精品解析：黑龙江省大庆市实验中学实验二部2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

大庆实验中学2024-2025学年度上学期高一年级期中考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分. 1. 已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，集合中的元素在集合中没有元素与之对应，A不是； 对于B，集合中的元素在集合中没有元素与之对应，B不是； 对于C，集合中的每个元素，按照，在集合中都有唯一元素与之对应，C是； 对于D，集合中的元素在集合中没有元素与之对应，D不是. 故选：C 2. 已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的交并补运算，及韦恩图求阴影部分对应的集合. 【详解】由题设或，或， 所以，由图知，阴影部分为， 所以. 故选：D 3. 已知：，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式、对数不等式求对应范围，结合充分不必要条件有，即可得范围. 【详解】由，可得； 由， 因为是的充分不必要条件，则. 故选：C 4. 函数在上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性，可排除B；由时，可排除选项CD，可得出正确答案 【详解】，所以函数是奇函数，排除选项B， 又，排除选项CD， 故选：A 5. 已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 4048 D. 4049 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知有，进而可得、，利用对称性求目标式的值. 【详解】由题可知：，则， 所以，且， 则 . 故选：D 6. 已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设有在上递减，且函数图象关于对称，利用单调性和对称性解不等式求解集. 【详解】由题设，在上递减，且函数图象关于对称， 根据，则， 所以，可得. 故选：D 7. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设及对应二次函数性质知的对称轴为且求参数关系及范围，进而求目标式范围. 【详解】由题设，二次函数的对称轴为，则， 且，即，所以，可得， 所以. 故选：B 8. 设函数，正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由题设可得，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】由题设，则，整理得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以目标式最小值为. 故选：B 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用不等式性质判断A、B、C，应用作差法判断D. 【详解】A：时有，错； B：由，必有，对； C：由，即，则，对； D：， ，且，，，故， 所以，即，对. 故选：BCD 10. 已知，若，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用对数的运算性质，用表示出，结合各项判断正误. 【详解】A：时，，， 故，，所以，对； B：同A分析，，， 若，则，对； C：由B分析，， 则或，错； D：同C分析，，则或，错. 故选：AB 11. 已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是32 【答案】BC 【解析】 【分析】根据解析式画出的大致图象，数形结合研究与交点横坐标，得，并由对数函数、二次函数性质得、，进而判断各项正误. 【详解】由题设的大致图象如下，，，，为与交点横坐标， 由图知，，，A错； 且，，B、C对； 由，而， 所以，无最小值，D错. 故选：BC 12. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】A令判断；B令结合在上的不恒为零判断；C令得，再由已知求；D若，由题设得，令结合单调性定义及已知判断单调性. 【详解】A：令，可得，对； B：令，则， 由在上的不恒为零，故不恒成立，错； C：令，则，则， 令，则，对； D：若，则，即， 取，则，显然，即， 所以，即，故在单调递减，对. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数，则不等式的解集是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，再分析该函数的单调性即可得． 【详解】， 则 ， 又， 故的定义域为，故为奇函数， 当时，有均为单调递增函数，故在上为增函数， 又为奇函数，故该函数在定义域上单调递增， 即可得，解得． 故答案为：． 14. 定义：表示不超过的最大整数，如，，已知函数，，则函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义及分式型函数的值域，求在、上对应值域，即可得结果. 【详解】由， 当时，，则； 当时，，则. 所以函数的值域为. 故答案为： 15. 函数在区间上严格递增，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】运用复合函数的单调性分别研究当与时在上的单调性，且在恒成立，结合二次函数的单调性即可求得结果. 【详解】由题意知，且， 令，则其对称轴为， ①当时，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，且在恒成立， 则，解得， ②当时，由复合函数的单调性可知，在上单调递减，且在恒成立， 则，解得， 综述：或. 故答案为：. 16. 已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得方程在上有解，代入化简整理，令，换元得，在时有解，结合二次函数的图像性质，对的取值进行分类讨论，即可求解. 【详解】已知函数，由于的图象上存在不同的两个点关于原点对称，所以在上有非零解， 即在上有解， 即在上有解， 令，当且仅当，即时，等号成立， 则，在时有解， 令，其对称轴为， ①当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得； ②当时，在上单调递增， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 经检验时,不合题意， 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分. 17. 设函数的定义域为，的定义域为. （1）求集合，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由根式、对数的性质求函数定义域，确定集合； （2）根据包含关系列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题意，，即，解得，即， 由题意，，因为，则，可得， 即. 【小问2详解】 因为，所以，解得， 又，所以，即实数的取值范围. 18. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设有，应用换元法，令，将问题化为求二次函数的值域； （2）同（1）换元，问题化为，能成立，结合对勾函数性质求右侧最大值，即可得范围. 【小问1详解】 由， 设，则， 当时，取得最小值；当时，取得最大值， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 由， 令，则 又，能成立， 设，函数在上单调递减，在上单调递增. 又，，所以， 由不等式在上有解，得， 因此，的取值范围是. 19. 