集合的概念讲义-2025届高三数学一轮复习

第1课 集合的概念及运算 1．理解集合、子集、全集、空集、并集、交集、补集的含义． 2．能使用韦恩图表达集合的关系及运算． 1．集合的含义与表示 ①集合中元素的三个特征：确定性、 、 ． ②集合中元素与集合的关系 意义 符号表示 属于集合 是集合的元素 不属于集合 不是集合的元素 ③集合的表示法： 、 、韦恩图． ④常用数集的表示 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示 2．集合间的基本关系 ①子集：若对，都有，则． ②真子集：若，但，且，则． ③相等：若，且，则． ④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合间的基本运算 并集 交集 补集 符号 表示 若全集为，则集合 的补集为 图形 表示 意义 4．集合中元素的个数为，则 ①的子集个数为 ． ②的真子集个数为 ． 1．设集合，为整数集，则集合中元素的个数是（ ） A． 　B． 　 C． D． 2．设是全集的子集，，则满足的的个数是（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 考点一 集合的概念 【例1】已知集合，，，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【温馨提醒】对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足元素的互异性． 【变式】已知集合，则集合中元素的个数（ ） A．3 B．6 C．8 D．9 【温馨提醒】确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． 考点二 集合与集合的关系 【例2】已知集合，，若，则实数的所有可能取值的集合为（ ） A． B． C． D． 【谨记通法】注意空集的特殊性，一般地，若，则应分与两种情况进行讨论． 【变式】设，或}，，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【方法技巧】通过集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，对于端点的虚实可代入验证． 考点三 集合的基本运算 【例3】（1）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． （2）设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【谨记通法】集合运算问题的常见类型及解题策略 (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解； (3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn图求解． 【变式】设全集，，， 则图中阴影部分表示的区间是（ ） A． B． C． D． 考点四 新定义集合问题 【例4】定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（ ） A．0 B．6 C．12 D．18 【方法技巧】求解集合新定义问题的技巧，即准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算． 【变式】对于集合，，定义，，设，，则（ ） A． B． C． D． 1.(多选题）已知集合，，若，则实数的值可以为（ ） A． B． C． D． 2．（多选题）设集合，，则（ ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课 集合的概念及运算 1．理解集合、子集、全集、空集、并集、交集、补集的含义． 2．能使用韦恩图表达集合的关系及运算． 1．集合的含义与表示 ①集合中元素的三个特征：确定性、 互异性 、 无序性 ． ②集合中元素与集合的关系 意义 符号表示 属于集合 是集合的元素 不属于集合 不是集合的元素 ③集合的表示法： 列举法 、 描述法 、韦恩图． ④常用数集的表示 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示 N Z Q R 2．集合间的基本关系 ①子集：若对，都有，则． ②真子集：若，但，且，则． ③相等：若，且，则． ④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合间的基本运算 并集 交集 补集 符号 表示 若全集为，则集合 的补集为 图形 表示 意义 4．集合中元素的个数为，则 ①的子集个数为 ． ②的真子集个数为 ． 1．设集合，为整数集，则集合中元素的个数是（ ） A． 　B． 　 C． D． 【解析】 ， 故选B． 2．设是全集的子集，，则满足的的个数是（ ） A． B． C． D． .【解析】 ．故选B． 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】 ． 4．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】 ． 考点一 集合的概念 【例1】已知集合，，，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解析】∵，∴，∴或． 若，则，满足． 若，解得或． 若，则，满足． 若，，显然不成立． 综上：或． 【温馨提醒】对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足元素的互异性． 【变式】已知集合，则集合中元素的个数（ ） A．3 B．6 C．8 D．9 【解析】集合中元素有，，，，，，，，，共9个． 【温馨提醒】确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． 考点二 集合与集合的关系 【例2】已知集合，，若，则实数的所有可能取值的集合为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意，． 若时，得，满足； 若时，得． ∵，∴或，解得，或． 故所求实数的值为，或，或． 【谨记通法】注意空集的特殊性，一般地，若，则应分与两种情况进行讨论． 【变式】设，或}，，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】在数轴上表示两个集合， ∵，由图可得，解得． 【方法技巧】通过集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，对于端点的虚实可代入验证． 考点三 集合的基本运算 【例3】（1）已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【解析】∵，∴． （2）设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】，，∴． 【谨记通法】集合运算问题的常见类型及解题策略 (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解； (3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn图求解． 【变式】设全集，，， 则图中阴影部分表示的区间是（ ） A． B． C． D． 【解析】∵，， ∴，∴． 考点四 新定义集合问题 【例4】定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（ ） A．0 B．6 C．12 D．18 【解析】∵时，，时，，∴，故选D． 【方法技巧】求解集合新定义问题的技巧，即准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算． 【变式】对于集合，，定义，，设，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】依题意得，， ∴． 1.(多选题）已知集合，，若，则实数的值可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】∵，∴． 若时，得，满足； 若时，得． ∵，∴或， 解得，或． ∴实数的值为，或，或，故选ABD． 2．（多选题）设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A C 【解析】∵， ∴，∴，． 学科网（北京）股份有限公司 $$