河南省驻马店市第一高级中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

河南省驻马店第一高级中学 2024-2025学年高三上期11月测试（一） 数学试题 命题人：梅天成 审题人：刘路 一、单选题：本大题共8小题，每小题共5分，共40分. 1．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最小值是 A． B． C． D．1 2．已知角的终边过点，则 A． B． C． D． 3．已知等比数列的前n项和为，若，则等于 A． B． C． D． 4．若，则下列命题正确的是 1 学科网（北京）股份有限公司 A．若，则 C．若，，则 B．若，，则 D．若，，则 5．已知函数满足，若函数在上的零点为，则 A． B． C． D． 6．已知数列通项公式为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则 A． B． C． D． 7．在平行四边形中，点是对角线上任意一点（点与不重合），且，则四边形的面积为   A． B．2 C． D． 8．若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为 A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知定义在R上的函数满足，当时，，，则 A． B．为奇函数 C．为减函数 D．当时， 10．已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是 A．的最小值为 B．的最小值为4 C．当时，则 D．当时，则 11．高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有 A． B． C． D． 三、填空题：每小题5分，共15分 12．已知是第二象限角，且，则 ， . 13．下列可以成为不等式“”成立的必要不充分条件的有 .（填序号） ①； ③ ② ④. 14．设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数是定义在上的奇函数且. （1）求的表达式； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论； （3）解关于的不等式. 16．已知函数. （1）求函数的单调递减区间和对称中心； （2）在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，求. 17．已知数列的前项和为，，数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前项和； （3）若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围. 18．已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求k的值； （3）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值. 19．如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. $$ 河南省驻马店第一高级中学 2024-2025学年高三上期11月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D B D D D ABD ACD 题号 11 答案 BCD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13．③④ 14． 15．(1) (2)答案及解析 (3) 【分析】（1）对于奇函数，有，再结合，可以求出函数中的参数和，从而得到函数表达式.（2）要判断函数单调性，可通过设出区间内的两个自变量，，然后作差，根据差的正负来判断单调性.（3）根据函数的奇偶性和单调性来解不等式即可. 【详解】（1）因为是奇函数，定义域为，所以， 即，所以.又因为，， 把代入得，解得. 所以，经验证此时为奇函数. （2）在上单调递减.理由如下： 设. 因为，所以，，，，. 所以，即，所以在上单调递减. （3）解关于的不等式，因为是奇函数， 所以可化为. 又因为在上单调递减，所以， 解得.解得. 解得. 综上，取交集得. 16．(1)，，其中． (2)1 【分析】（1）先将函数转化为含有一个三角函数的表达式，可求出单调区间和对称中心； （2）根据，得到，再根据向量的数量积可求得的结果，最后根据余弦定理可求得的值. 【详解】（1）， 令，解得：， 该函数的单调递减区间为：， 令，解得， ∴函数的对称中心坐标为，其中； （2）∵，∴， ∵，∴，故， ∴， ∵， 且，， ∴，解得：， 由余弦定理可知，． 17．(1)， (2) (3) 【分析】（1）对于，得，两项相减即得到，从而利用等比数列通项公式求通项；对于数列，由等差数列通项公式求解即可； （2）由可知采用错位相减法求和； （3）求出的最大值为1，故，可得，分离参数得恒成立，故. 【详解】（1）数列的前项和为①， 当时，解得. 当时，②， ①－②得，整理得， 所以（常数），所以数列是以为首项，2为公比的等比数列； 所以. 数列满足，点在直线上. 所以（常数），所以. （2）， 所以①， ②， ①－②得， 整理得. （3）由（1）得， 所以， 所以数列为单调递减数列，所以，所以的最大值为1， 对所有的正整数都有都成立， 故，可得， 所以恒成立，只需满足，故， 故的取值范围为. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标，写出切线方程即可； （2）利用导数研究的最值，由最小值为0，进一步利用导数研究方程的根即可； （3）应用（2）的结论，结合数列求和知识研究m的取值范围，进而求得最小值. 【详解】（1）当时，，， 所以，所以切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）因为， 当时，， 所以在上单调递增， 又因为，与不符； 当时，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，所以， 设， 则， 由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以有唯一解，且. （3）由（2）知当时，， 当且仅当时，. 所以当且时，， 则. 取（），所以， 所以，，， 所以. 所以 所以 于是对于任意正整数n，， 只需，又因为，所以， 则m的最小值为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 19．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可； （2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证； （3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域. 【详解】（1）因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以,， 所以. （2）由（1）知， 所以 ， 即. （3）因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可. $$