古典概型讲义-2025届高三数学一轮复习

古典概型 1．基本事件的特点 ⑴任何两个基本事件是 的； ⑵任何事件（除不可能事件）都可以表示成 的和． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概型： ⑴试验中所有可能出现的基本事件只有 ． ⑵每个基本事件出现的可能性 ． 3．古典概型的概率公式 ． 1．甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为（ ） A． B． C． D． 2．从甲、乙等名学生中随机选出人，则甲被选中的概率为（　　） A． B． C． D． 3．从数字，，，，中任取个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于的概率是（ ） A． B． C． D． 4．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ） A． B． C． D． 考点一 简单的古典概型 【例1】小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ） A． B． C． D． 【方法技巧】求简单古典概型概率的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数； (2)求出事件包含的所有基本事件数； (3)代入公式，求出． 【变式】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A． B． C． D． 考点二 古典概型的交汇命题 【例2】若以连续掷两次骰子分别得到的点数、作为点的横、纵坐标，则点在直线下方的概率是（ ） A． B． C． D． 【方法技巧】解决古典概型交汇命题的关注点 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算． 【变式】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则直线与圆有公共点的概率为________． 考点三 复杂的古典概型 【例3】一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率： (1) 标签的选取是无放回的； (2) 标签的选取是有放回的． 【方法技巧】在古典概型的概率中涉及两种不同的抽取方法，以摸球为例，设袋内装有个不同的球，现从中依次摸球，每次只摸一只，具有两种摸球的方法． (1)有放回 每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法属于有放回的抽样，显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去． (2)无放回 每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球方法属于无放回的抽样．显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次． 【变式】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为，．奖励规则如下： ①若，则奖励玩具一个； ②若，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． （1）求小亮获得玩具的概率； （2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 古典概型 1．基本事件的特点 ⑴任何两个基本事件是 互斥 的； ⑵任何事件（除不可能事件）都可以表示成 基本事件 的和． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概型： ⑴试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个 ． ⑵每个基本事件出现的可能性 相同 ． 3．古典概型的概率公式 ． 1．甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】甲任意站位有种， 甲站在边上的情况有种，∴． 2．从甲、乙等名学生中随机选出人，则甲被选中的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数， 甲被选中包含的基本事件的个数， ∴甲被选中的概率． 3．从数字，，，，中任取个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】重复数字的两位数共有10个， 两位数大于的数共有12个，∴． 4．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，可能的结果组成的基本事件有：，，，，，，共种． 其中红色和紫色的花不在同一花坛为，，，，共种．∴所求的概率是． 考点一 简单的古典概型 【例1】小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】开机密码的可能有，，，，，，，，，，，，，，，共15种可能， ∴小敏输入一次密码能够成功开机的概率是． 【方法技巧】求简单古典概型概率的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数； (2)求出事件包含的所有基本事件数； (3)代入公式，求出． 【变式】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从中任取个不同的数为，，，，，，，，，，共10种， 这3个数构成一组勾股数为，共1个，∴所求的概率是． 考点二 古典概型的交汇命题 【例2】若以连续掷两次骰子分别得到的点数、作为点的横、纵坐标，则点在直线下方的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】满足条件的坐标为，，，，，，，，，，共10种情况，故所求的概率． 【方法技巧】解决古典概型交汇命题的关注点 解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算． 【变式】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则直线与圆有公共点的概率为________． 【答案】 【解析】依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组有，，，，…，，共种． 其中满足直线与圆有公共点，即满足，的数组有，，， ，，…，， 共种，因此所求的概率等于. 考点三 复杂的古典概型 【例3】一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率： (1) 标签的选取是无放回的； (2) 标签的选取是有放回的． 【解析】 (1) 无放回地从4张标签随机地选取两张标签的基本事件有，，，，，，总数为个． 两张标签上的数字为相邻整数基本事件为，，，总数为个． ∴． (2) 有放回地从4张标签随机地选取两张标签的基本事件有，，，，，和，，，，总数为个． 两张标签上的数字为相邻整数基本事件为，，，总数为个． ． 【方法技巧】在古典概型的概率中涉及两种不同的抽取方法，以摸球为例，设袋内装有个不同的球，现从中依次摸球，每次只摸一只，具有两种摸球的方法． (1)有放回 每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法属于有放回的抽样，显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去． (2)无放回 每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球方法属于无放回的抽样．显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次． 【变式】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为，．奖励规则如下： ①若，则奖励玩具一个； ②若，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． （1）求小亮获得玩具的概率； （2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由． 【解析】用数对表示儿童参加活动先后记录的数， 则基本事件空间与点集 ． ∵中元素的个数是，∴基本事件总数． （1）记“”为事件，则事件包含的基本事件有个， 即，∴， ∴小亮获得玩具的概率为． （2）记“”为事件，“”为事件． 则事件包含的基本事件共有个，即，∴ 事件包含的基本事件共有个， 即，∴ ∵，∴小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$