2.5.2 圆与圆的位置关系学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

研修主题 ：2.5.2 圆与圆的位置关系课堂笔记/导纲使用说明\ 【研修目标】 1.了解圆与圆的位置关系. 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 【原点整合】 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的? 前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。 【自主研修】 两圆的位置关系及其判定 （1） 几何法： 若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下： (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 例1、已知圆，圆，试断圆C1与圆C2的位置关系. 例2、已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍。试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O 的位置关系。 【合作研修】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例3、已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度． 解　(1)将两圆方程配方化为标准方程，则 C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50， C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10， ∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5， 圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝. ∴|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋， |r1－r2|＝|5－|， ∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2， ∴两圆相交． (2)将两圆方程相减， 得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0. (3)方法一　由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为 d＝＝3， ∴公共弦长为l＝2＝2＝2. 方法二　设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组 解得或 ∴|AB|＝＝2. 即公共弦长为2. 【课堂速正】 1、圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 2、圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为________． 【课堂总结】 【速正练习】 1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　) A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0 3．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是__________________． 4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是_______． 5．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为(　　) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 6.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是____________________． 7.当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14x＋k＝0相交、相切、相离？ 8.求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程． 参考答案 【课堂速正】 1、答案　B 解析　两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为＝，则R－r<<R＋r，所以两圆相交，选B. 2、答案　 解析　由题意将两圆的方程相减， 可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为 x＋y－1＝0. 又圆C3的圆心坐标为(1,1)， 其到直线l的距离为d＝＝， 设圆C3的半径为r， 由条件知，r2－d2＝－＝， 所以弦长为2×＝. 【速正练习】 1．答案　B 解析　化为标准方程：圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|＝＝<r1＋r2，又r2－r1<，所以两圆相交． 2．答案　C 解析　AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D. 3．答案　(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36 解析　设圆C的半径为r， 圆心距为d＝＝5， 当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4， 当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6， ∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16 或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 4．答案　x＋3y＝0 解析　圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10. 又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0. 5．答案　C 解析　圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121， O1(3，－8)，r＝11， 圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8， ∴|O1O2|＝ ＝13， ∴r－R＜|O1O2|＜R＋r， ∴两圆相交．∴公切线有2条． 心(0,0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1. 6.答案　x2＋y2－3x＋y－1＝0 解析　设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0， 则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0， 把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝， 所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. 7.解　将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k， 圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝(k＜50)． 从而|C1C2|＝＝5. 当1＋＝5，k＝34时，两圆外切． 当|－1|＝5，＝6，k＝14时，两圆内切． 当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1， 即14＜k＜34时，两圆相交． 当1＋＜5或|－1|＞5， 即34＜k＜50或k＜14时，两圆相离． 8.解　方法一　设经过两圆交点的圆系方程为 x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)， 即x2＋y2－x－y－6＝0， 所以圆心坐标为. 又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－－4＝0， 即λ＝－. 所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0. 方法二　由 得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x. 由解得 所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3,3)， 线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1)． 由得 即所求圆的圆心坐标为(3，－1)， 半径为＝4. 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$