精品解析：广东省广州市白云区广州空港实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024-2025广州空港实验中学高二上10月月考 数 学 一、选择题: 本题共8小题， 每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合要求的. 1. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最大值. 故选：C. 3. 某同学口袋中共有个大小相同､质地均匀的小球其中个编号为，个编号为，现从中取出个小球，编号之和恰为的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先依题意得出满足条件的情况，再根据古典概型公式计算即可. 【详解】编号之和恰为,则需要3个球中个编号为,个编号为， 设个编号为的小球为ABC，个编号为的小球为ab， 则从5个球中取出3个，共有： ，共10种， 其中满足题意得情况有：共6种， 则编号之和恰为的概率为. 故选:D. 4. 某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该家族某成员出现性状为事件，出现性状为事件，进而根据题意得，再结合求解即可. 【详解】解：设该家族某成员出现性状为事件，出现性状为事件， 则两种性状都不出现为事件，两种性状都出现为事件， 所以，，， 所以，， 又因为， 所以，， 故选：B 5. 在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形，分别用表示出向量与，利用数量积的运算法则求解即可求． 【详解】如图所示， 棱长为1的正四面体中，因为分别是的中点， 则， 且， 所以 . 故选：C. 6. 已知a，b，c分别是方程，的根，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断结果. 【详解】解：由得，， 由方程得的根为 a，由方程得的根为b. 在同一平面直角坐标系中画出、、的图象， 由图象知，，，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛： 本题的解题关键在于运用函数方程思想，将方程，根的问题，转化成指数函数、对数函数的图象与直线交点的问题，突破难点. 7. 已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理及向量的线性运算可判断. 【详解】在中，令线段的中点为，由正弦定理， 得，由， 得 即，而， 则，于是得与同向共线，而它们有公共起点， 即动点的轨迹是射线除点A外),又重心在线段上， 动点的轨迹一定经过的重心． 故选：A. 8. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为、、，且.记该棋手连胜两盘的概率为，则（ ） A. 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，最大 【答案】B 【解析】 【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决 【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则； 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则； 因为， 则 即， 则该棋手在第二盘与甲比赛，最大，故B判断正确；ACD判断错误. 故选：B. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列公式比较大小，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由指数函数的性质确定ABC，乘后结合对数函数单调性确定D. 【详解】对于选项A：由于在上是单调递增函数，故，故A错误； 对于选项B：因为，且在上是单调递增函数， 所以，即，故B正确； 对于选项C：因为，，故，故C正确； 对于选项D：， 所以，即，故D错误； 故选：AD. 10. 已知为两个事件，，，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据事件概率的相关公式进行转化求解不等式即可. 【详解】因为，， 所以 所以, 即， 解得. 故选：BC 11. 某展会安排了分别标有序号为“1号”、“2号”、“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】按照发车的序号，列举基本事，求出再逐项分析即可； 【详解】按照发车的序号，列举基本事件如下： ，共6种， 方案一坐到“3号”车，包含的基本事件有：，共3种， 所以方案一坐到“3号”车的概率. 方案二坐到“3号”车，包含的基本事件有：，共2种， 所以方案二坐到“3号”车的概率. 所以、、，BCD选项正确，A选项错误. 故选：BCD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，，并且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由复数相等的条件表示出，再结合二次函数和正弦函数的性质求出范围即可； 【详解】由题意可得，， 所以， 因为， 所以当时，最大值为3；当时，最小值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 13. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.则“星队”在两轮活动中猜对1个成语的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论甲、乙两人猜对的情况，结合独立事件以及互斥事件概率求法运算求解. 【详解】若甲两轮猜对1个成语，乙两轮没有猜对成语，此时概率； 若甲两轮没有猜对成语，乙两轮猜对1个成语，此时概率； 所以“星队”在两轮活动中猜对1个成语的概率为. 故答案为：. 14. 函数，方程（）有3个实数解，则k的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件将方程的实数解问题转化为函数的图象与直线的交点问题，再利用数形结合即可作答． 【详解】解：方程有3个实数解，等价于函数的图象与直线有3个公共点， 因当时，在上单调递减，在上单调递增，，， 当时，单调递增，取到一切实数， 在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图： 由图象可知，当时，函数的图象及直线有3个公共点， 方程有3个解，所以k的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 现有两个红球（记为，），两个白球（记为，），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球. （1）写出试验的样本空间； （2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）按树形结构写出基本事件得事件空间； （2）事件空间中有6个样本点，再观察恰好抽到一个红球一个白球这个事件含有的样本点的个数后可得概率． 【详解】解：（1）两个红球（记为，），两个白球（记为，）， 采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球， 则试验的样本空间. （2）试验的样本空间，包含6个样本点， 其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点， ∴恰好抽到一个红球一个白球的概率. 16. 一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下： 分组 频数 频率 10 0.1 x 0.15 20 0.2 30 y 15 0.15 5 0.05 5 0.05 合计 100 1.00 （1）请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图； （2）请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）； （3）为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议． 【答案】（1）， （2） （3）选取本年度营销总额大于百万元的加盟店获评优秀加盟店称号. 【解析】 【分析】（1）根据频率与频数的关系，即可求解，再把频率除以组距即可画出频率分布直方图. （2）根据平均数计算公式即可求解. （3）根据百分位数公式即可求解. 【小问1详解】 ,频率分布直方图如图所示， 【小问2详解】 ， 故这100所加盟店去年销售总额的平均数为18.2. 【小问3详解】 第40百分位数为，故应选取本年度营销总额大于百万元的加盟店获评优秀加盟店称号. 17. 小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8、0.7、0.6，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，求： （1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率； （2）这三列火车至少有一列正点到达的概率. 