. （1）求与的值； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.若，，求的值. 18. 某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成.已知矩形的周长为8cm，设其中较长边为，将沿向折叠，折过后交于点. （1）用表示图1中的面积： （2）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（如图2阴影部分）双面镀金（厚度忽略不计），已知镀金的价格是2元/cm2，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用. 19. 2024年9月25日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导弹技术先进，飞行轨迹复杂，飞行时需要导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀螺仪才能引导导弹精准命中目标.为此我们需要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度. 如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数） （1）求函数在点处曲率； （2）已知函数，求函数的曲率的最大值. （3）设函数，，若存在，使得的曲率为0，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$