3.2 双曲线同步练习卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2 双曲线同步练习卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 一、选择题 1．已知双曲线经过点，离心率为，则的标准方程为(　　) A． B． C． D． 2．双曲线x2－＝1的渐近线与圆x2＋(y－4)2＝r2(r＞0)相切，则r＝（　　） A． B． C． D． 3．若直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 4．双曲线的上焦点到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为(　　) A． B．4 C． D．2 5．点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（　　） A． B．4 C． D．8 6．已知，分别为双曲线C的左、右焦点，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，则（　　） A． B． C． D． 7．已知F为双曲线C：（，）的右焦点，过点F作x轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A和点B．若，则双曲线C的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知双曲线：（，）的右焦点为，点是双曲线的渐近线上的一点，点是双曲线左支上的一点.若四边形是一个平行四边形，且，则双曲线的离心率是（　　） A． B．2 C． D．3 二、多项选择题 9．已知方程，则(　　) A．存在实数，使得该方程对应的图形是圆 B．存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线 C．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线 D．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆 10． 已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可以是（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 11．已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（　　） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 12．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，则(　　) A．若的两条渐近线相互垂直，则 B．若的离心率为，则的实轴长为 C．若，则 D．当变化时，周长的最小值为 三、填空题 13．已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为　 　. 14．已知双曲线的方程为，右焦点为，若点，是双曲线的左支上一点，则周长的最小值为　 　 15．，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，且，则的面积为　 　. 16．已知分别为双曲线的左右焦点，l经过交双曲线右支于A，B两点，且，则b=　 　. 17．已知双曲线的左、右焦点分别为，若过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且.又以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为　 　. 四、解答题 18．已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为F，过的直线为，原点到直线的距离是 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 19．双曲线：上一点到左、右焦点的距离之差为6. （1）求的方程. （2）已知，，过点（5，0）的直线与交于M，N（异于A，B）两点，直线与交于点P，试问点P到直线的距离是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 20．已知双曲线的焦距为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 21． 已知焦点在轴的等轴双曲线的虚轴长为，直线与交于，两点，线段的中点为. （1）若直线过的右焦点且，都在右支，求弦长的最小值； （2）如图所示，虚线部分为双曲线与其渐近线之间的区域，点能否在虚线部分的区域内？请说明理由. 22．若点为双曲线上一点，，点A为双曲线的右顶点，过点P作直线l交双曲线C于点Q，l于y轴相交于点B，点D为y轴上一动点，O为原点. （1）求双曲线的方程． （2）若四点共圆. ①求的值； ②若，求直线的斜率. 答案 1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．B 7．B 8．A 9．A,C,D 10．A,B,C 11．B,C,D 12．A,C,D 13． 14． 15． 16． 17．2 18．解：（1）因为 原点到直线AB：的距离， 所以 故所求双曲线方程为 （2）把中消去y，整理得. 设，则 因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以 ， 可得 把代入， 解得： 解，得，满足， 19．（1）解：依题意可得 解得，， 故的方程为. （2）解：由题意可得直线的斜率不为0，设的方程为， 设，， 联立得， 则，，. 直线：，直线：， 联立与， 消去得 ， 解得，所以点在定直线上. 因为直线与直线之间的距离为， 所以点P到直线的距离为定值，且定值为. 20．（1）解：由题意知 解得双曲线的方程为. （2）证明：设直线的方程为， 联立方程组消去，得 则， 直线方程为， 令，则， 同理， 由，可得， ， ， ， ， ， ，即， 当时，， 此时直线方程为，恒过定点，不合题意； ，此时直线方程为，恒过定点. 21．（1）解：依题意可得，所以， 则双曲线的方程为，其渐近线方程为，右焦点， 又直线过的右焦点且，都在右支如图所示： 当直线的斜率不存在时直线的方程为，由，解得或， 所以； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由，整理得， 所以， 则，， 又且，解得， 所以， 所以， 所以弦长的最小值为. （2）解：设存在点在如图虚线部分的区域，使得为线段的中点， 则①， 设，，则，， 由，化简整理得， 当时点在轴上，显然不存在， 当时，直线的斜率，此时直线为， 由，整理得， 所以，则， ， 即②， ①与②矛盾， 所以不存在点在如图虚线部分的区域，使得为线段的中点. 22．（1）由题意可得：，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可知：双曲线的方程为，则， ①因为四点共圆，则， 由题意可知：直线l的斜率存在，设， 联立方程，解得或， 可知， 则， 又因为B的坐标为，则， 又因为， 则， 且，则，所以； ②如图，四点共圆，， 连接，因为四点共圆，则， 可知，可得，即. 因为，则， 可知三点共线，且，可得， 则直线，则， 由可知，则，可得直线， 代入可得： ，解得或， 因此直线的斜率为或0 学科网（北京）股份有限公司 $$