【答案】（1）0.452 （2）0.976 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法公式计算可得； （2）结合独立事件的乘法公式由1减去三辆车全不正点到达的概率即可； 【小问1详解】 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件. 则，所以. 由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 . 【小问2详解】 三列火车至少有一列正点到达的概率为 . 18. 已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行． （1）甲船航行3小时到达C处，求AC； （2）在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由． 【答案】（1）海里； （2） 甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下： 如图所示，延长，过点A向正东方向作交的延长线于点D，连接，过点A作 交于点F， 在中，(海里)， 在中， (海里)， ， 由余弦定理得 ， 所以(海里)， 所以， 因此甲船能沿方向航行前往救援. 【解析】 【分析】（1）在中使用余弦定理即可求得答案. （2）先根据题目所给的条件作图，在中，由求得长度，在中，先根据余弦定理求得长度，再利用等面积法求得长度，即可判断. 【小问1详解】 由题意得，海里，海里，， 在中，由余弦定理得 ， 所以，(海里). 【小问2详解】 略 19. 在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为. （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求平面与平面所成夹角的正弦值. 【答案】（1） 底面为矩形，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面，而平面，所以， 又侧面为正三角形，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得，然后由线面垂直的判定定理证明线面垂直； （2）法一：取中点，证明平面，以为原点，过平行于的直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角求得的长，然后线线角的空间向量法求解；法二：找出在平面的投影，即可结合与平面所成角的正弦值计算得到与长度关系，再借助等角定理找到与相交且与平行的直线，最后利用余弦定理的推论计算即可得； （3）法一：由二面角的空间向量法求得余弦值再转化为正弦值；法二：先找到平面与平面交线，再作出相应二面角的平面角，再通过计算得到该平面角的正弦值即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：取中点，连接，则， 又因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 以为原点，过平行于的直线为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则， ，平面的一个法向量是， 因为与平面所成角的正弦值为.， 所以，解得（负值舍去）， ， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为； 法二：取中点，连接，，连接，取中点，连接、， 由为正三角形，则， 由侧面底面，侧面底面，平面， 故平面，则在平面上的投影为， 故即为直线与平面所成角， 则有，则， 则，， 则四边形为正方形，故， 连接，取中点，连接、， 由是的中点，则，且， 故直线与直线所成角与直线与直线所成角相等， 则， 故直线与直线所成角的余弦值为； 【小问3详解】 法一：由（2）知，设平面的一个法向量是， 则， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， ，，， 设平面的一个法向量是， 则， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， ， 设平面与平面所成夹角为， 则，从而． 所以平面与平面所成夹角的正弦值为． 法二：取中点，中点，连接、、， 过点作于点，过点作于点， 由、分别为、中点，则，， 由四边形为正方形，故且， 故，故平面与平面为同一平面， 则平面与平面所成夹角即为或其补角， 又，故，由为中点，故， 故四边形为矩形，则， 则，故，则， ， 则， 故，则， ， 故， 则， 即平面与平面所成夹角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025广州空港实验中学高二上10月月考 数 学 一、选择题: 本题共8小题， 每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合要求的. 1. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最小值 3. 某同学口袋中共有个大小相同､质地均匀的小球其中个编号为，个编号为，现从中取出个小球，编号之和恰为的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b，c分别是方程，的根，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心 8. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为、、，且.记该棋手连胜两盘的概率为，则（ ） A. 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，最大 C. 该棋手在第二盘与乙比赛，最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，最大 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列公式比较大小，错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知为两个事件，，，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 某展会安排了分别标有序号为“1号”、“2号”、“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为、，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ，，并且，则的取值范围为______. 13. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.则“星队”在两轮活动中猜对1个成语的概率为______. 14. 函数，方程（）有3个实数解，则k的取值范围为________． 四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 现有两个红球（记为，），两个白球（记为，），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球. （1）写出试验的样本空间； （2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率. 16. 一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下： 分组 频数 频率 10 0.1 x 0.15 20 0.2 30 y 15 0.15 5 0.05 5 0.05 合计 100 1.00 （1）请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图； （2）请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）； （3）为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议． 17. 小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8、0.7、0.6，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响，求： （1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率； （2）这三列火车至少有一列正点到达的概率. 18. 已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行． （1）甲船航行3小时到达C处，求AC； （2）在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由． 19. 在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为. （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）求平面与平面所成夹角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $