随机事件的概率讲义-2025届高三数学一轮复习

随机事件的概率 1．事件的分类 确定 事件 必然 事件 在条件下， 的事件叫作相对于条件的必然事件 不可能事件 在条件下， 的事件叫作相对于条件S的不可能事件 随机事件 在条件下， 的事件叫作相对于条件的随机事件 2．频率和概率 （1）在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率． （2）对于给定的随机事件，由于事件发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率． 3．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B________事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的________(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥 3．事件的关系与运算 定义 符号表示 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 4．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：__________． (2)必然事件的概率______． (3)不可能事件的概率______． (4)互斥事件概率的加法公式 ①若、互斥，则 ; ②若、对立，则 ． 1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ） A． B． C． D． 2．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是（ ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．相互独立事件 D．以上都不对 3．先后抛掷质地均匀的硬币三次，则至少一次正面向上的概率是（ ） A． B． C． D． 4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（　　） A． B． C． D． 考点一 事件关系的判断 【例1】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球” C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 【方法技巧】互斥、对立事件的两点注意 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 ①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生． ②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生． (2) 判别互斥、对立事件的方法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． 【变式】一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都不中靶”的对立事件是（ ） A．两次都中靶 B．至多有一次中靶 C．恰有一次中靶 D．至少有一次中靶 考点二 随机事件的频率与概率 【例2】随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2)某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间 不下雨的概率． 【方法技巧】概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． 【变式】某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示： 抽取球数 50 100 200 500 1000 2000 优等品数 45 92 194 470 954 1902 优等品频率 (1)计算表中乒乓球优等品的频率； (2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位) 考点三 互斥事件、对立事件的概率 【例3】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为、、，求： (1) ，，； (2)1张奖券的中奖概率； (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 【方法技巧】求复杂事件的概率的两种方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率； (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 随机事件的概率 1．事件的分类 确定 事件 必然 事件 在条件下， 一定会发生 的事件叫作相对于条件的必然事件 不可能事件 在条件下， 一定不会发生 的事件叫作相对于条件S的不可能事件 随机事件 在条件下， 可能发生也可能不发生 的事件叫作相对于条件的随机事件 2．频率和概率 （1）在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率． （2）对于给定的随机事件，由于事件发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率． 3．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B________事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等关系 若B⊇A且A⊇B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的________(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥 3．事件的关系与运算 定义 符号表示 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 4．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：_0≤P(A)≤1 _________． (2)必然事件的概率_1_____． (3)不可能事件的概率__0____． (4)互斥事件概率的加法公式 ①若、互斥，则 P(A)＋P(B) ; ②若、对立，则 1 ． 1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】甲不输的概率为． 2．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是（ ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．相互独立事件 D．以上都不对 【答案】A 【解析】由于每人一个方向， 故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的， 故是互斥事件，但不是对立事件，故选A． 3．先后抛掷质地均匀的硬币三次，则至少一次正面向上的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】至少一次正向向上的对立事件是全部为反面向上， 全部为反面向上的概率为，则至少一次正面向上的概率是． 4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】总的可能性有10种，甲和乙都没有被录用的可能性1种， ∴甲或乙被录用的概率． 考点一 事件关系的判断 【例1】从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球” C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” 【答案】D 【解析】A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件； B中的两个事件是对立事件； C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系； D中的两个事件是互斥而不对立的关系． 【方法技巧】互斥、对立事件的两点注意 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念 ①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生． ②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生． (2) 判别互斥、对立事件的方法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件． 【变式】一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都不中靶”的对立事件是（ ） A．两次都中靶 B．至多有一次中靶 C．恰有一次中靶 D．至少有一次中靶 【答案】D 考点二 随机事件的频率与概率 【例2】随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴 日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 (1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率； (2)某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间 不下雨的概率． 【解析】(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为. 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为. 【方法技巧】概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． 【变式】某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示： 抽取球数 50 100 200 500 1000 2000 优等品数 45 92 194 470 954 1902 优等品频率 (1)计算表中乒乓球优等品的频率； (2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位) 【解析】(1)表中乒乓球优等品的频率依次是 ，，，，，． (2)由(1)知，抽取的球数不同， 计算得到的频率值不同， 但随着抽取球数的增多， 频率在常数的附近摆动， 所以质量检查为优等品的概率约为． 考点三 互斥事件、对立事件的概率 【例3】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为、、，求： (1) ，，； (2)1张奖券的中奖概率； (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 【解析】(1)，，. 故事件的概率分别为，，. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖． 设“1张奖券中奖”这个事件为，则. ∵两两互斥， ∴. 故1张奖券的中奖概率约为. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N， 则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 【方法技巧】求复杂事件的概率的两种方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率； (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$