已知幂函数为奇函数，. （1）若，求； （2）已知，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，结合奇偶性即可求解，进而可得的表达式，代入即可求解， （2）利用单调性的定义求解的单调性，即可根据单调性求解函数的最值，问题转化成，即可求解. 【小问1详解】 对于幂函数，得，解得或， 当时，不是奇函数，舍去， 当时，是奇函数，满足题意. ∴，∵，∴. 【小问2详解】 关于的不等式在上恒成立，即在上恒成立， 令，下面先研究函数的单调性 ，不妨设，则 ， ∵，∴，，， ∴，即， 故在上单调递增，∴， 由题意，，解得，所以的取值范围是. 20. 已知函数是偶函数，其中为实数. （1）求的值； （2）若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数性质得到恒等式，求参数值即可； （2）由题设有，应用换元法，令且，结合二次函数性质，讨论对称轴与区间的位置研究最小值，即可得参数值. 【小问1详解】 因函数（）是偶函数， 故 ， 因且不恒为0，故，得. 【小问2详解】 由（1），得， 则， 设，因，则，，其对称轴为， ①当时，在区间上单调递减，则，解得，不符题意，舍去； ②当时，在区间上先减后增，故，解得，故； ③当时，在区间上单调递增，则，解得，不符题意，舍去. 故存在，使得的最小值为0. 21. 已知函数的定义域为，对于给定的，若存在，使得函数满足： ①函数在是单调函数； ②函数在上的值域是，则称是函数的级“理想区间”. （1）判断函数，是否存在1级“理想区间”？若存在，请写出其中2个符合题意的区间.（直接写结果） （2）证明：函数存在3级“理想区间”； （3）设函数，，已知函数单调递增，若函数存在级“理想区间”，求的值. 【答案】（1）存在， （2） 设函数存在3级“理想区间”，则存在区间，使的值域是. 因为函数在R上单调递增， 所以，即方程有两个不等实根. 设， 可知，，，， 由零点存在定理知，存在，，使，. 设，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”. （3）2或3. 【解析】 【分析】（1）直接由“理想区间”的定义判断即可. （2）由题意结合函数的单调性得，即方程有两个不等实根. 设，由零点存在定理知有零点，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间” （3）根据函数在上为单调递增得到，转化为方程在上有两个不等实根进而转化为在至少有一个实根.分、三种情况，分别求得满足条件的k即可. 【小问1详解】 存在. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若函数存在级“理想区间”，则存在区间，函数的值域是. 因为，任取 ，且， 有， 因为，所以， 所以 ，即， 所以 函数在上为单调递增函数. 所以 ，于是方程在上有两个不等实根. 即在上有两个不等实根. 显然是方程的一个解，所以在至少有一个实根. （1）当时，，不合题意，舍； （2）当时，方程无实根，舍； （3）时，, 所以，解出. 所以，又因为，所以或. 22. 设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. （1）求证：为奇函数； （2）求证：在上单调递增； （3）若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 【答案】（1） 的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得，∴， 令，得， ∴，， ∴为奇函数； （2） 时，，， ∴，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，∴，∴时，， 又∵为奇函数，∴时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ∴， 又，∴，∴， ∴，，∴在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）赋值法求得，然后再令可证得奇函数； （2）由已知先证得，再根据单调性定义可得答案； （3）由已知求出，然后已知不等式化简后由函数的单调性转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ∴， ， ∵不等式对恒成立， ∴对恒成立， 又在上单调递增， ∴对恒成立， 即对恒成立， 设，，即对成立 当时，符合题意； 当时，，解得：. 综上可知：的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性，抽象函数的不等式恒成立问题并考查求二次函数的值域．解决抽象函数的基本方法是赋值值，根据函数的奇偶性、单调性的定义进行赋值，从已知式中得出与的关系，得出的正负，赋值时有时需要求出具体的函数值，如本题求，在对第（3）问题中不等式进行变形时还需要求得，解题的关键就是已知抽象函数的性质：，利用它对进行变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学2024-2025学年度上学期高一年级期中考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分. 1. 已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合或，或，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知：，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 函数在上的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 4048 D. 4049 6. 已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，，则 10. 已知，若，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是32 12. 已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 若，则 D. 若当时，，则在单调递减 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数，则不等式的解集是_________. 14. 定义：表示不超过的最大整数，如，，已知函数，，则函数的值域为______. 15. 函数在区间上严格递增，则实数的取值范围是___________． 16. 已知函数，若的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数的取值范围为_____________. 四、解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分. 17. 设函数的定义域为，的定义域为. （1）求集合，； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 19. 已知幂函数为奇函数，. （1）若，求； （2）已知，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 20. 已知函数是偶函数，其中为实数. （1）求的值； （2）若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数的定义域为，对于给定的，若存在，使得函数满足： ①函数在是单调函数； ②函数在上的值域是，则称是函数的级“理想区间”. （1）判断函数，是否存在1级“理想区间”？若存在，请写出其中2个符合题意的区间.（直接写结果） （2）证明：函数存在3级“理想区间”； （3）设函数，，已知函数单调递增，若函数存在级“理想区间”，求的值. 22. 设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. （1）求证：为奇函数； （2）求证：在上单调递增； （3）若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $