空间几何体的三视图和直观图讲义-2025届高三数学一轮专题复习

空间几何体的三视图和直观图 1．中心投影与平行投影 名称 定义 性质 中心投影 光由一点向外散射形成的投影 投影线交于一点 平行投影 一束平行光线照射下形成的投影 投射线互相平行 2．空间几何体的三视图 名称 观察方向 反映物体的 正视图 由前向后 长度 和 高度 ． 侧视图 由左向右 宽度 和 高度 ． 俯视图 由上向下 长度 和宽度 ． 3．空间几何体的直观图画法 步骤 具体画法 画轴 1 原图形中，取互相垂直的轴、轴、轴， 三轴相交于点． ②直观图中，画轴、轴、轴，三轴相交于 点．使． 画线 原图形中平行于轴、轴、轴的线段， 在直观图分别画成平行于轴、轴、轴． 取长度 ①原图形中平行于轴、轴的线段，在直观图中 长度保持不变． 2 原图形中平行于轴的线段，在直观图中 长度为原来的一半． 1．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能为（ ） A．三棱台 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥 【答案】B 【解析】几何体如图所示， 这是一个三棱柱． 2．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆柱和圆锥的底面圆半径， 圆柱的母线长为，圆锥的母线长为， ∴其表面积． 考点一 平面图形的直观图 【例1】正三角形的边长为，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是________． 【答案】 【解析】画出坐标系，作出的直观图(如图)． 为的中点．易知(为的中点)， ∴. 【方法技巧】直观图面积是其平面图形的面积的倍. 【变式】一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面四边形面积为________． 【答案】 【解析】平面图形的面积是其直观图面积的倍， 且直观图的面积为，所以原图形的面积为. 考点二 简单几何体的三视图 【例2】（1）一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧视图的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正三棱柱的底面边长为，高为， 由三视图可知：，∴， ∴，解得． ∴． （2） 如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】四面体的直观图如图， ∴． 【方法技巧】由三视图还原几何体时，要遵循以下三步： (1)看视图，明关系；(2)分部分，想整体；(3)综合起来，定整体． 【变式】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】三棱锥的直观图，如图， 其体积． 考点三 简单组合体的三视图 【例3】（1）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【解析】该几何体由下面是一个长方体 上面为一个圆锥组成， ∴． （2）如图是一个机器零件的三视图，正视图和侧视图均为矩形， 俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该机器零件的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】． 【方法技巧】对于简单几何体的组合体，首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后结合空间想象将三视图还原为实物图． 【变式】某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是　　，体积是　　． 【答案】， 【解析】根据几何体的三视图， 该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2， 表面积为， 体积为；上部为正方体，其棱长为， 表面积是，体积为； ∴几何体的表面积为， 体积为． 1．若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】该几何体是三棱柱 砍掉一角而成的，如图， ． 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ D ） A． B． C． D． 【解析】截去部分是正方体的一个角，如图， ∴表面积为． 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ B ） A．　　B．　　C．　　D． 【解析】由三视图可知， 该几何体为如图所示长方体中的四棱锥, 由三视图可知正方体的棱长为． ∴． 4．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ D ） A． B． C． D． 【解析】该几何体为边长为4的正方体的部分， 如图，最长的边为． 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（B ） A． B． C． D． 【解析】由已知，平面, ,外接球的球心为的中点， ∴, ∴外接球的表面积为． 6．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（C ） A． B． C． D． 【解析】半球的直径为，正四棱锥的底面边长为，高为． ∴． 7．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ． 【解析】由三棱锥的正视图知， 三棱锥的高为，底面边长为， 则底面等腰三角形的顶角为， ∴． 8．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ． 【解析】由三视图可得： 该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱， 棱柱的底面面积， 棱柱的高为， 故棱柱的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间几何体的三视图和直观图 1．中心投影与平行投影 名称 定义 性质 中心投影 光由一点向外散射形成的投影 投影线交于一点 平行投影 一束平行光线照射下形成的投影 投射线互相平行 2．空间几何体的三视图 名称 观察方向 反映物体的 正视图 和 ． 侧视图 和 ． 俯视图 和 ． 3．空间几何体的直观图画法 步骤 具体画法 画轴 1 原图形中，取互相垂直的轴、轴、轴， 三轴相交于点． ②直观图中，画轴、轴、轴，三轴相交于 点．使． 画线 原图形中平行于轴、轴、轴的线段， 在直观图分别画成平行于轴、轴、轴． 取长度 ①原图形中平行于轴、轴的线段，在直观图中 长度保持不变． 2 原图形中平行于轴的线段，在直观图中 长度为原来的一半． 1．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能为（ ） A．三棱台 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥 2．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 考点一 平面图形的直观图 【例1】正三角形的边长为，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是________． 【方法技巧】直观图面积是其平面图形的面积的倍. 【变式】一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面四边形面积为________． 考点二 简单几何体的三视图 【例2】（1）一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧视图的面积为（ ） A． B． C． D． （2） 如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ） A． B． C． D． 【方法技巧】由三视图还原几何体时，要遵循以下三步： (1)看视图，明关系；(2)分部分，想整体；(3)综合起来，定整体． 【变式】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　） A． B． C． D． 考点三 简单组合体的三视图 【例3】（1）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．　　B．　　C．　　D． （2）如图是一个机器零件的三视图，正视图和侧视图均为矩形， 俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该机器零件的体积为（ ） A． B． C． D． 【方法技巧】对于简单几何体的组合体，首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后结合空间想象将三视图还原为实物图． 【变式】某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是　　，体积是　　． 1．若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积（ ） A． B． C． D． 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．　　B．　　C．　　D． 4．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（ ） A． B． C． D． 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 6．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ． 8．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$