指数与指数函数讲义-2025届高三数学一轮复习

指数与指数函数 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算． 3．理解指数函数的概念及单调性，掌握指数函数的图象通过的特殊点． 1．根式 ⑴定义：若，则叫做的次方根． ⑵性质 ①； ②当为奇数时，； ③当为偶数时， 2．幂 ⑴规定 ①　　； ②　 　； ③　 　、, 且. ⑵性质 ① ； ② ； ③ ； ④ . 3．指数函数的定义及性质 （1）函数叫做指数函数． （2）指数函数的图象和性质． 图 象 ( x x 1 O ) ( x x 1 O ) 性 质 定义域：　　　； 值 域：　　　　. 过定点：　　　. 在上是增函数 在上是减函数 时，； 时，. 时，； 时，. 图象特征：在第一象限内，图象由下到上，底数逐渐增大 1．函数的图象恒过定点，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．设，，，则（ ） A． B． C． D． 3．设，且，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 4．函数的大致图象为（ ） 考点一 指数幂的运算 【例1】化简下列各式(其中各字母均为正数)． （1）； （2）． 【谨记通法】指数幂运算的规律 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 【变式】已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 考点二 指数函数的图象及应用 【例2】若函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【谨记通法】指数函数图象的画法及应用 (1) 画指数函数的图象，抓住三个关键点：、、． (2)指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、 对称变换得到其图象． 【变式】已知函数，且，则下列结论中，一定成立的是（ ） A． B． C． D． 考点三 指数函数的性质及应用 命题点1　比较指数式的大小 【例3】下列各式比较大小正确的是（ ） A. 　 B. C. D. 【谨记通法】比较幂值的大小 (1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“”等中间量比较大小． 【变式】已知，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 命题点2　解简单的指数方程或不等式 【例4】设函数若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【谨记通法】简单的指数方程或不等式的求解问题 （1）解决此类问题是利用指数函数的单调性， （2）要特别注意底数的取值范围． 【变式】已知函数设,若，则的取值范围是　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 指数与指数函数 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算． 3．理解指数函数的概念及单调性，掌握指数函数的图象通过的特殊点． 1．根式 ⑴定义：若，则叫做的次方根． ⑵性质 ①； ②当为奇数时，； ③当为偶数时， 2．幂 ⑴规定 ①　1　； ②　 　； ③　 　、, 且. ⑵性质 ① ； ② ； ③ ； ④ . 3．指数函数的定义及性质 （1）函数叫做指数函数． （2）指数函数的图象和性质． 图 象 ( x x 1 O ) ( x x 1 O ) 性 质 定义域：　　　； 值 域：　　　　. 过定点：　　　. 在上是增函数 在上是减函数 时，； 时，. 时，； 时，. 图象特征：在第一象限内，图象由下到上，底数逐渐增大 1．函数的图象恒过定点，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】时，，故图象必经过点． 2．设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，∴． 3．设，且，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵当时, ，∴, ∵，∴，∴. 4．函数的大致图象为（ ） 【答案】A 【解析】， ∴函数单调递减，且过点，故选A． 考点一 指数幂的运算 【例1】化简下列各式(其中各字母均为正数)． （1）； 【解析】（1）原式 （2）． （2）原式 ． 【谨记通法】指数幂运算的规律 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 【变式】已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【解析】（1）∵ ，∴ ， ∴，∴． （2）∵，∴，∴． 考点二 指数函数的图象及应用 【例2】若函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵在定义域上单调递减，∴. ∵函数的图象过定点， ∴函数的图象过定点， ∴，∴，故选A． 【谨记通法】指数函数图象的画法及应用 (1) 画指数函数的图象，抓住三个关键点：、、． (2)指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、 对称变换得到其图象． 【变式】已知函数，且，则下列结论中，一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数的图象，如图， ∵且， 结合图象知，∴. ∴，∴，∴. ∴，∴， ∵，∴，∴，故选D． 考点三 指数函数的性质及应用 命题点1　比较指数式的大小 【例3】下列各式比较大小正确的是（ ） A. 　 B. C. D. 【解析】（1）A中，在上是增函数，∴，错误； B中，在上是减函数，∴，错误； C中，∵，， 在上是减函数，∴，错误； D中，∵，，∴，正确． 【谨记通法】比较幂值的大小 (1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“”等中间量比较大小． 【变式】已知，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ∴，即． ∵，∴. 命题点2　解简单的指数方程或不等式 【例4】设函数若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案】C 【解析】或， 解得，或， ∴的取值范围是. 【谨记通法】简单的指数方程或不等式的求解问题 （1）解决此类问题是利用指数函数的单调性， （2）要特别注意底数的取值范围． 【变式】已知函数设,若，则的取值范围是　　　　. 【答案】 【解析】画出函数图象如图所示,由图象可知， 要使，)同时成立,则. ∴， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $$