天津市燕京高级中学2024-2025学年高三上学期11月23日周考数学测试题

★2024年11月23 日★ 燕京高中2025届高三数学学科周考测试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题9小题，每小题5分，共45分. 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 7．在等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则等于（    ） A． B． C． D． 8．已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，将的图象向右平移个单位，得到的图象，下列关于函数的性质说法正确的是 A．的图象关于对称 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 第II卷（非选择题） 二、填空题：本大题6小题，每小题5分，共30分. 10．i是虚数单位，若复数为纯虚数，则 ． 11．过点且与函数图象相切的直线方程为 . 12．在1和15之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是 ． 13．如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则 ． 14．已知平行四边形中，，，，则 ；若，，则的最大值为 ． 15．已知是函数的两个零点，且，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，且函数在恰有2个极值点，则实数取值范围为 . 三、解答题：本大题5小题，共75分. 16．（14分）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若，，求的值． 17．（15分）在中，角所对边分别为，且. (1)求角的大小; (2)若. （i）求的值; （ii）求的值. 18．（15分）如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 19．（15分）已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的值． 20．（16分）已知等差数列中，，， （1）求数列的通项公式； （2）若将数列的项重新组合，得到新数列，具体方法如下：，，，，，依此类推，第项由相应的中项的和组成. （i）求数列的通项公式； （ii）求数列的前项和. Yanjing Middle School 燕京中学 京 中 学 Yanjing Middle School 燕京中学 京 中 学 试卷第3页，共4页 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 试卷第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 周考参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B A A A B C D D D 1．B【详解】，故，故选：B． 2．A【详解】对A，根据正弦函数的性质可得是奇函数，在单调递增，故A正确； 对B，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故B错误； 对C，在单调递递减，故C错误； 对D，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故D错误.故选：A. 3．A【详解】不等式等价于， 使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集， 由此对照各项，可知只有A项符合题意．故选：A． 4．A【详解】，即， ，即，，即，则．故选：A. 5．B【详解】定义域为，， 为定义在上的奇函数，图象关于坐标原点对称，C错误； 当时，，， 在上单调递增，AD错误，B正确.故选：B. 6．C【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 7．D【详解】设等比数列的公比为，由题意，，即， ，则，，则，所以D正确. 8．D【详解】，由，得， 所以向量在上的投影向量为.故选：D 9．D【详解】由题意知，令，得， 即在区间上单调递增.故选D. 10．【详解】, 所以，所以.故答案为：. 11．【详解】设切点为，则， 由可得：，由导数的几何意义可知：切线的斜率为， 所以切线方程为，将点代入切线方程可得， 所以，解得，所以切线方程为：即， 12．【详解】由题可知，，所以有 ， 当且仅当，即时等号成立，此时满足.故答案为： 13． 7：5【详解】设三棱柱的高为h，上下底面面积均为S，体积为V， 则，因为E，F分别为AB，AC的中点，故, 结合题意可知几何体为棱台， 则，故,故， 14． 【详解】由已知， 所以，所以， ； 因为，， 所以， ， ， 所以时，取得最大值．故答案为：；． 15．【详解】由，即， 可得或， 根据正弦函数图象性质可知，解得， 则； 将函数的图象向左平移个单位可得， 又为偶函数， 则，又，可得，因此； 当时，可知， 若函数在内恰有个极值点，可知， 解得，所以实数的取值范围为.故答案为：. 16．(1)；(2). 【详解】（1）依题意，函数， 所以函数的最小正周期. （2）由（1）知，，由，得， 由，得，， 所以 . 17．(1)(2)(i) ，(ii) 【详解】（1）由及正弦定理，可得， ， 由余弦定理可得， ，. （2）（i）及正弦定理，可得， ，即， 因为，且 可得为锐角，所以. （ii），， 由（1），知， 所以 18．(1)证明见解析；(2)；(3). （3）由（2）中信息，利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】（1）连接BD，交AC于点O，由P，O分别为DF和DB的中点，得， 而平面APC，平面APC，所以平面APC.    （2）由直线平面ABCD，平面ABCD，得， 由矩形ABCD，得，以A为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则， ， 设平面BCF的法向量，则，令，得， 设平面APC的法向量为，则，令，得， 所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为. （3）由（2）知，平面APC的法向量，而， 所以点F到平面ACP的距离. 19．(1)答案见解析(2) 【分析】（1）先求导函数，再分两种情况结合导函数正负讨论函数的单调性； （2）特殊值缩小参数范围，再根据导函数得出函数单调性得出最小值，再构造函数得出函数单调性及最值即可求参. 【详解】（1）, 当时，恒成立； 当时，； 综上，当时，在上单调递增，无减区间； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 所以， 因为所以， 令， 当单调递增，当单调递减， 所以， 所以满足，只能是， 所以. 【点睛】方法点睛：特殊值缩小参数范围，根据导函数得出函数单调性取得最小值，再构造函数得出函数单调性及最值找出矛盾即可求参. 20．（1）；（2）（i）；（ii）. 【分析】（1）设的公差为，利用等差数列性质知，由此构造方程组求得，由等差数列通项公式可求得公差，由此可得； （2）（i）采用分组求和的方式，结合等差数列求和公式可求得； （ii）由（i）得到的通项，由等比数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由知， 且，，， ； （2）（i）由题意得：， 即 是首项为，公差为的等差数列的项的和， ， ； （ii）由（i）知：，. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列通项和求和问题，解题关键是能够根据的形式，采用分组求和的方式，结合等差数列求和公式，求得的通项公式. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$