精品解析：湖南省湘西州溶江中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

湘西州溶江中学2024—2025学年第一学期期中考试 初二数学试卷 满分：120分 时量：120分钟 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 同学们试着用数学的眼光观察世界，下列图形中，没有运用到三角形的稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．根据三角形的稳定性结合实际问题进行解答． 【详解】解：A、用到了三角形的稳定性，不符合题意， B、用到了三角形的稳定性，不符合题意， C、用到了三角形的稳定性，不符合题意， D、用到了四边形的不稳定性，符合题意， 故选：D． 3. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的底边长为(　　) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】分已知边是腰长和底边两种情况讨论求解． 【详解】解：是腰长时，底边为， ∵， ∴、、不能组成三角形； 是底边时，腰长为， 、、能够组成三角形； 综上所述，它的底边长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，关键在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 4. 下列说法：①全等三角形是指面积相等的三角形，②周长相等的三角形是全等三角形，③全等三角形是指形状相同大小相等的三角形，④所有的等边三角形都是全等三角形，其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用全等图形的定义与性质分析得出答案． 【详解】解：①全等三角形是指面积相等的三角形，错误． ②周长相等的三角形是全等三角形，错误． ③全等三角形是指形状相同大小相等的三角形，正确． ④所有的等边三角形都是全等三角形，错误． 综上，只有③符合题意，即正确的个数为1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等图形的性质与判定，正确利用全等图形的性质得出是解题关键． 5. 如图，在平分角的仪器中，，，将点A放在一个角的顶点，和分别与这个角的两边重合，能说明就是这个角的平分线的数学依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键．根据全等三角形的判定得出，然后利用角平分线的定义即可证明． 【详解】解：在与中， ， ∴ ∴， ∴为的角平分线， 故选：D． 6. 过多边形的一个顶点可以作2023条对角线，则这个多边形的边数是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：，列方程求解． 【详解】解：设多边形有n条边， 则， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查多边形的对角线，解题的关键是记住n边形从一个顶点引出的对角线有条． 7. 如图，的垂直平分线交于点D，，，则的周长为（ ） A. 6 B. 10 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，然后问题可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 8. 一副三角板如图方式放置，其中，，点、分别在，上，与相交于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，再结合外角的性质求解即可． 【详解】 故选：B ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与其不相邻的两内角之和是解题关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，以为边在轴右侧作等边，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边按此规律继续作下去，则点的纵坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律，等边三角形的性质；根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是，以为边在右侧作等边，再过点作轴的垂线，垂足为，得点的纵坐标是，以此类推，得点的纵坐标是，即可求解． 【详解】解∶点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ，则点的纵坐标是， 以为边在右侧作等边，再过点作轴的垂线，垂足为， ，， ，即的纵坐标是， 同理，得点的纵坐标是， 按此规律继续作下去，得点的纵坐标为， 故选∶A． 10. 如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，则由轴对称知识可知，所以依据垂线段最短知：当在一条直线上，且时，取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出. 【详解】解：∵，平分， ∴， 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、， 则，，，，， ∴，，，， 当在一条直线上，且时，取最小值， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 【点睛】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 如图，，，，则的度数是_________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据三角形外角的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：， ， 是的外角， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 一个三角形的两边长分别是2和3，则它的第三边长x的范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形三遍关系，熟练掌握：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边是解决问题的关键． 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边直接得到结论． 【详解】解：三角形的两边长分别是2和3， 第三边长的取值范围是，即， 故答案为：． 13. 正十二边形的内角和是__________.正五边形的外角和是__________. 【答案】 ①. 1800°； ②. 360° 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：多边形的内角和定理=(n－2)×180°，任意多边形的外角和都是360°. 考点：多边形的内角和和外角和 14. 如图，四边形为一长方形纸带，，将纸带沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，根据平行线的性质和折叠的性质求出、的度数，再相减即可得出答案． 【详解】解：设， ， ，， ， ， 由折叠的性质可得：，， ， 解得：， ， ， ， 故答案为：． 15. 在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的与的和总是一个定值．则_____________度． 【答案】240 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， 故答案为：240． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 16. 若实数，满足，且，恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值的非负性应用及等腰三角形的性质有关计算，根据非负式子和为0它们分别等于0求出，，再结合等腰三角形性质及三边关系求解即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∵， ∴只能是作腰， ∴的周长是：， 故答案为：． 17. 如图所示，已知△ABC的周长是12，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是_____________ 【答案】18 【解析】 【分析】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=OD=OF，然后根据三角形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F， ∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE=OD=OF=3， ∴△ABC的面积=×（AB+BC+CA）×3=×12×3=18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 18. 如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是____________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①由条件证明，就可以得到； ②由①可以得出，进而得出结论； ③由条件知，由，就可以得出结论； ④根据三角形两边之和大于第三边，即可解答． 【详解】解：①， ，即． 在和中， ， ，故①正确； ，， ， ， ， ，故②正确； ③，， ， ． ，故③正确； ④在中，根据两边之和大于第三边，可得， ， ，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标，，． （1）在图中作出关于y轴对称的图形； （2）在y轴上找一点P，使最短，在图中标出P点的位置并写出P点坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，点P即为所求； 点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化轴对称，轴对称最短路径问题， （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质，连接，交y轴于点P，点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线解析式为，把点，代入得 ，解得：， ∴直线解析式为， 当时， ∴点坐标为． 20. a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 【解析】 【分析】连接MN，先画出a、b两线所组成的角的平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求． 【详解】 ①以A为圆心，以任意长为半径画圆，分别交铁路a和公路b于点B、C； ②分别以B、C为圆心，以大于BC为半径画圆，两圆相交于点D，连接AD，则直线AD即为∠BAC的平分线； ③连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于E、F，连接EF，则直线EF即为线段MN的垂直平分线； ④直线EF与直线AD相交于点O，则点O即为所求点． 同理可求O’点 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的到线段两端的距离相等；角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 21. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】根据证明，即可得出结论； 【详解】略．嘻嘻嘻解： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法：． 22. 如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， 又在和中， ， ， ． ， 即， 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 根据可得，进而根据证明，可得，由即可证明结论． 【详解】略 23. 如图，树垂直于地面，为测树高，小明在处，测得，他沿方向走到处，线段米，测得，求树的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到米，由直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：，， ， ， （米）， 又， （米）， ∴树的高度为米． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，等角对等边，三角形的外角的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 24. 如图，在中，，D为延长线上一点，点E在边上，且，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，为延长线上一点， ∴ 在和中， ， ∴()． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）由全等三角形的判定定理证得结论； （2）利用①中全等三角形的对应角相等，等腰直角三角形的性质可以求得 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ 25. 如图，在等边三角形中，点P，Q分别在上，且，与交于点M，在上取一点N，使，连接．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：∵为等边三角形， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】先证明，则，．又由即可证明是等边三角形． 此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 【详解】略 26. 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． （1）【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：． （2）【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数． 小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴（等量代换） 即， 在和中 ∴． （2） 解：∵中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3） ；理由如下： 如图，在的延长线上找一点E，使， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可知，采用“边角边”的方法证明； （2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“边角边”证明，推出，即，由此得出； （3）在的延长线上找一点E，使，设，同（2）证明，推出，，由此得出． 【小问1详解】 略；略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，三角形内角和定理的应用，属于规律探究题，难度逐步加大，解题的关键是充分利用类比方法，参考上一问的方法步骤找到解题方向． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘西州溶江中学2024—2025学年第一学期期中考试 初二数学试卷 满分：120分 时量：120分钟 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 同学们试着用数学的眼光观察世界，下列图形中，没有运用到三角形的稳定性的是（ ） A. B. C. D. 3. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的底边长为(　　) A. B. C. 或 D. 或 4. 下列说法：①全等三角形是指面积相等的三角形，②周长相等的三角形是全等三角形，③全等三角形是指形状相同大小相等的三角形，④所有的等边三角形都是全等三角形，其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在平分角的仪器中，，，将点A放在一个角的顶点，和分别与这个角的两边重合，能说明就是这个角的平分线的数学依据是（　　） A. B. C. D. 6. 过多边形的一个顶点可以作2023条对角线，则这个多边形的边数是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 7. 如图，的垂直平分线交于点D，，，则的周长为（ ） A. 6 B. 10 C. 16 D. 18 8. 一副三角板如图方式放置，其中，，点、分别在，上，与相交于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，以为边在轴右侧作等边，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边按此规律继续作下去，则点的纵坐标为( ) A. B. C. D. 10. 如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 如图，，，，则的度数是_________． 12. 一个三角形的两边长分别是2和3，则它的第三边长x的范围为________． 13. 正十二边形的内角和是__________.正五边形的外角和是__________. 14. 如图，四边形为一长方形纸带，，将纸带沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为___________． 15. 在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的与的和总是一个定值．则_____________度． 16. 若实数，满足，且，恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是______． 17. 如图所示，已知△ABC的周长是12，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是_____________ 18. 如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是____________（填序号）． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标，，． （1）在图中作出关于y轴对称的图形； （2）在y轴上找一点P，使最短，在图中标出P点的位置并写出P点坐标． 20. a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置（不写作法，保留作图痕迹）． 21. 如图，已知，，，求证：． 22. 如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，，，．求证：． 23. 如图，树垂直于地面，为测树高，小明在处，测得，他沿方向走到处，线段米，测得，求树的高度． 24. 如图，在中，，D为延长线上一点，点E在边上，且，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 25. 如图，在等边三角形中，点P，Q分别在上，且，与交于点M，在上取一点N，使，连接．求证：是等边三角形． 26. 央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到：“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． （1）【模型探究】如图1，和中，，，且连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证：． （2）【模型指引】如图2，中，，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数． 小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点B向右下方延伸．仍在射线上取点D，使，试判断与有何数量关系？并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $